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1、heut- 河北联合大学12345 理论基础 幂 法 规范幂法 反 幂 法 QR分解法 4 参考文献6概念回顾方阵的特征值与特征向量特性回顾特征值与特征向量的性质A：n阶方阵， 若 数 和 n 维非零列向量 X 使关系式成立，则称为方阵A的特征值，X 称为A的对应于特征值的特征向量。矩阵的特征值与特征向量如取则特征向量是特征值,是特征向量.矩阵的特征值与特征向量称为方阵A的特征多项式显然，A的特征值就是特征方程的根, 也称特征根。（重根按重数计算），n阶方阵A有n个特征值。注意特征方程、特征根矩阵的特征值与特征向量求矩阵的特征值和特征向量。矩阵的特征多项式为 令 特征值为 当 时，求解齐次线性
2、方程组方程组从而解得基础解系 的全部特征向量为 其中k为任意非零常数。 当 时，求解齐次线性方程组 得对应的方程组为 从而解得基础解系 全部特征向量为 其中数 是不同时为零的任意常数。如果矩阵满足 则称 是幂等矩阵。（幂等矩阵的特征值只能是0或1）设n阶方阵A的n个特征值为则必有（1） （2） 其中 是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵的迹，记作 设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值全不为零。 特征值与特征向量的性质设n阶方阵A的n个特征值为则必有（1） （2） 其中 是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵的迹，记作 设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值全不为零。 特
3、征值与特征向量的性质设 分别为方阵 的属于特征值 的特征向量，如果 各不相同， 那么向量组 线性无关。 和 设为n阶矩阵，则矩阵A 的特征值相同。 特征向量间的线性相关性设 是n 阶矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则 （1）对任意常数，数 是矩阵的特征值； （2）对任意常数，数 是矩阵的特征值； （3）对任意正整数 ，是矩阵 的特征值；（4）当矩阵 可逆时， 是矩阵的特征值；特征值并且仍然是矩阵的分别对应于特征值的特征向量。 类似：若是A的特征值，的特征值；（其中）的特征向量。设3阶方阵 的特征值为1，2，3，求 设 ，则 因为 的特征值为 1，2，3， 所以 的特征值为 ， ， 于是
4、用幂法计算矩阵的按模最大的特征值系程序设计A=1,-1,2,-6; MatrixForm% xa=-0.5,1; Doxb=A.xa; Printk,“ “,xb,“ “,xb1/xa1,“ “ xb2/xa2;xa=xb/MaxAbsxb,k,1,15 EigensystemNA; MatrixForm%1 -0.5, 1 -1.5, -7. 3. -7.2 -0.214286, -1. 0.785714, 5.57143 -3.66667 -5.571433 0.141026, 1. -0.858974, -5.71795 -6.09091 -5.717954 -0.150224, -1.
5、 0.849776, 5.69955 -5.65672 -5.699555 0.149095, 1. -0.850905, -5.70181 -5.70712 -5.701816 -0.149234, -1. 0.850766, 5.70153 -5.70088 -5.701537 0.149217, 1. -0.850783, -5.70157 -5.70165 -5.701578 -0.149219, -1. 0.850781, 5.70156 -5.70155 -5.701569 0.149219, 1. -0.850781, -5.70156 -5.70156 -5.7015610 -
6、0.149219, -1. 0.850781, 5.70156 -5.70156 -5.70156程序设计A=1,1,0.5,1,1,0.25,0.5,0.25,2;MatrixForm%va=1,1,1;Dovb=A.va;Printk,“ “,vb,“ “,vb2/va2;va=vb,k,1,20EigensystemNA;MatrixForm%1 2.5, 2.25, 2.75 2.253 15.2188, 13.3906, 19.0469 2.462645 96.0293, 83.7666, 125.511 2.510157 613.714, 533.719, 814.025 2.52
7、743939.55, 3422.47, 5251.63 2.533411 25327.1, 21994.9, 33820. 2.5354613 162910., 141460., 217665. 2.536166 615 1.04806 10 , 910025., 1.4006 10 2.53616 6 6 617 6.74299 10 , 5.8548 10 , 9.01171 10 2.536487 7 719 4.33837 10 , 3.7669 10 , 5.79817 10 2.536518 7 820 1.10044 10 , 9.55481 10 , 1.47073 10 2.
8、53652 A=3,2,1,-1,8,2,1,4,16; MatrixForm% y=-1,1,0.5; Dox=LinearSolveA,y; Printk,“ “,y,“ “,x,“ “; y=x/MaxAbsx,k,1,20 u=y1/x1 v=y EigensystemNA; MatrixForm%程序设计QR分解的思路分解变换Clear A=9,4,2,2,8,4,6,7,1; MatrixForm% DetA q,r=QRDecomposition A/N; Q=%1; MatrixForm% Det% R=%2; MatrixForm% TransposeQ.R; MatrixForm% EigenvaluesNAClearA,H,Q A=5,-3,2,6,-4,4,4,-4,5; MatrixForm% DetA Doq,r=QRDecompositionH/N;H=r.Transposeq; Print“k=“,k; Print“Q=“,MatrixFormTransposeq; Print“H=“,MatrixFormH,k,1,10 EigenvaluesNA
