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1、1课时达标检测课时达标检测( (十七）十七） 导数与函数的综合问题导数与函数的综合问题一、全员必做题1(2017宜州调研)设f(x)|ln x|，若函数g(x)f(x)ax在区间(0,4)上有三个零点，则实数a的取值范围是_解析：令y1f(x)|ln x|，y2ax，若函数g(x)f(x)ax在区间(0,4)上有三个零点，则y1f(x)|ln x|与y2ax的图象(图略)在区间(0,4)上有三个交点由图象易知，当a0 时，不符合题意；当a0 时，易知y1|ln x|与y2ax的图象在区间(0,1)上有一个交点，所以只需要y1|ln x|与y2ax的图象在区间(1,4)上有两个交点即可，此时|l
2、n x|ln x，由 ln xax，得a.令h(x)，x(1,4)，则h(x)ln x xln x x，故函数h(x)在(1，e)上单调递增，在(e,4)上单调递减，h(e) ，h(1)1ln x x2ln e e1 e0，h(4)，所以a .ln 4 4ln 2 2ln 2 21 e答案：(ln 2 2，1e)2(2018常州中学第一次检测)设二次函数f(x)ax2bxc(a，b，c为常数)的导函数为f(x)对任意xR，不等式f(x)f(x)恒成立，则的最大值为b2 a2c2_解析：由f(x)ax2bxc得f(x)2axb.因为对任意xR，不等式f(x)f(x)恒成立，即ax2bxc2axb
3、恒成立，所以ax2(b2a)x(cb)0，所以Error!即Error!Error!所以.设t ，y(t1)，b2 a2c24ac4a2 a2c24(ca1)1(ca)2c a4t1 1t2则y(t1)41t22tt1 1t224t22t1 1t22由y0 得t1，所以当 1t1 时，y0，当t1 时，y0.222所以t1 时，y取得极大值，也是最大值，即ymax22.24 2111 2122答案：2223(2018苏北四市期末)已知函数f(x)Error!若函数f(x)的图象与直线yx有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为_解析：当x1 时，f(x)sin x与yx的图象有 1 个交点，为
4、(0,0)，2则当x1 时，f(x)x39x225xa与yx的图象有 2 个交点，即关于x的方程x39x224xa0 在x1，)有两个不同解令g(x)x39x224xa，x1，)，则g(x)3x218x243(x2)(x4)，由g(x)0 得x2 或 4.且x1,2)，g(x)0，g(x)递增；x(2,4)，g(x)0，g(x)递减；x(4，)，g(x)0，g(x)递增所以g(2)20a0 或g(4)16a0，解得a20 或a16.故实数a的取值集合为20，16答案：20，164已知函数f(x)axxln x(aR)(1)若函数f(x)在区间e，)上为增函数，求a的取值范围；(2)当a1 且k
5、Z 时，不等式k(x1)f(x)在x(1，)上恒成立，求k的最大值解：(1)f(x)aln x1，由题意知f(x)0 在e，)上恒成立，即 ln xa10 在e，)上恒成立，即a(ln x1)在e，)上恒成立，而(ln x1)max(ln e1)2，a2，即a的取值范围为2，)(2)当a1 时，f(x)xxln x，x(1，)，原不等式可化为k，fx x1即k对任意x1 恒成立xxln x x1令g(x)，则g(x).xxln x x1xln x2 x12令h(x)xln x2(x1)，则h(x)1 0，1 xx1 xh(x)在(1，)上单调递增h(3)1ln 30，h(4)22ln 20，存
6、在x0(3,4)使h(x0)0，即g(x0)0.即当 1xx0时，h(x)0，即g(x)0.3当xx0时，h(x)0，即g(x)0.g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增由h(x0)x0ln x020，得 ln x0x02，g(x)ming(x0)x0(3,4)，x01ln x0 x01x01x02 x01kg(x)minx0且kZ，即kmax3.5已知函数f(x)(a1)ln xax21.(1)讨论yf(x)的单调性；(2)若a2，证明：对x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.a1 x2ax2a1
7、xa2x211 x当a0 时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增当a1 时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减当1a0 时，令f(x)0，解得x ，a12a由于f(x)在(0，)上单调递减，故当x时，f(x)0，f(x)在上单调递增；(0， a1 2a)(0， a1 2a)当x时，f(x)0，f(x)在上单调递减(a12a，)a12a，(2)证明：不妨假设x1x2.由于a2，故f(x)在(0，)上单调递减|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于f(x2)f(x1)4x14x2，即f(x2)4x2f(x1)4x1.令g(x)f(x)4x，则g(x)2ax4，a1 x2ax24
8、xa1 x于是g(x)0.4x24x1 x2x12 x从而g(x)在(0，)上单调递减，故g(x1)g(x2)，即f(x2)4x2f(x1)4x1，故对x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.6(2017南通二模)植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于 30 m的围墙现有两种方案：方案 多边形为直角三角形AEB(AEB90)，如图 1 所示，其中AEEB30 m；4方案 多边形为等腰梯形AEFB(ABEF)，如图 2 所示，其中AEEFBF10 m.请分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案解：设方案、中苗圃面积分别为S1，S2.方案：设
9、AEx，则S1x(30x)2(当且仅当x15 时取1 21 2x30x 2225 2等号)方案：设BAE，则S2100sin (1cos )，(0， 2)由S2100(2cos2cos 1)0 得 cos (负值舍去)1 2因为，所以，列表(0， 2) 3(0， 3) 3( 3，2)S20S2极大值所以时，S2取得最大值为 75， 33又 75，3225 2故方案、中苗圃最大面积分别为m2,75m2.建苗圃时用方案，且BAE.225 23 3二、重点选做题1(2017徐州期初测试)已知函数f(x)ex，g(x)ax2bx1(a，bR)(1)若a0，则a，b满足什么条件时，曲线yf(x)与yg(
10、x)在x0 处总有相同的切线？(2)当a1 时，求函数h(x)的单调减区间；gx fx(3)当a0 时，若f(x)g(x)对任意的xR 恒成立，求b的取值的集合解：(1)f(x)ex，f(0)1，又f(0)1，yf(x)在x0 处的切线方程为yx1，又g(x)2axb，g(0)b，又g(0)1，yg(x)在x0 处的切线方程为ybx1，所以当a0，aR 且b1 时，曲线yf(x)与yg(x)在x0 处总有相同的切线5(2)a1，则h(x)，x2bx1 exh(x)，x22bxb1 exx1x1b ex由h(x)0，得x11，x21b，当b0 时，函数yh(x)的减区间为(，1b)，(1，)；当
11、b0 时，函数yh(x)的减区间为(，)；当b0 时，函数yh(x)的减区间为(，1)，(1b，)(3)由a0，得(x)f(x)g(x)exbx1，(x)exb，当b0 时，(x)0，函数(x)在 R 上单调递增，又(0)0，x(，0)时，(x)0，与函数f(x)g(x)矛盾，当b0 时，由(x)0，得xln b；由(x)0，得xln b，函数(x)在(，ln b)上单调递减，在(ln b，)上单调递增，()当 0b1 时，ln b0，又(0)0，(ln b)0，与函数f(x)g(x)矛盾，()当b1 时，同理(ln b)0，与函数f(x)g(x)矛盾，()当b1 时，ln b0，函数(x)在
12、(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，(x)(0)0，故b1 满足题意综上所述，b的取值的集合为12.已知函数f(x)xexaln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当be 时，f(x)b(x22x2)解：(1)因为f(x)(x1)ex ，x0，a x依题意得f(1)0，即 2ea0，解得a2e.所以f(x)(x1)ex，显然f(x)在(0，)上单调递增且f(1)0，故2e x当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)证明：当b0 时，由(1)知，当x1 时，f(x)取得最小
13、值 e.6又b(x22x2)的最大值为b，故f(x)b(x22x2)当 00，2e x则h(x)(x2)ex2b，2e x2当x(0,1时，2b0，(x2)ex0，所以h(x)0，2e x2当x(1，)时，(x2)ex2b0，0，2e x2所以h(x)0，所以当x(0，)时，h(x)0，故h(x)在(0，)上单调递增，又h(1)0，所以当x(0,1)时，g(x)0.所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x1 时，g(x)取得最小值g(1)eb0，所以g(x)0，即f(x)b(x22x2)综上，当be 时，f(x)b(x22x2)三、冲刺满分题1(2017江苏高考)已知函数f(x)x3ax2bx1(a0，bR)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a；(3)若f(x)，f(x)这两个函数的所有极值之和不小于 ，求a的取值范围7 2解：(1)由f(x)x3ax2bx1，得f(x)3x22axb32b.(xa 3)a2 3当x 时，f(x)有极小值b.a 3a2 3因为f(x)的极
