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1、上页下页第8章 矩阵特征问题的计算 8.1 引言 8.2 幂法及反幂法 8.3 豪斯霍尔德方法 8.4 QR方法上页下页8.1 引 言工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题.下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础 知识.上页下页定义1 已知n阶矩阵A=(aij)，则称为A的特征多项式. 一般有n个根(实的或复的，复根按重数计算)称为A的特征值. 用(A)表示A的所有特征值的集合.A的特征方程上页下页 设为A的特征值，相应的齐次方程组注：当A为实矩阵时， ()=0为实系数n次代数方程，
2、其复根是共轭成对出现.的非零解x称为矩阵A的对应于的特征向量.例1 求A的特征值及特征向量，其中上页下页解 矩阵A的特征方程为求得矩阵A的特征值为：对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：上页下页定理1 设为ARnn的特征值, 且Ax=x (x0)，则有 -p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(-p)x ； c为的cA特征值(c0为常数)；下面叙述有关特征值的一些结论： k为Ak的特征值，即Akx=kx ； 设A为非奇异矩阵，那么0 , 且-1为A-1的特 征值，即A-1x=-1x .上页下页定理2 设i(i=1,2,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值，则有 称为A的迹；定理3 设ARnn
3、，则有定理4 设A 为分块上三角矩阵，即其中每个对角块Aii均为方阵，则上页下页定理5 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵P使B=P-1AP），则定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征值不变.一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难. A与B有相同的特征值； 如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量.定义2 如果实矩阵A有一个重数为k的特征值, 且对应于的A的线性无关的特征向量个数|2|n|，则对任何非零向量v0(a10)，幂法的算式成立.又设A有n个线性无关的特征向量，1对应的r个线性 无关的特征向量为x1,x2,xr，则由(2.2)式有如果A的主
4、特征值为实的重根, 即1=2=r, 且|r|r+1|n|，上页下页为A的特征向量，这说明当A的主特征值是实的重根时，定理5的结论还是正确的.应用幂法计算A的主特征值1及其对应的特征向量时，如果|1|1(或|1|2|n|，则对任意非零初始 向量v0=u0(a10)，有幂法计算公式为则有上页下页例1 用幂法计算矩阵的主特征值与其对应的特征向量.解 取 v0=u0=(0,0,1)T , 则上页下页直到k=8 时的计算结果见下表k 1 2, 4, 1, 4 0.5, 1, 0.25 2 4.5, 9, 7.75 90.5, 1, 0.8611 3 5.7222, 11.4444, 8.36111.44
5、440.5, 1, 0.7360 4 5.4621, 10.9223, 8.2306 10.92230.5, 1, 0.7536 5 5.5075, 11.0142, 8.2576 11.01420.5, 1, 0.7494 6 5.4987, 10.9974, 8.2494 10.99740.5, 1, 0.7501 7 5.5002, 11.0005, 8.2501 11.00050.5, 1, 0.7500 8 5.5000, 11.0000, 8.2500 11.00000.5, 1, 0.7500从而见书p303-例3.上页下页8.2.2 幂法的加速方法1、原点平移法由前面讨论知道，
6、应用幂法计算A的主特征值的 收敛速度主要由比值 r=|2/1|来决定，但当r 接近于1 时，收敛可能很慢. 这时，一个补救办法是采用加速 收敛的方法.其中p为参数，设A的特征值为i，则对矩阵B的特征 值为i-p ，而且A, B的特征向量相同.引进矩阵 B=A-pI .上页下页如果要计算A的主特征值1, 只要选择合适的数p ，使1-p为矩阵B=A-pI 的主特征值，且 那么，对矩阵B=A-pI应用幂法求其主特征值1-p, 收 敛速度将会加快. 这种通过求B=A-pI的主特征值和特 征向量，而得到A的主特征值和特征向量的方法叫原 点平移法. 对于A的特征值的某种分布，它是十分有 效的.上页下页例4
7、 设AR44有特征值比值r=|2/1|0.9. 做变换 B=A-12I (p=12), 则B的特征值为应用幂法计算B的主特征值1的收敛速度的比值为虽然常常能够选择有利的p值, 使幂法得到加速, 但设计一个自动选择适当参数p的过程是困难的.上页下页下面考虑当A的特征值是实数时，怎样选择p使采 用幂法计算1得到加速.且使收敛速度的比值设A的特征值都是实数，且满足则对实数p，使矩阵A-pI的主特征值为1-p或n-p时 ，当我们计算1及x1时，首先应选取p使上页下页显然，当2-p=-(n-p )时，即 P=(2+n)/2P* 时为最小值，这时收敛速度的比值为当希望计算n时，应选取p=(1+n-1)/2
8、P* 使得应用幂法计算n得到加速.当A的特征值都是实数，满足且2, n能初步估计出来，我们就能确定P*的近似值.上页下页例2 用原点平移加速法求例1中矩阵A的主特征值 与其对应的特征向量.对B应用幂法，仍 取 v0=(0,0,1)T , 则解 取p=-2.5, 做平移变换B=A-pI，则上页下页迭代5步的计算结果见下表k1 2, 4, 3.54 0.5, 1, 0.875 2 7, 14, 10.5625 140.5, 1, 0.7545 3 6.76, 13.5179, 10.1406 13.51790.5, 1, 0.7507 4 6.7503, 13.5007, 10.1256 13.5
9、0070.5, 1, 0.7500 5 6.7500, 13.5000, 10.1250 13.50000.5, 1, 0.7500可得到B的主特征值为 113.5000,主特征向量为 v1 (0.5 ,1.0, 0.7500)T ,因此，A的主特征值为 1 = 1 +p 11.0000, 主特征向量仍为 x1 =(0.5,1,0.7500)T .上页下页原点位移的加速方法，是一个矩阵变换方法. 这种变换容易计算，又不破坏矩阵A的稀疏性，但p的选择依赖对A的特征值分布的大致了解.见书p306-例5.上页下页设ARnn为对称矩阵，称为向量x的瑞利商，其中(x, x)=xTx为内积. 由定理11知
10、道，实对称矩阵A的特征值1及n可用瑞利商的极限值表示. 下面我们将瑞利商应用到用幂法计算实对称矩阵A的主特征值的加速上来.2、瑞利商(Rayleigh)加速上页下页定理14 设ARnn为对称矩阵，特征值满足对应的特征向量xi满足(xi, xj)=ij (单位正交向量) ，应用幂法公式(2.9)计算A的主特征值1，则规范化向量uk的瑞利商给出1的较好的近似值为由此可见，R(uk)比k更快的收敛于1.上页下页证明 由(2.8)式及得上页下页幂法的瑞利商加速迭代公式可以写为其中A为n阶实对称矩阵.对给定的误差限，当| kk-1|n|0，则对任意非零初始向量u0(an0) ，由反幂法计算公 式构造的向
11、量序列vk，uk满足上页下页在反幂法中也可以用原点平移法加速迭代过程， 或求其它特征值与其对应的特征向量.如果矩阵(A-pI)-1存在，显然其特征值为对应的特征向量仍然是x1,x2,xn，现对矩阵(A-pI)-1应用幂法，得到反幂法的迭代公式上页下页如果p是A的特征值j的一个近似值，且设j与其它特征值是分离的，即就是说1/(j-p)是矩阵 (A-pI)-1的主特征值，可用反幂 法(2.12)计算特征值及特征向量.设ARnn有 n个线性无关的特征向量 x1,x2, xn，则上页下页其中同理可得：上页下页定理16 设ARnn有n个线性无关的特征向量， 矩阵A的特征值及对应的特征向量分别记为i 及x
12、i (i=1,2,n)，而p为j的近似值，(A-pI)-1存在，且则对任意非零初始向量u0(aj0) ，由反幂法计算公式 (2.12)构造的向量序列vk，uk满足且收敛速度为上页下页由该定理知，对A-pI(其中pj)应用反幂法，可 用来计算特征向量xj，只要选择p是j的一个较好的近 似且特征值分离情况较好，一般r很小，常常只要迭代 一二次就可完成特征向量的计算.反幂法迭代公式中的vk是通过解方程组求得的, 为了节省工作量, 可以先将A-pI进行三角分解于是求vk相对于解两个三角形方程组上页下页实验表明, 按下述方法选择u0是较好的: 选u0使用回代求解(2.13)即得v1,然后再按公式(2.1
13、2)进行迭代.反幂法计算公式见书p311. 前面已提到.见书p311-例6.上页下页8.3 豪斯霍尔德方法(1)用初等反射矩阵作正交相似变换约化一般实矩阵A为上海森伯格矩阵.8.3.1 引言本节讨论两个问题(2)用初等反射矩阵作正交相似变换约化对称矩阵A为对称三对角矩阵.于是，求原矩阵特征值问题，就转化为求上海森伯格矩阵或对称三对角矩阵的特征值问题.上页下页8.3.2 用正交相似变换约化一般实矩阵为上海森伯格矩阵设ARnn，下面来说明，可选择初等反射矩阵 U1,U2,Un-2使A经正交相似变换约化为一个上海森 伯格阵.(1) 设上页下页其中c1=(a21,an1)TRn-1 ,不妨设c10，否
14、则这一步不 需要约化. 于是, 可选择初等反射阵 使 ，其中令上页下页则其中上页下页(2) 第k步约化：重复上述过程，设对A已完成第1 步,第k-1步正交相似变换，即有或且上页下页其中 为k阶上海森伯格阵，设ck0, 于是可选择初等反射阵Rk使 其中，Rk计算公式为上页下页令则上页下页其中 为k+1阶上海森伯格阵，第k步约化只需计算 及 (当A为对称矩阵时，只需要计算 ).(3) 重复上述过程，则有上页下页定理17 (豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格阵) 设ARnn则存在初等反射矩阵U1,U2,Un-2 使为上海森伯格矩阵.总结上述结论，有算法1 (豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格阵) 设ARnn，本算法计算U0TAU0=H(上海森伯格型)，其中U0=U1U2Un-2为初等反射阵的乘积.1. U0I上页下页2. 对于k=1,2,n-2(1) 计算初等反射阵Rk使本算法约需要5n3/3次乘法运算，要明显形成U0还 需要附加2n3/3次乘法.(2) 约化计算(3) U0U0Uk上页下页例7 用豪斯霍尔德方法将矩阵约化为上海森伯格阵.解 选取初等反射阵R1使 , 其中c1=(2,4)
