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1、机 械 控 制 理 论第二章拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论拉普拉斯(Laplace)变换:时域的微分方程微分方程 复数域的代数方程代数方程优点：1、用图解法预测系统性能；2、解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量和稳态分量。机 械 控 制 理 论 二、拉氏变换与拉氏反变换的定义 三、典型时间函数的拉氏变换 四、拉氏变换的性质 五、拉氏反变换的数学方法 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 六、用拉氏变换解常微分方程 一、复数和复变函数机 械 控 制 理 论一、复数和复变函数第二章 拉普拉斯变换的数学方法1 1、复数的概念、复数的概念对虚数单位的规定:机 械 控 制 理 论一、复数和复变函
2、数第二章 拉普拉斯变换的数学方法复数的定义:机 械 控 制 理 论一、复数和复变函数第二章 拉普拉斯变换的数学方法两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果 不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比 较大小.共轭复数：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.机 械 控 制 理 论一、复数和复变函数第二章 拉普拉斯变换的数学方法复数的表示方法（复平面的定义）机 械 控 制 理 论一、复数和复变函数第二章 拉普拉斯变换的数学方法复数的向量表示法：复数的模显然下列各式
3、成立机 械 控 制 理 论一、复数和复变函数第二章 拉普拉斯变换的数学方法复数的辐角机 械 控 制 理 论一、复数和复变函数第二章 拉普拉斯变换的数学方法利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成（复数的三角表示式）再利用欧拉公式复数可以表示成（复数的指数表示式）复数的三角表示和指数表示机 械 控 制 理 论一、复数和复变函数第二章 拉普拉斯变换的数学方法2、复变函数的概念机 械 控 制 理 论拉普拉斯变换拉氏变换变换 是控制工程中的一个基本数 学方法，其优优点是能将时间时间 函数的导导 数经经拉氏变换变换 后，变变成复变变量S的乘 积积，将时间时间 表示的微分方程，变变成以S 表示的代数方程。
4、二、拉氏变换与拉氏反变换的定义拉氏变换的优点：可以用图解法预测系统的性能，而无须实 际求解微分方程；解微分方程时，可以同时获得解的瞬态分 量和稳态分量。第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论拉氏变换的定义设有时间函数f(t)，其中，则f(t)的拉氏变换记作： （规定：t0,f(t)=0）L拉氏变换符号；s-复变量； F(s)象函数。f(t) 原函数在物理上可以实现的信号，总是具有相应的拉氏变换。第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论拉氏反变换的定义将象函数F(s)变换成与之相对应 的原函数f(t)的过程 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论1、单位阶
5、跃函数 三、典型时间函数的拉氏变换 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论2、单位脉冲函数 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论3、单位斜坡函数 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论4、指数函数 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论5、正弦函数sinwt 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论6、余弦函数coswt 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论线 性 性 质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t), 且f1(t),f2(t)的拉氏变换为 F1(s),F2(s),则有：此式可由定义证明。 四
6、、拉氏变换的性质 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论实 数 域 的 位 移 定 理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实 数a有,其中，当t0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t) 延迟时间a. 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论复 数 域 的 位 移 定 理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一 常数a,有第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论微 分 定 理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使 时的f(t)值。第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论积 分 定 理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中
7、 时的值。第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论初 值 定 理设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函 数f(t)的初值定理表示为：证明技巧：可利用微分定理来进 行证明第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论终 值 定 理若f(t)的拉氏变换为变换为 F(s),则终则终 值值定理表示为为：第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论卷 积 定 理设设f(t)的拉氏变换为变换为 F(s),g(t)的 拉氏变换为变换为 G(s)， 则则有 式中，称为为f(t)与g(t)的卷积积。 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论五、拉氏反变换的数学方法 拉普拉斯反
8、变换在已知象函数F(s),求f(t)时时，对对于简简 单单的象函数，可直接查查拉氏变换表， 但对对于复杂杂的，可利用部分分式展开 法，即通过过代数运算将一个复杂杂的象 函数化为为数个简单简单 的部分分式之和， 再求出各个分式的原函数，从而求出 总总的原函数 。第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论部分分式展开法 对于象函数F(s),常可写成如下形式： 式中，p1,p2,pn称为F(s)的极点， z1,z2,zm称为F(s)的零点。第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论F(s)总能展开成下面的部分分式之和 其中，分子为待定系数。1、F(s)无重极点的情况第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论解一 求F(s)的拉氏变换变换 例解二 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论设设F(s)有r个重极点p1,其余极点均不相同，则则 2、F(s)有重极点的情况第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论解例求 的拉氏反变换 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机 械 控 制 理 论六、用拉氏变换解常微分方程用拉氏变换解常微分方程，首先是通 过拉氏变换将常微分方程化为象函数 的代数方程，进而解出象函数，最后 由拉氏反变换求得常微分方程的解。第二章 拉普拉斯变换的数学方法
