线性代数简介

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1、什么是线性代数什么是线性代数线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及 线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。它的研 究对象是向量，向量空间（或称线性空间） ，线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是 现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过 解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研 究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和 社会科学中。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速

2、度 作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过 是一个符号 , 表示包括y/x 的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使 我们直接而创造性地想象物理上发生的事情） 。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是 一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这 两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与 空间。十九世纪上半叶才完成了到 n 维向量空间

3、的过渡 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半 叶，因若当的工作而达到了它的顶点1888 年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限 维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中线 性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基 的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一 概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。由于它的简便，所以就代数在数学和物理的各种不同分支的应用来说，线性代数具有 特殊的地位此外它特别适用于电子计算机的计算，所以它在数值分析与运筹学中占有重 要地位。 线性代

4、数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学 科。主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千 年前出现（见于我国古代数学名著九章算术 ） 。线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支 中占居首要地位；在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术 无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以 及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常 有用的； 随着科学的发展，我

5、们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间 的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问 题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不 容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作 为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和 操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产

6、总值（GNP） 。 当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利 亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里， 每个国家的 GNP 都在各自的位置上。作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分， 而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有： 不可逆线性映射或矩阵的群，向 量空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在 向量分析中描 述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。向量空间是在域上定义的，比如实数

7、域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到 另一个线性空间（也可以是同一个线性空间） ，保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。 所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有 线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行 列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。我们可以简单地说数学中的线性问题-那些表现出线性的问题是最容易被解决 的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时 可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工

8、程学中最主要的应用之一。来自 详文参考：http:/ Algebra,源于阿拉伯语。其本意是“结合在一起”。也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。抽象的目的不是为了显示某些人智商高，而是为了解决问题的方便！为了提高效率。把一些看似不相关的问题化归为一类问题。线性代数中的一个重要概念是线性空间（对所谓的“加法”和“数乘”满足 8 条公理的集合），而其元素被称为向量。也就是说，只要满足那么几条公理，我们就可以对一个集合进行线性化处理。可以把一个不太明白的结构用已经熟知的线性代数理论来处理，如果我们可以知道所研究的对象的维数(比如说是 n)，我们就可以把它等同为

9、 Rn，量决定了质！多么深刻而美妙的结论！上面我说的是代数的一个抽象特性。这个对我们的影响是思想性的！如果我们能够把他用在生活中，那么我们的生活将是高效率的。下面简要谈一下线性代数的具体应用。线性代数研究最多的就是矩阵了。矩阵又是什么呢？矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。也就是说如果你抽象出某种变化的规律，你就可以用代数的理论对你研究的数表进行变换，并得出你想要的一些结论。另外，进一步的学科有运筹学。运筹学的一个重要议题是线性规划，而线性规划要用到大量的线性代数的处理。如果掌握的线性代数及线性规划，那么你就可以讲实际生活中的大量问题抽象为线性规划问题。以得到最优解：比如

10、你是一家小商店的老板，你可以合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。如果你是一个大家庭中的一员，你又可以用规划的办法来使你们的家庭预算达到最小。这些都是实际的应用啊！ 总之，线性代数历经如此长的时间而生命力旺盛，可见她的应用之广！多读读书吧， 数学是美的，更是有用的！线性代数入门线性代数入门（1）什么是线性代数）什么是线性代数线性代数几乎是每个学理工科的大学生都会学的一门课，然而我感觉大家 对这门课的感觉都不怎么好，很多人都觉得不知道线性代数是做什么的，或者 为了应付考试学会了一些计算和解题的方法。但在其他课程学习中却常常看到 那些矩阵、向量等等，便头疼万分，对线性代数更是深恶痛绝。最后一个

11、大学 学下来，还是没明白线性代数是什么东西，更别说去用其中的方法了。所以我 一直想写一些关于线性代数的东西，说说自己的理解，一者给自己整理整理思 路，二者或许能给一些恰好看到的朋友们一些启发。学疏才浅，自己也只是一 知半解，大家多多包涵。说了那么多废话，到底什么是线性代数呢？实际上我们在中学里就早已经学过 了。只是我们没用那些神秘的符号，而很多大学的老师只照着课本讲了一遍， 反倒让大家把线性代数里最最原始和简单的东西给丢掉了，以至于觉得线性代 数很难，不知所云。相信大家在中学里一定会解方程吧？还记得多元一次方程吗？会解这些方程， 就一定能很快学会线性代数。因为这两者描述的原本就是同一个事物，只

12、是用 了不同的语言而已。让我们从最简单的方程看起： 其中 x 是变量，a 和 b 是常量。这个方程人人会解，大家都知道 x=b/a，当然， 前提条件是 a 不等于 0。 如果要总结一下这个方程的解，应该是这个样子：这个是一元一次方程，也就是线性代数最简单的原型，这个和我们的矩阵似乎 是风马牛不相及的东西，然而这却是是最简单的形式，那些复杂的情况我们也 希望能变成这样的形式，一切就将是统一、简单和漂亮的。让我们增加一些未知数。我们还是秉承简单的原则，来看一个二元一次方程组。如果你还记得怎么求解二元一次方程组的话（还记得加减消元法和代入消元法 吗？），很容易可以求出 对于三元一次方程组，甚至于更多

13、元的方程组，估计求解起来就要复杂一些。 其实，加减消元法和代入消元法这两招就足够解决它们，只是，如果我们能有 一个标准的算法来求解就可以少走很多冤枉路，很快得到结果。后面，我们会 有机会去使用这个解法，一个用一位伟大数学家名字命名的解法。说了那么久的解方程，还是没有看到线性代数在哪里。那好，我们现在要 变一个魔术。刚才，对于不同的未知数个数，我们分别有一个名字：一元一次 方程、二元一次方程组、三元一次方程组现在我们给他们统一一个名字： 线性方程组。看到一点线性代数的影子了吗？很好，就在于“线性”两个字， 这里的未知数都是一次的。事实上，线性方程组里就包含了线性代数大部分的 内容。线性代数就是那

14、么简单，再重复一下，线性代数线性方程组（2）矩阵 向量让我们回忆一下上一次所说的，线性代数线性方程组。不要怕，这次的问 题仍然非常简单。我们这次要变一个更大一些的魔术，我们会在形式上把所有的线性方程组统一 起来，让它们看上去长得一样，今后我们就可以用相同的方法来处理或是求解 这些方程。我们还是拿上次的那个二元一次方程组来看吧：这个形式和一元一次方程比复杂了很多，要求解也不那么直观，我们就把形式 变化一下，让它看上去像一个一元一次方程一样。首先，我们先把要求的两个变量整合一下：然后把方程等号右边的部分同样整合一下：最后把变量前面的系数单独拿出来聚在一起：现在我们把这些东西拼凑起来：或者更简单的形

15、式： 现在大家一定会怀疑，这玩意儿就这样随便写写就可以了？当然，这不是随便 写写的，我们会去定义这些符号和这些符号之间的运算，然后我们就可以知道， 我们确实是可以把方程写成这个形式的。我们先来定义一下乘法，AX 是什么意思呢？很自然，我们希望这个乘法得到的 结果和方程左边是相同的，于是我们就希望：能看出什么规律吗？我们不用具体的数字，用符号来重写一下：如果还是没看清楚，我们用三个变量来尝试一下：这次看明白了吧。这个乘法的定义就是把系数部分的第一行挨个和变量相乘然 后相加，得到第一个值，第二行再挨个和变量相乘再相加得到第二个值，以此 类推。然后我们还需要定义相等。A 和 X 相乘得到的结果如果我

16、们称之为 C，那 C=B 是 什么意思呢？很简单，就是 C 上每一个位置的值和 B 上相应位置上的值都相等。然后我们再回头看看我们新定义的 AX=B 和原来的方程是不是同一个意思呢？这 样，我们就成功把这个魔术完成了。是不是觉得很无趣？但是，如果我们有一 天发现我们有一种类似于除法的东西，能像我们求解一元一次方程一样求解这 个被我们改写过的二元一次方程，就好比我们的 X 将来可以等于 B/A 一样，你 是不是觉得这个魔术的意义呢？事实上，我们的确存在这样的一个东西，尽管 略有些不同，我们将来会看到在一定的条件下，我们会有这样一个形式：说到现在，我们就把我们这一部分的标题上这两个词解释一下。前面我们有把 方程的系数写成了一个方块，这个方块就叫做矩阵。我们现在可以把矩阵看成 一个线性方程组的系数组成的方块，当然，到后面我们，我们可以逐渐发现矩 阵更重要或者说是更根本的意义。而且