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1、 第2章非线性方程与方程组的数值解法本章重点介绍求解非线性方程 的几种常见和 有效的数值方法,同时也对非线性方程组 求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是 在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的 突破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为 力时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.2.1二分法求非线性方程确定方程的有根区间 计算根的近似值的根的方法分为两步：n首先确定有限区间：依据零点定理。设 ，且 ，则方程 在区间 上至少有一个根。如果 在 上恒正或恒负，则此根唯一。等步长扫描法求有根区间 n用计算机求有根区间：等步长扫描法。 设h0是给定的步长，取 ，若 则扫
2、描成功；否则令，继续上述方法，直到成功。如果 则扫描失败。再将h 缩小 ，继续以上步骤。等步长扫描算法 n算法：（求方程 的有根区间） (1) 输入 ； (2) ； (3) ，若 输出失败信息 ，停机。 (4)若 。输出 ，已算出方程的一个根， 停机。等步长扫描算法(5) 若 。输出 为有根区间 ，停机 (6) ，转 3）n注：如果对足够小的步长h扫描失败。 说明：在 内无根在 内有偶重根二分法 n用二分法(将区间对平分)求解。令 若 ，则 为有根区间， 否则 为有根区间记新的有根区间为 ， 则且 二分法n对 重复上述做法得n且二分法设 所求的根为 ，则即 取 为 的近似解求方程f(x)=0的
3、根的二分法算法求方程f(x)=0的全部实根的二分法算 法求方程f(x)=0的全部实根的二分法算 法例题n例1 设方程解：取h=0.1,扫描得：又即 在 有唯一根。 2.2一般迭代法n2.2.1 迭代法及收敛性对于 有时可以写成 形式如： 迭代法及收敛性考察方程 。这种方程是隐式 方程，因而不能直接求出它的根，但如 果给出根的某个猜测值 ， 代入 中的右端得到 ，再以 为一个 猜测值，代入 的右端得 反复迭代得迭代法及收敛性若 收敛，即 则得 是 的一个根迭代法的几何意义n 交点的横坐标 y=x简单迭代法 将 变为另一种等价形式 。选取 的某一近似值 ，则按递推关系 产生的迭代序列。这种方法算为
4、简单迭代法。例题例2.2.1 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。解：由 建立迭代关系k=10,1,2,3.计算结果如下:例题n精确到小数点后五位例题n但如果由 建立迭代公式仍取 ，则有 ， 显然结果越来越大， 是发散序列迭代法的收敛性n定理2.2.1（压缩映像原理）设迭代函数 在闭区间 上满足（1）（2） 满足Lipschitz条件即 有且 。压缩映像原理则 在 上存在 唯一解 ，且对 ，由 产生的序列 收敛于 。 压缩映像原理n证明：不失一般性,不妨设否则 为方程的根。n首先证明根的存在性令压缩映像原理则 ， 即 由条件2） 是 上的连续函数是 上的连续函数。故由零点定理 在 上至
5、少有一根压缩映像原理n再证根的唯一性设有 均为方程的根则 因为 01时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。迭代法收敛的阶n定理2.2.2 设 是方程 的不动点， 若为足够小的正数 。如果 且 ，则从任意 出发，由 产生的序列 收敛到 ，当 时敛速是线性的。 迭代法收敛的阶n证明：n满足压缩映像原理迭代法收敛的阶n敛速是线性的线性收敛到 。Steffensen迭代格式n由线性收敛知当n充分大时有即Steffensen迭代格式n展开有：Steffensen迭代格式n已知 ，则 ，n改成n=0，1，2，Steffensen迭代格式n也可以改写成n其中迭代函数Steffensen迭代
6、法收敛的充要条件n定理2.2.3 Steffensen迭代法收敛的充要条件n证明：必要性Steffensen迭代法收敛的充要条件n充分性Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度n定理2.2.5 在定理2.2.3假设下，若 产生的序列 至少平方收敛到 。Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度由定理2.2.4知 至少以平方速度 收敛到 。也就是说：简单迭代法是线性收敛 ；Steffensen迭代至少平方以上收敛（ 加速收敛）。例题n例2.2.3试用Steffensen算法求
7、解方程n解法一、取 ，由n = 0，1，2，例题n取初值 ，计算结果如下：N XnYnZn0 1.51.3572088081.3308609591 1.3248991811.3247523791.3247244962 1.3247179571.3247179571.324717957例题n解法二、取 ，由n对于该迭代函数在一般迭代法中是发散的，而Steffensen格式却是收敛的。n=0，1，2，例题n取初值 ，计算结果如下：N XnYnZn 0 1.52.3751.239648437 1 1.4162929751.8409219155.238872769 2 1.3556504421.491
8、3982792.317270699 3 1.3289487771.3470628831.444351224 4 1.3248044891.3251735441.327117281 5 1.3247179441.3247181521.324718980 6 1.324717957Steffensen迭代格式几何解释Steffensen迭代算法Steffensen迭代算法2.3 Newton迭代法n设x * 是方程f (x ) = 0的根，又x0 为x * 附近的一个值 ，将f (x ) 在x0附近做泰 勒展式令 ，则Newton迭代法去掉 的二次项，有：即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得
9、 ：Newton迭代法以此产生的序列Xn得到f(x)=0的近似 解，称为Newton法，又叫切线法。Newton迭代法几何解释n几何意义例题例2.3.1 用Newton法求 的近似解。 解：由零点定理。例题例题n例2.3.2 用Newton法计算 。 解：Newton迭代法算法框图Newton迭代法算法Newton迭代法收敛性定理2.3.1 设函数 ，且满足若初值 满足 时，由Newton法产生的序列收敛到 在a,b上的唯一根。Newton迭代法收敛性证明： 根的存在性n根的唯一性Newton迭代法收敛性n收敛性Newton迭代法收敛性Newton迭代法收敛性Newton迭代法收敛性n推论 在
10、定理2.3.1条件下， Newton迭 代法具有平方收敛速度。代数方程的Newton迭代法n代数方程的Newton迭代法推导设n次代数方程用Newton迭代法求有限区间的实根，则要计 算，一般采用秦九韶算法。代数方程的Newton迭代法n由Taylor展式代数方程的Newton迭代法代数方程的Newton迭代法同理 代数方程的Newton迭代法比较x的同次幂系数得：故代数方程的Newton迭代公式代数方程的Newton迭代法算法2.4弦截法nNewton迭代法有一个较强的要求是且存在。因此，用弦的斜率近似的替代 。弦截法n令y=0,解得弦与x轴的交点是坐标x2弦截法弦截法的几何解释例题例2.4.1 用快速弦截法求方程 在区间（1，2）内的实根。 解：取x0=1,x1=2,代入公式2.4.2计算结果,如 表2.4.1所示。kxkf(xk) 01-1 125 21.166666667-0.57870369 31.253112023-0.28536302 41.3372064440.053880579 51.323850096-0.0036981168 61.324707936-4.273521*10E-5 71.3247179653.79*10E-8弦截法收敛定理弦截法收敛定理求解方程f(x)=0的快速弦截法
