§1.4条件概率与乘法公式

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1、西南财经大学天府学院1.4 条件概率乘法公式 一、条件概率 二、乘法公式1西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率一、条件概率1. 条件概率的概念如在事件A发生的条件下求事件B发生的概 率，将此概率记作P(B|A).一般地 P(B|A) P(B) 2西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院P(B )=1/6，例如，掷一颗均匀骰子， A=掷出偶数点，P(B|A)=？掷骰子已知事件A发生，此时试验所有可能 结果构成的集合就是AP(B|A)= 1/3.A中共有3个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有1个在集B中.容

2、易看到P(B|A)于是B=掷出2点，3西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院P(B )=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正 品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记A=取到正品,B=取到一等品P(B|A)则4西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院P(B )=3/10，A=取到正品 P(B|A)=3/7本例中，计算P(B)时，依据的 前提条件是10件产品中一等品的比 例. B=取到一等品，计算P(B|A)时，这个前提条件未变，只是加 上“事件A已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某 个缩小了的范围内来考虑问题.5西南财经大学天

3、府学院西南财经大学天府学院若事件A已发生, 则为使 B也发生 , 试验结果必须是既 在 A 中又在B中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道A已发生, 故A变成了新的 样本空间 , 于是 有(1). 设A、B是两个事件，且P(A)0,则称(1)2. 条件概率的定义为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.6西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院2)从加入条件后改变了的情况去算 3. 条件概率的计算1) 用定义计算:P(A)0掷骰子例： A=掷出偶数点 B=掷出2 点， P(B|A）=A发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数在缩减样本空 间中B所含样 本点个数7西南财经大学天府

4、学院西南财经大学天府学院条件概率也是概率, 故具有概率的性质：q 非负性q 正则性 q 可列可加性 q q q 8西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出 点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1解法2 解 设A=第一颗掷出6点B=掷出点数之和不小于10 应用 定义在B发生后的缩减样本 空间中计算9西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院例2 一批产品100件，有80件正品，20件次品，其中 甲生产的为60件，有50件正品，10件次品，余下的 40件均由乙生产。现从该批产品中任取一件，记 A=“正品”，B=“甲生产的产品”，写出概率P(A),

5、 P(B), P(AB),P(B|A),P(A|B)10西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为 0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种 动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为 P(B|A) .11西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院例4 在10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽 样，每次一个，抽取两次，求两次都取到次品的概率； 第二次才取到次品的概 率； 已知第一次取到次品，计算第二次又取到次品 的概率。若改为有放回抽样

6、呢？（3）P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)= (1/15)/(3/10)解：设A=第一次取到次品，B=第二次取到次品， （1）P（AB）=(32)/(109) =1/1512西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院例5、一盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品， 从中取产品两次，每次取一件，作不放回抽样。设事件 A=“第一次取到一等品”，B=“第二次取到一等品”， 求P（B|A）。解：P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)= (1/15)/(3/10)例6 设试验E为投掷一颗骰骰子，事件A表示“奇数点”，B 表示“点数大于1”，计算P(A), P(B), P(AB), P(

7、B|A), P(A|B).13西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院由条件概率的定义：即 若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (2)二、二、 乘法公式乘法公式若已知P(A), P(B|A)时, 可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有若 P(B)0,则P(BA)=P(B)P(A|B) (3) (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率14西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院注意P(AB)与P(B | A)的区别！请看下面的例子15西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院例1 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300件是 乙厂生产的. 而

8、在这300个零件中，有189个是标准件， 现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产 的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产 1000 个189个是 标准件300个 乙厂生产300个 乙厂生产设A=零件是乙厂生产, B=是标准件16西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院所求为P(AB) .设A=零件是乙厂生产B=是标准件若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?”求的是 P(B|A) .A发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(B|A)中作为条件.甲、乙共生产 1000 个189个是 标准件300个 乙厂生产300个 乙厂生产17西南财经大学天府学院

9、西南财经大学天府学院条件概率P(B|A)与P(B)的区别每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设B 是随机试验的一个事件，则P(B)是在该试验条件下 事件B发生的可能性大小.P(B) 与 P(B |A) 的区别在于两者发生的条件不 同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.而条件概率 P(B|A) 是在原条件下又添加 “A发 生 ” 这个条件时B发生的可能性大小, 即 P(B|A) 仍 是概率.18西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院19西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院例2 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为0.

10、3；若甲机亦未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回合中 甲、乙被击落的概率。关键：应用乘法公式，概率的加法公式 解：设A=乙机被击落，B=甲机被击落，A1=乙第 一次被击落，A2=乙机第二次被击落，由题意得： A1，A2互不相容，且依题意，有20西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院由条件概率公式，可得从而由概率可加性21西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院例3 一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 都想去,只好用抽签的方法来解决. 入场 券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依

11、次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？ “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”乘法公式应用举例22西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院到底谁说的对呢？让我们用概率 论的知识来计算一下,每个人抽到“ 入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”23西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P( )4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，则 表示“第i个人未抽到入场券”24西南财经大学天府学院西南财经大学

12、天府学院因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到，由于由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5计算得：25西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2 个人都没有抽到. 因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的 概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，26西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院27西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院28西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院29西南

13、财经大学天府学院西南财经大学天府学院30西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽 取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个 与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四 次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到 红球的概率. （波里亚罐子模型） b个白球, r个红球31西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第 二个是白球，第三、四个是红球. ” b个白球, r个红球随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球.解 设 Wi=第i次取出是白球, i=1

14、,2,3,4 Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,432西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院用乘法公式容易求出当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)33西南财经大学天府学院西南财经大学天府学院四、四、 小结小结这一节，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式， 它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.另外还介绍了事件独立性的概念. 不难发现， 当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因 而也就特别重要和有用. 如果事件是独立的，则 许多概率的计算就可大为简化.34西南财经大学天府学院