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1、 第四章矩阵的特征值与 特征向量问题1第三章 矩阵的特征值与特征向量n4.1 幂法与反幂法n4.2 Jacobi方法（重点）n4.3 多项式方法求特征值问题（自学）n4.4 QR算法 （重点）nGivens矩阵；nHouseholder矩阵；nGram-Schmidt正交化方法23概述4注记5重数：6特征值和特征向量的性质定理：n 阶矩阵 A 与它的转置矩阵AT 有相同的特征值。证明：即A与AT有相同的特征多项式，所以它们的特征值相同.7证明：再继续施行上述步骤 次，就得定理： 若 是矩阵 的特征值， 是 的属于的特征向量，则：8 特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质: :特征值对应
2、特 征向量9证明:则定理 ：10把上列各式合写成矩阵形式，得11. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 . 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 . 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值注记12注记4. 若是矩阵A的r重特征值，对应有s个线性 无关的特征向量，则1sr； 若A为实对称矩阵，则对应特征值 恰有r 个线性无 关的特征向量。5. 实对称矩阵的特征值是实数，属于不同特征值的特征向量正交。13注记asdf称tr(A)为矩阵A的迹14相似矩阵15Jordan分解定理16Schur分解定理
3、17特征值估计粗略估计有(A) |A|；可将复平面上的特征值一个个用圆盘围起。盖氏圆设A = aijnn，称由不等式所确定的复区域为A的第i个盖氏圆，记为Gi：i = 1，2，n。18Gerschgorin圆盘定理定理 若为A的特征值，则证明：设Ax = x (x 0)，若k使得因为19例 估计方阵A特征值的范围解： G1 = z：|z 1| 0.6；G2 = z：|z 3| 0.8； G3 = z：|z + 1| 1.8；G4 = z：|z + 4| 0.6。注：定理推断A的n个特征值全落在n个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。G1G2 G3G420称相交盖氏圆之并构成的连通部分为
4、连通部分。 孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。定理 若由A的k个盖氏圆组成的连通部分，含且 仅含A的k个特征值。盖氏圆的连通部分21定理 若由A的k个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A的k个特征值。证明: 令D = diag(a11，a22，ann)，M = A D，记则显然有A(1) = A，A(0) = D， 易知A()的特征多项式的系数是的多项式， 从而A()的特征值1()，2()，n()为的连续函 数。22A()的盖氏圆为：因为A(0) = D的n个特征值a11，a22，ann，恰为A 的盖氏圆圆心，当由0增大到1时，i()画出一条以 i(0) = aii为始点，i(1) = i为终点的
5、连续曲线，且始 终不会越过Gi；aiii23不失一般性，设A开头的k个圆盘是连通的，其并集为S，它与后n k个圆盘严格分离，显然，A()的前k个盖氏圆盘与后n k个圆盘严格分离。当 = 0时，A(0) = D的前k个特征值刚好落在前k个圆盘G1，Gk中，而另n k个特征值则在区域S之外，从0变到1时， 与 始终分离（严格）。连续曲线始终在S中，所以S中有且仅有A的k个特征值。24注：1) 每个孤立圆中恰有一个特征值。 2) 前例中G2，G4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分，故它们 各有一个特征值，而G1，G3构成的连通部分应含有两个特征 值。 3) 因为前例中A为实方阵，所以若为A的特征值，则
6、也是 A的特征值，所以G2，G4中各有一个实特征值。25幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量 的一种迭代法。4.1.1 幂法设An有n个线性无关的特征向量v1，v2，vn； 对应的特征值1，2，n，满足 |1| |2| |n| (4.1.1)幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量 的一种迭代法。4.1.1 幂法设An有n个线性无关的特征向量v1，v2，vn； 对应的特征值1，2，n，满足 |1| |2| |n| (4.1.1)4.1 幂法与反幂法26因为v1，v2，vn为Cn的一组基，故：任给x(0) 0，所以有:(4.1.4)1.基本思想27若a1 0，则因 知，当k充分大时 A(k)x(
7、0) 1ka1v1 = cv1 (属1的特征向量)另一方面，记max(x) = xi，其中|xi| = |x|，则当k充分大时，1.基本思想28注：若a1 = 0，则因舍入误差的影响，会有某 次迭代向量在v1方向上的分量不为0，迭代下 去可求得1及对应特征向量的近似值。2. 规范化在实际计算中， 若|1| 1则|1ka1| ，若|1| | r +1| |n|，则定理结论仍成立。 此时不同初始向量的迭代向量序列一般趋向 于1的不同特征向量。证明：32例：求矩阵A的按模最大的特征值解 取x(0)=(1,0)T ,计算x(k)=Ax(k-1), 结果如下kx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1
8、)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取0.41263 ,x1(0.017451,0.014190)T .33例 试用幂法求矩阵的矩阵的特征值。343536由矩阵理论知，若为A的特征值，则 p为A pI的特征值，且特征向量相同。 若1 p为A pI的最大模特征值，且 （k p是A pI的次最大模特征值） 则对A pI计算1 p及对应的特征向量比对A计算收敛得快，此即为原点平移法。 计算1 p及特征向量的迭
9、代公式特征向量：特征值：max(x(k) 1 p， p + max(x(k) 1。4.1.2 原点平移法37当矩阵特征值全为实数时，且： 1 2 n-1 n 计算1时可令：p= (2 + n) /2 计算n时可令： p= (1 + n-1) /2n 1 n-12 0(2 + n) /23 38最大特征值是互为相反的实根 394041424344用A1代替A作幂法，即反幂法，可用于求最小模特征值及相应的特征向量。 若A可逆，|1| |2| |n|为其特征值，则 为A-1的最大模特征值。迭代公式：x(k+1) = A1x(k)，k = 0，1，2， 但A1不易求，通常可解方程组Ax(k+1) =
10、x(k) 来求 x(k+1)即有(4.1.14)4.1.3 反幂法45当k 时有注：为解上式中的方程组。对作LU分解A = LU则有46反幂法结合原点平移法 若已知为j的近似值 ，则 的特征值是而 显然非常大（最大），比值 很小迭代公式：求任一特征值及相应特征向量47迭代公式：当k 时有注：若有LU分解 ，则迭代公式48例 求矩阵A最接近于1.9的特征值和相应的特征向量。取作迭代，结果如表： 4950P为n阶可逆阵，则A与P-1AP相似，相似阵有相同的 特征值。 若A对称，则存在正交阵 Q (QTQ=I)，使得构造一系列特殊形式的正交阵Q1 ,., Qn对A作正交变 换使得对角元素比重逐次增加
11、，非对角元变小。当 非对角元已经小得无足轻重时，可以近似认为对角 元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是这样一类方法。4.2 Jacobi方法（对称阵）51Givens旋转变换为正交矩阵：52记：则：变换的目的是为了减少非对角元的分量，则53记1：2：3：54554：5657取p,q使 ，则定理：若A对称，则Jacobi迭代法58解 记 A(0)=A,取 p=1,q=2, apq(0)=a12(0)=2,于是有从而有例：用Jacobi 方法计算对称矩阵的全部特征值.59所以再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得6061从而A的特征值可取为12.1258
12、25, 28.388761, 34.48540162为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间, 对经典的Jacobi方法可作进一步改进. 1.循环Jacobi方法:按(1,2),(1,3),(1,n),(2,3),(2,4),(2,n),(n-1,n)的顺序, 对每个(p,q)的非零元素apq作Jacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至 (A) |2| |n| 0 vi为i对应的特征向量，i = 1，2，n， 记 X = (v1，v2，vn)，即X-1AX=Ddiag（ 1 ，2 ， n) 若有三角分解 X-1 = LU则QR算法得到的序列 Ak本质收敛于上三角阵，其主对角元素均 为A的
13、特征值。注意：若A不满足定理条件，Ak不一定本质收 敛于上三角矩阵。QR算法的收敛性69例：用QR算法计算特征值70717273Householder变换74几何意义令x = v +kw ， v spanw ，k R 由wT v = 0 和wT w = 1可得： Hx = (I 2wwT )(v +kw ) = v +kw 2wwTv 2kwwT w = v kw 且 x y=2kwxS- kwkwvy=v-kww75Householder矩阵基本性质76777879例：求Householder变换将下列向量x变换为y80矩阵的QR分解8182838485例 用Householder方法计算矩阵QR分解。解：868788例 应用 Gram Schmidt 方法计算矩阵QR分解 89909192作业： n习题3n19 （给出迭代公式，并计算一次迭代结果）93作业： n习题4n3 （给出A的LU分解，并计算一次迭代结果）n4 (给出迭代公式，并计算一次迭代结果）n6 (1) (计算矩阵A的QR分解）94
