数学史13欧洲文艺复兴时期的数学

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1、欧洲文艺复兴时期的数学n从15世纪中期到16世纪末，这段时期在欧 洲称为文艺复兴时期。n在这一时期，欧洲，特别是西欧，出现了 思想大解放、生产大发展、社会大进步的 喜人景象，科学文化技术，其中包括数学 ，也随之开始复苏并逐步繁荣起来。n从此欧洲的数学开始走到世界的前列，并 长期成为世界数学发展的中心。n1 欧洲中世纪的回顾n2 欧洲文艺复兴时期的数学透视理论的创立与三角学的独立 三、四次方程的解法 韦达与符号代数 对数的发明 欧洲中世纪的回顾 n从5世纪中叶到15世纪，在科学史和哲学史 上称为欧洲的中世纪黑暗时期。n在这1000年左右的时间内，整个欧洲特别 是西欧，生产停滞，经济凋敝，科学文化

2、 落后，既没有象样的发明创造，也没有值 得一提的科学著作。出现这一科学技术大 倒退的原因是多方面的。欧洲中世纪的回顾 n5世纪，罗马人占领了希腊本土后，他们依靠强权 与军队来维持自己对异族的统治，热衷于创立所 谓“实业家的文化”，为其统治者豪华奢侈的生活 服务。他们对抽象思维毫不关心，数学研究仅限 于简单的几何和测量。n另一方面，这一时期又是基督教绝对统治的时期 ，为了达到在精神上麻痹奴隶的目的，基督教竭 力宣扬“今生忍辱负重，来生进入天堂”的谬论， 用死后的幸福生活来欺骗被统治者，要他们安于 被奴役的痛苦命运。欧洲中世纪的回顾 n为了不使谎言被揭穿，基督教强烈反对研 究和传播自然科学知识，如

3、当时的教皇奥 古斯丁就说过这样的话：n“从圣经以外获得的任何知识，如果它是有 害的，理应加以排斥；如果它是有益的， 那么它就已经包含在圣经里了。”n言下之意，一切有益的知识都可以从也只 能从圣经中得到。于是，圣经就成了这一 时期人们唯一能够学习、研究的“百科全书 ”。欧洲中世纪的回顾 n数学是这个时期受到最大排斥的学科之一 ，因为人们常常把它与异教徒的星相术混 为一谈，因此在这个时期的法典中甚至明 文禁止学习和研究数学，如罗马皇帝狄奥 多西的法典就规定：“任何人不得向占卜人 与数学家请教。”而6世纪时查士丁尼的法 典则更直截了当地称：“彻底禁止应受到谴 责的数学技艺。”欧洲中世纪的回顾 n在这

4、个时期，科学赖以发展的一些主要条件如自 由的学术空气、对物理世界的关注、研究抽象概 念的兴趣等均已消失。n尽管如此，在这一时期也还是有一些坚持学术研 究的人物，博埃齐就是早期的代表人物之一。n他是罗马的一个贵族，曾不顾禁令用拉丁文从古 希腊著作的片段中编译了一些算术、几何、音乐 、天文的初级读物，他把这些内容称为“四大科” ，其中的数学著作还被教会学校作为标准课本使 用了近千年之久，但博埃齐本人还是遭受政治迫 害被捕入狱并死在狱中。欧洲中世纪的回顾 n7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神 学家，这就是被称为“英格兰文化之父”的比德。 在数学方面，比德曾写过一些算术著作，研究过 历法及指

5、头计算方法。当时，对耶酥复活期的推 算是教会讨论最热烈的课题之一，据说，这位比 德大师就是最先求得复活节的人。欧洲中世纪的回顾 n在1100年左右开始的十字军东征虽然给阿拉伯人 带来了苦难，但欧洲人也从阿拉伯人以及在拜占 庭的希腊人那里学到了希腊、印度和阿拉伯人的 文化，其中当然包括数学。n这些发现又进一步激起他们的更大兴趣。他们大 力搜求古希腊的的著作，并把他们译为拉丁文， 在欧洲传播，这就给欧洲大陆带来了新鲜的学术 思想。n在这些思想的影响下，欧洲人开始对自然现象进 行理性的探讨。欧洲中世纪的回顾 欧洲中世纪的回顾 n其中英国的哲学家培根可以说是这种理性探讨的 先驱。n培根是英格兰的一个贵

6、族，曾在牛津大学和巴黎 大学任教，会多种语言，对当时几乎所有的知识 都感兴趣，号称“万能博士”。n他提倡科学，重视现实，反抗权威。他认为，数 学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律 相一致的。n在他看来，数学是一切科学的基础，科学真理之 所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被 反映出来的，即用数学数量和尺度刻画的。欧洲中世纪的回顾 n特别令人钦佩的是，他懂得可靠的知识是怎么得 来的，探讨了使科学获得进步或者受阻的原因， 并提出了许多改革研究方法的意见。n他指出：“寻找和发现真理有两条路，也只有两条 路，一种方法是通过感觉和特例飞跃到普遍的公 理，然后通过这些原则及一劳永逸的真理发现和

7、判断派生的公理。另一种方法是从感觉和特例收 集公理，不断地逐步上升，这样最后达到更普遍 的公理。这后一种方法是真实的，但尚未有人试 用过。”欧洲中世纪的回顾 n他号召人们面向自然，进行有目的的试验，去了 解自然，征服自然。n虽然培根成为了那个时代的牺牲品，但他的呐喊 还是在漫漫黑夜中点燃了人们复苏的愿望。欧洲中世纪的回顾 n在这个时期最出色的数学家 是意大利的列昂纳多斐波那 契(约11701250)，他的父 亲是比萨驻阿尔及利亚的商 业代表，故他随父亲在那里 受到教育，并曾在埃及、叙 利亚、希腊以及西西里岛等 地游历，在这些地方，他获 得了许多数学知识，对印度 阿拉伯计算方法的实用性 尤为欣赏

8、。欧洲中世纪的回顾 n1202年，斐波那契综合阿拉伯和希腊资料 著成一部重要著作算经（Liber Abaci ，亦译作算盘书），这部著作共15章 ，主要介绍算术与代数，内容十分丰富， 包括：印度阿拉伯数码的读法与写法； 整数与分数的计算；平方根与立方根的求 法；线性方程组和二次方程的解法等，给 出了数学在实物交易、合股、比例法和测 量几何中的应用。欧洲中世纪的回顾 n算经的最大功绩是向欧洲人介绍了印 度阿拉伯数码，斐波那契熟悉各国的算 术系统，他发现印度阿拉伯数码的符号 和记数法是最优越的。该书一开头写道：“ 印度的九个数字是9、8、7、6、5、4、3、 2、1，用这九个数字与阿拉伯人称为零的

9、 符号0，任何数都可以表示了”。欧洲中世纪的回顾 n这部著作1228年的修订版还给出一个有趣 的所谓“兔子问题”：n假设大兔子每月生一对小兔，而小兔两个 月长成大兔，那么问，自一对兔子开始， 一年后可繁殖多少对兔子。欧洲中世纪的回顾n由这个问题引出了著名的“斐波那契数列” ：1,1,2,3,5,8,13,21,34,即从第3项开始，每一项都是前相邻两项的 和。n你能写出通项公式吗？欧洲中世纪的回顾 n递推关系式为n通项公式为n这样一个各项都是正整数的数列，其通项竟然要 用无理数来表述，这是一个十分有趣的事情。n斐波那契数列具有许多重要的性质及应用，尤其 是当项数n无限增大时，其前项和后项之，这

10、便与被开普勒说成是几何学宝 藏之一的黄金分割联系起来。 欧洲中世纪的回顾 欧洲中世纪的回顾欧洲中世纪的回顾欧洲中世纪的回顾 n在18世纪创立的循环理论中，斐波那契数 列成了主要内容，直到现在，美国尚有 Fibonacci季刊专门刊载这个数列性质的 最新成果。n此外，斐波那契还写过一部纯几何著作 实用几何，书中运用欧几里得等人的方 法介绍了直线形的面积、圆的度量、球和 圆柱等。n算经可以看作是欧洲数学在经历了漫 长的黑夜之后走向复苏的号角。欧洲中世纪的回顾 n在这个时期像这样的学者虽然还可以列举 出一些，但他们的成就与古希腊的大师们 相比，实在是太微不足道了。他们的工作 在那样的黑暗时代没有也不

11、可能产生多大 的影响，正象一朵朵小小的浪花，在狂热 的宗教洪流中很快就被淹没了。欧洲中世纪的回顾 n但历史总是要发展的，人们对长达1000年 之久的黑暗统治已经忍无可忍，社会的、 政治的、经济的和文化的种种原因，使得 这一黑暗时期终于走到了尽头，取而代之 的是一场规模宏大的文艺复兴运动。欧洲文艺复兴时期的数学 欧洲文艺复兴时期的数学 n15世纪，随着拜占庭帝国的瓦解，难民们 带着包括古希腊文化在内的财富逃亡到意 大利，使得意大利学者能直接学习与研究 反映古希腊人杰出成就的原始经典著作， 而在此之前，他们所接触的只是一些水平 不高的阿拉伯译本。n这些古希腊大师们深刻的思想震撼了这个 富有创造力的

12、民族。欧洲文艺复兴时期的数学 n从社会发展的角度来看，这个时期欧洲的 封建制度开始解体，新兴的资产阶级逐渐 走上历史舞台。为了维护与发展自身的利 益，他们首先在意识形态领域中展开了反 对封建宗教神学的文化斗争。n他们打出复兴古典文化的旗帜，但决不是 想回到古代去，而是要从古代文化中汲取 那些适合资产阶级需要的思想，造就一种 新的世界观和意识形态，以便与封建制度 的精神支柱宗教世界观相抗衡。欧洲文艺复兴时期的数学 n另外一方面，欧洲人由于受宗教禁锢的时 间太久了，他们渴望了解外部的世界，这 就使得他们的航海技术达到了前无古人的 地步。1492年哥伦布发现了美洲大陆， 1499年，卫斯普奇横渡大西

13、洋，在同一世 纪中麦哲伦又环航了地球，这些都给欧洲 人打开了一个个通向外界的窗口，异族丰 富多彩的文化又给欧洲以强烈的刺激。欧洲文艺复兴时期的数学 n所有这些都使得欧洲产生了史无前例的文 艺复兴运动。n这一运动首先起始于意大利半岛（作为文 艺复兴的前哨意大利，由于其特殊的地理 位置和贸易联系而成为东西方文化的熔炉 ）。继而蔓延到整个欧洲。n在这片沉寂了近千年的土地上，呈现出一 派生机勃勃的景象，其直接后果是造成了 欧洲近代科学和文化艺术的解放和繁荣。欧洲文艺复兴时期的数学 n数学作为其他学科的基础，加上她在古希 腊文化中的尊崇地位，在欧洲的文艺复兴 中受到了广泛的重视。n15世纪欧洲的数学活动

14、多半是以意大利城 市和中欧城市纽伦堡、维也纳、布拉格等 为中心展开的。n受商业、航海、天文和测量等影响，数学 研究也集中在算术、代数和三角学方面。欧洲文艺复兴时期的数学 n从地理位置与时间上看，欧洲数学首先在 意大利和德国崛起，德国人的贡献主要在 天文学和三角学，而意大利人的卓越之处 在于代数学的发展。n法国直到16世纪末才显示出她的力量，主 要包括韦达、笛卡儿、帕斯卡和费马等人 的工作。透视理论的创立和三角学的独立 n文艺复兴时期 在数学方面的 最初突破是由 艺术大师们完 成的。透视理论的创立和三角学的独立 n当他们开始把自己创作的题材从宗教神学转向大 自然的时候，所遇到的第一个难题就是如何

15、把三 维的现实世界反映到二维的画布上来。n这一问题的最初研究者是布鲁内利斯，他第一个 认真研究了透视法并试图运用几何方法来进行绘 画。n但尝试从数学的角度去研究这一方法的却是阿尔 贝蒂，他在论绘画一书中指出，在眼睛和景 物之间插进一张直角的玻璃屏板，设想光线从眼 睛或观测点发射到景物本身的一个点上，称这些 光线叫光束棱锥或投影线，它们穿过屏板时所留 下的集就构成了截景。透视理论的创立和三角学的独立 n这里已经涉及到透视学中的一些基本概念。在此 基础上，阿尔贝蒂提出了一个十分重要的问题： 如果从两个不同的位置去看同一个景物，而在每 一种情况下，都插入一张玻璃屏板，那么得到的 截景当然是不相同的。

16、这两种截景之间有什么数 学关系，或者它们有什么共同的数学性质？虽然 他没能解决这一问题，但这些正是射影几何学研 究的出发点。透视理论的创立和三角学的独立 n第一个真正意义上对于 透视法所产生的问题从 数学上直接给予解答的 是德沙格（ G.Desargues，1591 1661）。n他出生于法国里昂，曾 经在陆军任职，后成为 工程师和建筑师。透视理论的创立和三角学的独立 n为了证明阿波罗尼斯的那些有关圆锥曲线 的定理，他开始研究所谓“中心射影法”， 并在1636年就已经发表相关论文。n但流传下来的是他在1639年写的名为论 锥面截一平面所得结果的初稿的小册子 。在这部传世之作中，他从开普勒的连续 性理论出发，导出了许多关于对合、调和 变程、透射、极轴、极点以及透视的基本 原理。透视理论的创立和三角学的独立 n尽管这部著作写作方式形式古怪，晦涩难 懂，但恰恰充满了创造性的思想。n例如，他从焦点透视的投影和截影原理出 发，对平行线引入无穷远点和无穷远线的 概念。n不过，其中最引人注目的是所谓的德沙格 定理。n德沙格的研究的出发点是有