概率论与数理统计(A)

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1、概率论是研究什么的？概率论与数理统计的研究对象 随机现象：不确定性与统计规律性概率论研究和揭示随机现象的统 计规律性的科学 概率论与数理统计第一章 随机事件及其概率 第一节 随机试验 随机事件 第二节 随机事件的概率 第三节 条件概率 第四节 事件的独立性 第五节 伯努利概型第一节 随机试验 随机事件一、概率论研究对象: 随机现象 1.确定性现象(或必然现象)在一定的条件下,必然会出现某种确定的结果.包括肯定出现和 肯定不会出现的结果.如在标准大气压下,水烧到100肯定会 开;再如石头不会变成小鸡(肯定不会发生,也具有确定性) 2.随机现象(或不确定性现象)在一定的条件下,可能会出现各种不同的

2、结果. 如抛一枚硬币, 观察出现的结果,可能出现正面也可能出现反面朝上.掷一颗均 匀的骰子,观察出现的点数,可能会有六种结果. 3.随机试验的特点 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现.随机试验可表示为E 随机试验例子 E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反 面; E2: 从一批产品中任意取10件样品,观测其中的次品数； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷两颗骰子，考虑可能出现的点数之和； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其

3、寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重.随机现象从表面上看,由于人们事先不能知道会出现哪 一种结果,似乎是不可捉摸的,其实不然.如抛一枚均匀的硬 币我们知道出现哪一面的机会都是一样的(1/2);而掷一颗 均匀的骰子,则出现每一种点数的机会均等(1/6).这些结果 都是进行大量的重复试验(观察)得来的结果.二、概率论的研究范畴:样本空间1. 样本空间：试验的所有 可能结果所组成的集合称 为样本空间，记为 2. 样本点: 试验的每一个 结果或样本空间的元素称 为一个样本点,记为 3.由一个样本点组成的单点 集称为一个基本事件,也 记为随机试验的样本点与样 本空间是由试验的目的 决定的.例如连续

4、抛一 枚硬币两次,如果观察 正面或反面朝上的情况 ,并用数字1表示正面朝 上,数字0表示反面朝上 .具体情况如下:三. 随机事件1.定义 随机试验中可能出现或可能不出现的情况叫 “随机 事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素. 2.两个特殊事件: 必然事件 、不可能事件 例如 对于试验E3 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件 A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B=“三次出现同一面”=HHH,TTT C=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如

5、，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000P(B), P(B|A3)0,则事件A与B的交的概率P(AB)P(A)P(B|A) 或者P（B）0时, P(AB)P(B)P(A|B) 称为事件A、B的概率乘法公式。(P18)上式可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 如何证明? 一般地，可推出下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).三、概率乘法公式例1 设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件上不 放回地连续取三次,每次取一个求:(1)三次都取得一等品的概率 ; (2)三次中至少有一次取得一等品的概率.(

6、2)分析:三次中至少有一次取得一等品,包括正好取得一 件一等品,正好取得两件一等品和正好取得三件一等品 三种情形,直接计算比较烦琐,以下用逆事件求解,即三 次都是非一等品例2 10个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回).甲先乙次 丙最后,求:(1)甲抽到难签的概率;(2)甲和乙都抽到难签的概 率;(3)甲没有抽到而乙抽到难签的概率;(4)甲,乙和丙都抽到 难签的概率. 解 设事件AB C分别表示甲乙和丙各抽到难签,于是有(一)全概率公式 本节先用树图解决一些概率问题,然后再提炼出全概率公式例1 连续两次掷一枚均匀硬币两次,所有可能的结果有哪些? 出现一次正面一次反面的概率是多少? 解 样本

7、空间为=(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)事件A=(正,反), (反,正),故P(A)=2/4=1/2用树图求解如下,设Ai表示第i次出现正面(i=1,2)正反正反正 反P=1/2P=1/2P=1/2P=1/2P=1/2P=1/2第一次第二次从右边树图可以看出到达事件 A=一正一反有两条路径(加法原 理),而每一条路径分为两步(乘法 原理),于是所求的概率为四、树图在概率计算中的应用例2 在空战中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率为0.2;若乙机未被击落,就进行反击,击落甲机的概率为0.3;若甲机未被击落,则继续攻击乙机,击落乙机的概率为0.4;求在这几个回合的较量中:(1)甲机被

8、击落的概率;(2)乙机被击落的概率.乙机落乙机未落甲机落甲机未落乙机落乙机未落第一回合第二回合 第三回合定义(P19)设试验E的样本空间为，事件A1，A2，An (n可 为)两两互不相容，且 则称A1，A2，An为样本空 间的一个（有限）分割或完全事件组.定理 设A1，, An是的一个分割，且P(Ai)0，(i1， ，n)，则对任何事件B 有 则这个公 式称为全概率公式. 在全概率公式中,条件 可改为例3 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中 有两个红球，一个白球这六个球在手感上不可区别今从甲 袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球 是红球的概率？ 解：设A1 从

9、甲袋放入乙袋的是白球;A2 从甲袋放入乙袋的是红球;B 从乙袋中任取一球是红球;则 第一种可能第二种可能例1:市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三 家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,且三家工厂的次品 率分别为 2、1、3,现有某消费者从市场上购得该品牌产 品而且是次品,问这件次品最有可能是哪个工厂的产品?先求总的次品率(二)贝叶斯公式例2 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只 次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任 选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一 个次品的概率是多少？ 解 设B表示从一箱中任取

10、4只检查,结果都是好的.A0, A1, A2分别表示事件每箱含0，1，2只次品定理(P20) 设A1，, An是的一个划分，且P(Ai) 0，(i1， ，n)，则对任何事件B ，有 则称该公式为贝叶斯公式.（逆概率公式）如果事件B是由于在两两互不容的事件A1，, An中某一个发生 的情况下而发生的,并且知道各个事件Ai发生的概率P(Ai) 以及 在事件Ai已经发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|Ai)(i=1， 2，n)，把事件A1，, An看作是导致事件B发生的原因， P(Ai)称为先验概率，如果事件B发生了，则这一信息将有助于探 讨事件B发生的原因.条件概率P(Ai|B)(i=1,2,

11、n)称为后验概 率.条件概率 条件概率 小 结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式第四节 事件的独立性引例 设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件中 有放回地连续取二次,每次取一个,求:第二次都取得一等品的概 率.定义(P22) 设A、B是同一试验E的两个事件， P(A) 0,若 P(B)P(B|A) 即P(AB)P(A)P(B)则称事件A与B是相互独立。一、两事件独立以下四件事等价： (1)事件 相互独立； (2)事件 相互独立； (3)事件 相互独立； (4)事件 相互独立。思考题:互不相容事件和独立事件有关系吗?二、多个事件的独立(一) 多个事件两两独立例2

12、 一均匀正八面体,其第1,2,3,4面染红色,第1,2,3,5面染 白色,第1,6,7,8面染黑色,以A 、B 、C分别表示投一次正八 面体出现红、白、黑事件,则有(二) 多个事件的独立性的定义定义 若三个事件A、B、C满足： (1)P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立； 若在此基础上还满足： (2)P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立.定义(p24)若n个事件A1 , A2 , ,An (n3),若其中任意k个事 件 例4 设事件A、B、C、D相互独立则加法公式独立性的定义提取

13、公因子加法公式三、应用独立性计算概率 1.应用公式计算概率例1 一个元件能正常工作的概率称为 这个元件的可靠性,一个系统能正常工 作的概率称为这个系统的可靠性.设一 个系统由四个元件按右图组成,各个元件能否正常工作是相互独立的,且每个 元件的可靠性都等于p(0p1),求这个系统的可靠性。2. 独立性在可靠性理论上的应用解 设Ai表示第i个元件能正常工作(i=1,2,3,4),事件A表示系统LR能正常工作，则有加法公式德摩根定 律第五节 伯努利概型一. 伯努利概型的特点(P25) 1.重复: 试验重复进行n次; 2.独立: 每次试验是独立的,即每次试验结果出现的概率不依赖于其它各次试验的结果.

14、3.每次试验的结果只有两个,即事件A出现或是不出现. 二. 伯努利概型的计算事件A在n次独立试验中恰好出现(发生)k次的概率.定理 在伯努利概型中,设事件A在每次试验中发生的概率为 P(A)=p(0p1),则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为定理的解释:先看比较简单的试验,试验共进行3次,求在这3次 试验中事件A正好发生2次的概率.事件A在3次试验中出现2次的可能情况如下:试 验概 率第一 次第二 次第三 次 乘法 原理第一 次第二 次第三 次第一 次第二 次第三 次三.常见题型另解概率很小的随机事件在一次试验中实际上是几乎不发生的, 这一原理叫做小概率事件的实际不可能性原理,又称为实际 推断原理,它有着广泛的应用.例5 设在独立重复试验中每次试验成功的概率为0.5,问需要 进行多少次试验,才能使至少成功一次的概率不小于0.9?解 设需要进行 n 次独立重复试验,则在试验中至少成功一 次的概率为1-Pn(0)=1-(1-0.5)n由条件1-(1-0.5)n0.9,可解得n1/(lg2) 3.3所以 n=4 ,即需要 4 次试验,才能使至少成功一次的概率不 小于 0.9.