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1、第五章 变分法解平面问题51 弹性体的形变势能和外力势能 52 位移变分方程 53 位移变分法 54 位移变分法的例子1)在x方向上，有正应力 和正应变 ,则单位体积的形变势能（又称应变能或内力势能)为：图 5-13）另外，若在x和y方向上有切应力 ,相应的切应变为 , 则其形变势能为51 弹性体的形变势能和外力势能弹性力学中所研究的泛函，就是弹性体的能量（如形变势能、 外力势能等），弹性力学的变分法又称能量法形变势能密度1、形变势能2）同理，在y方向上的应变势能为:弹性体有全部六个应力分量：则弹性体的全部形变势能密度：（a）对于平面问题，则形变势能密度：（b）整个弹性体的形变势能U为（取h1
2、单位）：（c）ijmxyh图 5-24）整个弹性体的形变势能2.1 用应变分量表示形变势能平面应力问题的物理方程：（d）代入（b）式，得：（e）结论： 弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的 改变率，就等于相应的应力分量2、形变势能的表示形式2.2用位移分量表示形变势能由几何方程代入（e）式，即得：（f）注：叠加原理不适合于形变势能平面应变问题时,将上述各式中的 和 作如下替换外力功：外力（体力和面力）在实际位移上所做的功弹性体受体力和面力作用，平面区域A内的体力分量为 、 ，边界上的面力分量为 、 ，则（517)外力势能为：（518）3、外力势能52 位移变分方程虚位移或者位移变分假
3、想位移分量 v、u 发生了位移边界条件所容许的微小改变实际位移状态虚位移状态AB图 58x实际位移分量：u，v虚位移状态：1、虚位移2、微分和变分的异同1）运算对象不同 在微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因变量是函数例如： ，由坐标的微分 dx 引起函数的微分是在变分运算中，自变量是函数，因变量是泛函。例如，形变势能U是位移函数v的函数，由于位移的变分引起形变势能的变分是2）运算方法是相同 因为微分和变分都是微量3、外力势能和形变势能的变分由于位移的变分，引起外力功的变分 （即外力虚功）和外力势能的变分(5-19)(5-20)(注：外力作为恒力计算）引起形变势能的变分：（注：应力分量作为恒
4、力计算）4、位移变分方程1）在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分， 等于外力功的变分。（522）3）虚功方程将用式（521），表示，再代入位移变分方程（522），得到外力在虚位移上所做的 虚功等于应力在虚应变 上所做的虚功（条件： 弹性体变形前处于平衡 状态） （524）内力虚功=外力虚功2）极小势能原理在给定的外力作用之下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中， 实际存在的一组位移应使总势能成为极值现在我们得出，实际存在的位移，除了预先满足位移边界条件外， 还必须满足位移变分方程（或极小势能原理，或虚功方程）。而且，通过进一步运算，还可以从位移变分方程（或极小势能原理，
5、或虚功方程）导出平衡微分方程和应力边界条件结论位移变分方程（或极小势能原理，或虚功方程）等价于 平衡微分方程和应力边界条件， 或者说可以代替平衡微分方程和应力边界条件53位移变分法变分解法（瑞利里茨法）思路：1）设定一组包含若干特定系数的位移分量的表达式， 并使它们满足位移边界条件，2）然后再令其满足位移变分方程（用来代替平衡微分方程和应力边界条件）3）求出待定系数，即得出实际位移取位移表达式：（525）其中和均为设定的坐标函数，并在约束边界上，令分别等于给定的约束位移值，令分别等于零。（ 位移分量须预先满足了约束边界上的位移边界条件）而为互不依赖的2m个待定的系数，用来反映位移状态的变化即位
6、移的变分是由系数的变分来实现。位移分量的变分：形变势能的变分：代入（522）式移项整理用位移变分法求得位移以后，不难通过几何方程求得形 变，进而通过物理方程求得应力，但是往往会出现这样的情况 ：取不多的系数 ，就可以求得较精确的位移，而通过 求导后的应力却不精确。 为了使求得的应力充分精确，必须取更多的系数。m（1，2，3)(5-26)Am , Bm的位移变分 方程要使上式对任意的 都成立,则有 54 位移变分法的例题第一例题 设有宽度为a而高度为b的矩形薄板，xyab图 59图59 ，在左边及下边受连杆支撑， 在右边及上边分别受有均布压力q1和q2， 不计体力，试求薄板的位移。分析：取坐标轴
7、如图所示。按（525）的形式，把位移分量设定为（a）满足位移边界条件试在式（a）中只取A1及B1两个待定系数，即（b）代入式（516），并积分得，得到（c）因为不计体力，所以有fx0，fy0。则（526）可简化为（d）（e）（f）（c）代入式（f）（g）（h）若在式（a）中除了A1和B1外再取一些其他的待定系数，例如A2和B2， 则在进行与上相似的计算后，可见这些系数都等于零。而A1和B1仍然 如式（g）所示，可见位移分量的解答仍然如式（h）所示。思考：按照几何方程及物理方程由位移分量（h）求出的应力分量， 可以满足平衡微分方程和应力边界条件xybbaa图510第二例设有宽度为2a而高度为（b）的矩形薄板，图510, 它的左边、右边和下边均被固定，而上边（自由边）具有 给定的位移，如下式：（i）不计体力，试求薄板的位移分析：取坐标轴如图所示。 按照式（525）的形式，但m1， 位移分量的表达式设定为（i）（k）显然满足位移边界条件：因为于是式（526）可以简化为（l）应用式（516），注意到位移的对称性，可见（m）按照式（j）及式（k）求出位移分量的导数，代入式（m），进行积分 再将U的表达式代入式（l），得到A1及B1的两个线性方程， 从而求得A1及B1，最后由式（j）及（k）得出位移分量的解答如下：
