《线性代数第16讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第16讲（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 线性代数第16讲 本讲义可在网址http:/ 或 ftp:/ 下载 2 2 方阵的特征值与特征向量 3 定义定义4.7 设A是n阶方阵, 若数l和n维非零 向量x, 使关系式 Ax=lx 成立, 则称数l是方阵A的特征值特征值, 非零向 量x称为A的属于特征值l的特征向量特征向量. 4 Ax=lx 这个定义告诉我们: (1) 特征向量一定是非零向量. (2) 特征向量是属于某一个特征值的, 它 不能同时属于两个不同的特征值. (3) 有了一个特征向量, 就可以有无穷多 个特征向量. (4) 若A有特征值l, 则Ak就有特征值 lk(kZ+). 5 如何求得矩阵A的特征值和特征向量呢? 式子
2、 Ax=lx(lE-A)x=0. 由于x是非零向量, 故齐次线性方程组 (lE-A)x=0有非零解, 而这等价于 |lE-A|=0. 6 定义4.8 称 111212122212|nnnnnnaaa aaaaaa- -EAl lll为A的特征多项式特征多项式, 它是以l为未知数的一 元n次多项式, 也记为f(l). 称|lE-A|=0为A的特征方程特征方程. 7 当从特征方程|lE-A|=0中求得根l0后, 由 于|l0E-A|=0, 故(l0E-A)x=0必有非零解, 即有Ax=l0x. 也就是, 求得l0后, 必可求得 属于特征值l0的全部特征向量. 这些特征 向量即由(l0E-A)x=0
3、的基础解系所表出. 8 还有一个问题: 从|lE-A|=0中是否一定能 求出A的全部(n个)特征值?结论是: 在复 数范围内, n次多项式一定有n个根. 也即 在复数范围内, 一定可以求出n个特征值. (重根按重数计算). 9 因此, 在给定n阶方阵A后, 求其特征值与 特征向量的步骤如下: (1)从特征方程|lE-A|=0中去求出n个特征 值l1,l2,ln(其中可能有重根). (2)对每个特征值li, 去求属于它的特征向 量. 即求解齐次线性方程组(liE-A)x=0的 基础解系. 设基础解系为x x1,x xt, 则A的属 于特征值li的全部特征向量即为 x=k1x x1+ktx xt
4、(kj, j=1,t,为不全为零的任意常数). 10 例例4.6 求矩阵A的特征值与特征向量. 201 131 402- -A解解 22201 |131 40221(3)(3)(44)42(3)- - -EAl ll llllllll11 故特征值l1=l2=0, l3=3. 对应于l1=l2=0, 求解(0E-A)x=0的基础解系: 110201220131131030122402000000-A对应的方程组即为 13231,2 1.2xxxx -12 解得基础解系: 13231,2 1.2xxxx -11 1 2 -则k1x x1(k10)即为A的属于特征值0的全部 特征向量. 13 对应
5、于l3=3, 求解齐次方程组(3E-A)x=0. 501101100 (3)101006001 401003000- - -EA对应的方程组为 12230, ,0.x xxx 14 解得基础解系 12230, ,0.x xxx 20 10 则k2x x2(k20)是A的属于特征值3的全部特 征向量 15 例例4.7 求矩阵A的特征值与特征向量 321 222 361- -A解解 321 |222 361- - -EAl ll l16 21122222321 |222 361321321 2420(2)210 36136112111(2)010(2)91961(2)(1)9(2) (4)rrcc
6、- - - - -EAl ll lll lll llllllllllll17 所以, A的特征值是l1=l2=2, l3-4. 对应于特征值l1=l2=2, 解(2E-A)x=0 2| (2) (4)-EAlll121121 (2)242000 363000- -EA对应的方程组是 x1+2x2-x3=0. 18 x1+2x2-x3=0. 解得其基础解系为 1221 1,0 . 01- 则k1x x1+k2x x2(k1,k2不全为零)是A的属于特征 值l1=l2=2的全部特征向量. 19 对应于特征值l3-4, 解(-4E-A)x=0. 721111 ( 4)222721 363121111
7、11120960130320001103 2013 000- - - - - EA20 对应的方程组为 1103 2( 4)013 000- - EA13231,3 2.3xxxx -21 解得它的基础解系为 13231,3 2.3xxxx -31 2 , 3 -则k3x x3(k30)就是A的属于特征值l3-4的全 部特征向量. 22 方阵A与其特征值之间有如下的重要关系. 设n阶方阵A的n个特征值为l1,l2,ln, 则 12 112(1)(2)|nnii inallll llA23 证明证明 (1) )()(|)(|211 2211nnn nnnaaallllllllll-个根必有按行列
8、式定义又有AEAE比较上面两式的右边, 注意ln-1的系数, 可有 121122 1nnnnii iaaaalll24 (2) 在|lE-A|=(l-l1)(l-l2)(l-ln)中, 令 l=0代入, 得 12|nl llA25 例例4.8 若A为可逆矩阵, 则 (1) A 的特征值不等于零. (2) 设 A 的特征值为l, 则 A-有特征值1.l(3) 设 A 的特征值为l, 则 A*有特征值 1|.Al26 证明证明 (1) 因为12|,nl llA所以由|A|0, 知li0, i=1, ,n. (2) 设 Ax=lx, l是 A 的特征值, 则A-1Ax=lA-x, 即有11,l-A
9、xx即1 l是A-的特征值. (3) 因 A*=|A|A-, 由(2)可知1|lA是 A*的特征值. 27 例例4.9 设A2=A, 则A的特征值只能是0或1. 证明证明 设Ax=lx. l是A的特征值. 则 A2x=lAx=l2x. 又有 A2x=Ax=lx, 故得lx=l2x, 即(l-l2)x=0. 由于x是非零 向量, 故l-l2=0, 即l=0或l=1. 28 例例4.10 设f(x)=a0+a1x+amxm为x的m次多 项式, 记f(A)=a0E+a1A+amAm为矩阵A的 多项式, 试证明: 若l是A的特征值, 则f(l)是 f(A)的特征值. 29 证明证明 设Aa a=la
10、a, 则有Aka a=lka a(kZ+), 因 而 f(A)a a=(a0E+a1A+amAm)a a =a0Ea a+a1Aa a+amAma a =a0a a+a1la a+amlma a =(a0+a1l+amlm)a a =f(l)a.a. 即f(l)是f(A)的特征值. 30 3 相似矩阵 31 定义定义4.9 设A,B皆为n阶方阵, 若存在n阶可 逆阵U, 使得 U-AU=B, 则称矩阵A与B相似相似. 对A进行运算U-AU, 称对A进行相似变相似变 换换. 由定义可知: 若矩阵A与B相似, 则A与B 等价. 32 相似矩阵有诸多性质: 若U-AU=B,则 (1) A与B有相同的
11、行列式. (只要在等式两边取行列式, 便得证). (2) A与B有相同的可逆性, 当它们可逆时, 其逆阵也相似. (可逆时, 只要在等式两边取逆, 便得证) (3) A与B有相同的秩. (因A的两旁乘的是可逆阵, 可逆阵与矩阵 相乘时, 不改变那个矩阵的秩) 33 (4) A与B有相同的特征多项式. (|lE-B|=|lU-U-U-AU|=|U-(lE- A)U|=|U-|lE-A|U|=|lE-A|.) (5) A与B有相同的特征值. (这是(4)的自然的结果) (注意, (1),(2),(3),(4),(5)均反之则不然. (4) 与(5)的一个反例: 10 01 11与01它们有相同的特
12、征值, 却不相似. 34 *(6) A 与 B 有相同的迹, 即11tr( )tr( )nniiii iiabAB. (关于矩阵的迹1tr(),nii ihH有性质tr(HK)=tr(KH), 故 tr(B)=tr(U-AU)=tr(AUU-)=tr(A) 35 (7) U-AkU=Bk kZ+. (8) f(A)与f(B)也相似. 这里f(A), f(B)分别是 A,B的多项式. (U-f(A)U=U-(a0E+a1A+amAm)U =U-a0EU+a1U-AU+amU-AmU =a0E+a1B+amBm=f(B).) 相似矩阵有这么多共同性质, 若这里B是对 角阵(最简单的矩阵), 即若能
13、把方阵A相似 变换到对角阵, 这将会给我们研究矩阵A带 来很大方便. 36 定义4.10 若能把方阵A相似变换到对角 阵D, 即存在可逆阵U, 使U-AU=D, 则称 A可以对角化可以对角化. 否则, 就称A不能对角化不能对角化. 37 设可逆矩阵 U=(a a1, ,a an), 即把 U 按列分块, 1 ,nll D,则 1111111(,)(,)(,)(,),1, .nnnnnniiiinlllll- UAUDAUUDA AAA38 这里a a1,a an是可逆阵U的n个列, 故它们 是线性无关的. 同时, 最后一个式子, 又是 特征值与特征向量的定义式. 故有 定理定理4.4 n阶方阵
14、A可对角化的充分必要 条件是: A有n个线性无关的特征向量. 这里顺便强调一下: 若A能相似变换到D, 则D的对角线元素就是A的n个特征值. 接下来的问题就是如何判断矩阵A有没 有n个线性无关的特征向量? 39 定理定理4.5 方阵A的不同特征值所对应的特 征向量是线性无关的. 证明证明 设l1,l2,lm是A的m个不同的特征 值, a a1,a a2,a am依次是与之对应的特征向 量, 现要证明a a1,a a2,a am线性无关. 观察 x1a a1+x2a a2+xma am=0. 等式两边左乘A: A(x1a a1+x2a a2+xma am)=A0 即 l1x1a a1+l2x2a a2+lmxma am=0. 40 x1a a1+x2a a2+xma am=0. 即 l1x1a a1+l2x2a a2+lmxma am=0
