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1、第三章 序列的Z变换3 序列的Z变换3.1 Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为(3.1)式中z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中， 对n求和是在之间求和， 可以称为双边Z变换。 还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式 (3.2) 第三章 序列的Z变换使(3.3)式成立， Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示这种单边Z变换的求和限是从零到无限大， 因此对于因果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。 本书中如不另外说明， 均用双边Z变换对信号进行分析和变换。(3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即(3.3) 第三章 序
2、列的Z变换图 3.1 Z变换的收敛域 第三章 序列的Z变换常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点， 分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。 在极点处Z变换不存在， 因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里叶变换定义， 很容易得到FT和ZT之间的关系， 用下式表示： (3.4) 第三章 序列的Z变换式中z=e j表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位圆。 (3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(3.4)式， 很方便的求出序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。例 3.1
3、 x(n)=u(n)， 求其Z变换。 解：X(z)存在的条件是|z-1|1， |z|1 第三章 序列的Z变换由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z变换不存在， 或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里 叶变换不存在， 更不能用(3.4)式求FT。 该序列的FT不存在， 但如果引进奇异函数()， 其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。 第三章 序列的Z变换3.2 序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域。 1. 有限长序列如序列x(n)满足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它第三章
4、 序列的Z变换即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z变换为设x(n)为有界序列， 由于是有限项求和， 除0与两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均收敛。 如果n10， 则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括z=点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：第三章 序列的Z变换n10时， 00时， 0|a|。3. 左序列左序列是在nn2时， 序列值不全为零， 而在nn2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为第三章 序列的Z变换当 n20当 n20第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=点不收敛）
5、。 第一项根据前式的论述，当时收敛因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域第三章 序列的Z变换例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。 X(z)存在要求|a-1 z|Rx-， 其收敛域为Rx- |a|。 如果|a|a， 求其Z反变换x(n)。第三章 序列的Z变换为了用留数定理求解， 先找出F(z)的极点， 极点有： z=a; 当n|a-1|， 对应的x(n)是右序列； (2) |a|a-1|种收敛域是因果的右序列， 无须求n2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|R x-R y+R y-时，则M(z)不存在。2. 序列的移位设X(z)=ZTx(n), R x-|z|R
6、x+则ZTx(n-n0)=z-n0X(z), R x-|z|R x+ (3.16)第三章 序列的Z变换3. 乘以指数序列设 X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+y(n)=anx(n), a为常数则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1 z) |a|R x-|z|a|R x+ (3.17)证明因为Rx-|a-1 z|Rx+，得到|a| Rx- |z|a| Rx+ 。第三章 序列的Z变换4.序列乘以n设 则(3.18) 证明 第三章 序列的Z变换5.复序列的共轭设则 证明 (3.19)第三章 序列的Z变换6.初值定理设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)(3.20) 证明 因
7、此 7.终值定理若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则 (3.21) 第三章 序列的Z变换证明 因为x(n)是因果序列，因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限第三章 序列的Z变换终值定理也可用X(z)在z=1点的留数，因为(3.22) 因此如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0。 第三章 序列的Z变换8. 序列卷积设 则 第三章 序列的Z变换证明 W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。第三章 序列的Z变换例3.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1， 网络输入序列x(n)=u(
8、n)，求网络的输出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另 一种是用Z变换法。第三章 序列的Z变换由收敛域判定y(n)=0,n0。 n0 y(n)=ResY(z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a第三章 序列的Z变换将y(n)表示为 9.复卷积定理如果 ZTx(n)=X(z)， R x-|z|R x+ZTy(n)=Y(z), R y-|z|R y+w(n)=x(n)y(n)则第三章 序列的Z变换W(z)的收敛域 (3.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为(3.24) (3.25)(3.26)第三章 序列的Z变换证明 由X(z)收
9、敛域和Y(z)的收敛域，得到第三章 序列的Z变换例3.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)解：因此 第三章 序列的Z变换W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。 第三章 序列的Z变换10.帕斯维尔(Parseval)定理利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。那么 v平面上，c所在的收敛域为第三章 序列的Z变换证明 令 w(n)=x(n)y*(n)按照(3.24)式，得到按照(3.25)式，R x-R y-|z|R
10、 x+R y+，按照假设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。 第三章 序列的Z变换如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=e j，得到(3.29) 令x(n)=y(n)得到 上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维尔定理(2.2.34)式是相同的。(3.28)式还可以表示成下式 ：第三章 序列的Z变换3.5 利用Z变换分析信号和系统 的频域特性 3.5.1 频率响应函数与系统函数设系统初始状态为零，系统对单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j)(3.5.1) 一般称H(e j)为系统的频率响应函数，
11、它表征系统 的频率特性。 第三章 序列的Z变换设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式(3.5.2) 如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与H(z)之间关系如下式：(3.5.3) 第三章 序列的Z变换3.5.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时， h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。 一个稳定线性系统的充要条件是H(z)的收
12、敛域包含单位圆。一个线性系统是因果的充要条件是系统函数H(z)的收敛域Z=一个稳定因果系统的系统函数H(z)的收敛域1|z|一个稳定因果系统的系统函数H(z)的全部极点在单位圆内第三章 序列的Z变换例3.5.1已知 分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图3.5所示。(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉 冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题3.7)，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例
13、题3.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。第三章 序列的Z变换(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单 位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图3.5.1(a)所示。第三章 序列的Z变换图3.5.1第三章 序列的Z变换3.5.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性将(3.5.2)式因式分解，得到(3.5.4) 式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点dr 的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。第三章
14、 序列的Z变换在z平面上，ej-cr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量 表示，同样ej-dr用内极点指向ej点B的向量 表示，如图3.5.2所示。和 分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用极坐标表将 和 表示式代入(3.5.7)式，得到第三章 序列的Z变换(3.5.8)(3.5.9) 第三章 序列的Z变换系统的传输特性或者信号的频率特性由(3.5.8)式和(3.5.9)式确定。当频率从零变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(3.5.8)式(3.5.9)式，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例如图3.5.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性。 第三章 序列的Z变换图3.5.2 频响的几何表示法第三章 序列的Z变换3.5.2 已知H(z)=z-1，分析其频率特性解：由H(z)=z-1，极点为z=0，幅度特性|H(e j)|=1,相位特性()=-，频响如图3.5.3所示。 用几何方法也容易确定，当=0转到=2时，极点矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢 量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。第三章 序列的Z变换图3.5.3 H(z
