“函数与方程”的教学

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1、 “函数与方程函数与方程”的教学的教学湖南省宁远县第一中学 欧阳才学 425600TelTel: 0746-13207468525 E-mailE-mail: Q Q Q:Q:675389868“函数与方程”是人教社新课标数学必修（人教 A 版）新出现的内容，它由“方程的 根与函数的零点”和“用二分法求方程的近似解”两小节构成，如何进行这部分知识的教学值得 探讨 课程目标课程目标 （）让学生了解方程实根与函数零点的关系主要通过学生所熟知的一元二次方程的实根 与对应的一元二次函数图象之间的关系，导出一般函数与相应方程的实根之间的关系由于它涉 及连续函数介值定理，所以无法把道理讲透，只能通过函数图

2、象直观地感知但要让学生了解如 何确定根的个数以及二分法应用的条件 （）让学生掌握二分法，并能利用计算器或计算机用二分法求方程的近似解； （）培养和加强函数与方程思想和数形结合思想的运用通过用二分法求方程的近似解， 使学生体会函数的零点与方程实根的联系，初步形成用函数的观点处理问题的意识 课程引入课程引入 要让学生了解函数与方程的关系，树立函数与方程思想，途径很多，为何教材要引进二分法 求方程的近似解？解方程是我们常常遇到的问题之一，但能求出其精确解的方程毕竟不多，在实 际问题中其实也只要求出符合一定精确度的解即可求方程的近似解，一般应用的是弦位法、切 线法（牛顿法）或综合法等二分法因收敛较慢（

3、初始区间长度为，要使解的精度达到千分之 一，需要迭代十次；精度要达到万分之一，则需要迭代十四次，而要使初始区间长度能确定在 以内并非易事）而比较少用，但它简单易学，不需要什么预备知识（如导数和凹性等） ，同时它 也体现了算法思想，所以教材将其作为函数与方程思想运用的一个范例像一元二次方程根的分 布与方程的关系也很重要，虽然它体现的算法思想并不典型，但作为 高中阶段的学习还是很重要的，对此若能作个介绍也是大有裨益的 要培养学生的探究能力，就应当培养学生发现问题的能力，西方 有句名言：“发现问题就等于解决问题的一半 ”为此我们作了这样的 铺垫：【问题】求方程的实根323310xxx 【解】由配方可

4、得，所以3(1)0x1x 【问题】解方程321 10 91 40xxx. 【评析】方程左边无法配方，所以我们暂时还无法解此方程以 前数学家也有像解一元二次方程那样去寻找一元三次方程 的求根 公式，但因其推导过程复杂且公式不易记忆，所以中学课本一般都不作介绍 图当然，我们现在可以利用几何画板来求解在几何画板上绘出函数的321 10 91 4yxxx. 图象，在图象上选取一个 点并度量其横坐标和纵坐标当移动该点时，函数值 就会相应地改变当函数值为 0 或接近 0 时，这个横坐标的值 （0.6707）就是此方程的（近似）解（见图 1） 学生观看了演示，认为这方法简单，又易操作，很好！ 教师进一步引导

5、：此法虽简单，但无法估计其精度能否寻 找一种比较通用的、特别是可以利用程序让计算机自动求解的其 它方法呢？ 【问题】孔子（前 551前 479） ，名丘，字仲尼，鲁国 人中国春秋末期伟大的思想家和教育家，儒家学派的创始 人全世界 300 万姓孔的人都可能被认为是孔子的后代孔子的yxyA = 0.00016xA = 0.6707012-1-212-1oAyxf a = 3.00004 106a = 1.180531234-112-1-2oA族人传承 2550 年至今，已繁衍有 83 代由于族系跨度较大，假设平均五代同堂的话，那么一个 父母每个世代平均繁衍的数量是多少？ 图【评析】设一个父母每代平

6、均繁衍的数量为 x 个，则有此方程现在我们也无 78798081823000000xxxxx法解类似地，我们用几何画板先绘出函数的图象，然后利用度量7879808182yxxxxx功能，估算出当函数值等于或接近 300 0000 时方程的近似解（见图 2） 由于指数太1 18053x . 大，曲线几乎是垂直上升，所以操作起来很不方便为了使移动点更方便些，也可把点选在 x 轴 上，而不是在曲线上，然后再计算其函数值 一般地，高于 4 次的一元高次方程就不再有求根公式可寻了， （有兴趣的学生可以自己去阅 读有关高次方程解的书籍或上网查找相关的网页）这就更加使得寻找一种新的求解方程方法的必 要 函数

7、与方程的关系函数与方程的关系 从前面我们可以大致看出函数与方程之间的关系，为了使学生有 更加清楚的认识，我们用学生比较熟悉的二次函数作进一步地说明借助几何画板绘出二次函数的图象，利2(0)yaxbxc a 用度量和计算功能，确定函数的零点，即相应的一元二次方程的实根，并算出相应方程判别式的值（见图20(0)axbxca ） 改变参数 a、b 和 c 的值，观察交点的情况以及相应判别式的 值 我们还可以让学生观看其它各种函数图象从图中让学生直观地 图 看出，对一般的函数，若，则相应方程在区间有实根注意，这是一个充( ) ( )0f m f n ( , )m n 分条件，要确定等价条件（即充分必要

8、条件） ，还必须再考虑其它条件而且，在一个区间究竟 有几个实根，除了看函数值是否变号外，还应考虑函数的单调性（这个问题要彻底解决，还有待 后面所学的导数之运用） 解决问题的方法的探究解决问题的方法的探究 接着引导学生如何寻求一种恰当的解决问题的方法，为此我们给出一些问题情境 【问题】人们常说“天下乌鸦一般黑” ，如果有人对此有怀疑，想要否定它，他该如何做？【评析】当结论只有成立或不成立两种情形时，可用反证法譬如，我们找到了一只或几只 （换句话说就是至少有一只）白乌鸦，那么就可以否定“天下乌鸦一般黑” 【问题】当电灯不亮的时候，若要寻找原因，我们是如何做的？ 【评析】我们一般会检查电灯或开关是否

9、坏了，抑或是保险丝烧了、外部线路坏了，等 等如果是外部线路坏了，而线路又很长（如几千米甚至更长） ，我们要进一步确定线路究竟坏 在哪里时，一般有经验的电工总是先根据停电范围来确定断路的可能区域，再采用二分法来逐段 排除，从而很快地找到线路究竟坏在何处这种方法叫做分类归缪法 【拓展】解决问题的途径一般有两种，一是从已知条件结论（演绎推理） ，二是从问题的 结论已知信息与已知条件矛盾后一种方法又常采用归缪法，它又可细分为： （）反证法当结论只有成立或不成立两种情形时譬如，我们要说明平面内两条直线的 位置关系平行或相交时，即可用反证法若两直线不相交，它们就必平行；反之，如果它们 不平行，它们就必相交

10、（）选择法供选择的结论不多如：下列那一项是方程的解？3247100xxx A2 B5 C4 D3 （）分类归缪法供选择的结论很多譬如，要证明有关三角形的某个定理，我们并不是 对每个三角形进行论证的，而是分别从锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形等三种情形分别 加以证明 【思考】分类归缪法与方程的解有关系吗？（类比法难在要找出似乎毫无关联的两类事物之 间的相似之处） 【引导】从前一节我们了解了方程的根与函数零点的关系，事实上，零点就是对应方程的实654321-1-2-3-4-5-6y-10-8-6-4-22468x= = b2-4 a c = 1.04982Ox1x2根，它是方程的精确解但在实际

11、问题中，这个解一般不易求出，在应用上，我们更多地是求满 足一定精确度的近似解很显然，要找到零点，就像电工师傅一样，可用分类归缪法来寻找，即 在一个单调区间内，若两端点处的函数值同号，那么区间内对应方程必定无实根；反之，若两端 点处的函数值异号，那么区间内对应方程必定有一实根（为方便起见，一般取其中点作为近似解） 通过逐个排除，从而逐渐缩小区间的范围，直到找出满足精确度的近似解用二分法求方程的 近似解有一个优点，就是便于计算机程序化计算 （事实上，如果我们借助几何画板寻找零点时 就不一定要用二分法） 方法的应用方法的应用 上课时可让学生陈述课前预习时所掌握的二分法的原理以及解题步骤注意： （）从

12、几何上看，求方程的解就是寻找相应的函数图象与 x 轴交点的横坐标，而二分法并 不是直接寻找交点，而是寻找函数值变号的一个尽可能小的区间； （）求方程的近似解时，精确解（）是未知的当相邻两个近似解满足时，由，说明精确解介于和之间，故有1|(*)iixxiN1()( )0iif xf xA1ixix或，所以和都已满足精确度，均可作为近似1|(*)ixiN|(*)ixiN1ixix解所以通过比较相邻两个的近似解（其函数值要异号）可以确定精确度； （）如果方程有重根，即相应函数在区间端点的函数值不变号，曲线与 x 轴相切时，则无 法用二分法求解 作为方法应用的一个例子，我们用二分法来求解 中的问题 为

13、了便于讲解，可借助几何画板的计算功能进行演 示（见图） 操作过程：根据精度要求，通过参数选 项选择精度（此题选定为千分之一） ；绘制函数图象； 利用函数计算函数值，并根据函数值异号的相邻点计 算区间中点的值；计算误差，并确定近似解 由计算可知，此方程的近似解为或0.670x 显然，要得到一个比较精确的值，其计算次0.671x 数是比较大的 【练习】求方程的近似解，使误差ln260xx 不超过0 01. 【提示】为了减少计算量，可先作出函数和lnyx的草图，确定其交点横坐标的大概值练习26yx 时，可让同桌同学合作，一个计算，另一个纪录 拓展探究拓展探究（从几何画板运用方面） 图【问题】利用几何

14、画板求方程的近似解（精确度 0.0001） 237xx 【解析】几何画板中用解析式绘制的函数图象 与坐标轴不能构造交点，但不是用解析式绘制的图 形，那是可以构造交点并度量其坐标的既然是求 方程的近似解，所以我们可以在零点附近构造一条 线段（弦） ，然后构造弦与 x 轴的交点并度量其横坐 标（精度定为万分之一） 接着，一端固定（此点的 选择与函数的单调性以及凹性有关，如此题的 A 点） ， 另一端在曲线上找一点（其横坐标等于交点的横坐 标） ，两端点连成新的弦，再构造交点，依次进行下 去，直到求出满足精确度的近似解为止 图 （见图） 显然，满足要求 （此法其实就是弦位法）1.4332x yx 0 00.625+0.752= 0.688 0.001 0 0 0 0 0 0 0 00+12= 0.500f 1 = 1.600f 0 = -1.400f x = x3+1.1 x2+0.9 x -1.41234-1-2-312-1-2O在课外作业方面，除课本上的习题外，还可让学生收集并阅读有关资料，写一篇古今中外数 学家关于方程求解问题探索历程的文章