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1、 第四章 随机信号的功率谱密度 1 功率谱密度信号可用能量特征来加以区别。 能量信号：总能量为有限值而平均功率为零的信号； 功率信号：平均功率为有限值而总能量为无穷大的信号。例如： 若 , , 则信号能量为： ，平均功率为：若 , , 则 总能量为： 能量信号平均功率： 功率信号v 确知信号的能量谱密度与功率谱密度 非周期信号的能量为：其中, 为一付氏变换对;Parseval定理 。故 为能量谱密度函数，由能量与平均功率的关系由此可定义其功率谱密度函数为：。 若 为一功率信号，则其功率谱密度函数为问题：对确知的功率信号有上述的结论。而对功率型的平 稳随机信号情况如何呢？设 为功率型平稳随机信号
2、。由于随机信号的每一样本函数（或实现）都是一个确 定的时间函数 ，因此，对于每个样本函数都可以求 得对应的功率谱密度函数，即，称为样本函数的功率谱密度函数。由于随机信号的随机性，各样本函数不同，故任一样本 函数对应的功率谱密度函数都不能用来代表随机过程的功 率谱密度函数。因此，只有将所有可能出现的每一个样本 函数的功率谱密度函数的统计平均值作为随机过程的功率 谱密度函数才是合理的。 一个随机过程的功率谱密度函数为：称为随机过程的功率谱密度函数。由此可得随机过程的 平均功率：其中， 为均方值的时间平均。当 为平稳过程时，则 常数， 故有。当 为各态历经过程时，则 故有。 两者依概率1相等。2 功
3、率谱密度与自相关函数的关系 由 与 可证：令： ， ，则令：可看成非平稳过程自相关函数的时间平均。 若 为平稳过程，则 ，故有由付氏变换条件 可知，平稳随机过程 必须满足： 1. 不含直流分量；2. 不含周期成分。 若含上述成分，则可引入 函数加以解决。3 功率谱密度的性质 因为各态历经平稳过程1. 非负性，GX()0 ；2. GX()为实函数； 为实函数 3. GX()为偶函数； 为偶函数4. GX()不含相位信息； 已不含相位信息5. GX() 为有理函数；6. GX()= 2 GX() ， 其中4 互谱密度及其性质 一、 互谱密度 设 ，则若 ， 单独平稳且联合平稳，则 必然平稳，故有：
4、 ， 和其中， ， 称为X(t) 和 Y(t) 的互谱密度。注意： ， 单独平稳和联合平稳不能相互推论。 二、互谱密度的性质1. 。2. 和 是 的偶函数；和 是 的奇函数。因为任一复函数 满足：3. 若平稳过程 和 相互正交，则有和 。平稳过程 和 相互正交的条件为： 4. 若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值 mX 和 mY ，则 三、 相干函数定义， 。当 时， 。 5 白噪声与带限白噪声一、白噪声定义：一个均值为零，功率谱密度在整个频域轴上为 非零常数，即的平稳过程 ，称为白噪声过程，简称白噪声。 其中， 为正实常数，单位：白噪声的功率谱函数和自相关函数为：白噪声的相
5、关系数： 结论：同一时刻的白噪声才相关，即，任意不同时刻 的白噪声是不相关的。也就是说白噪声随时间变化极 快，功率谱极宽。 引入白噪声概念的重要意义： a) 白噪声在现实世界中是不存在的，它是对现实 世界中随机噪声的一种理想化的近似；白噪声平均功率b) 理论意义重大； 1. 可求系统性能的下界， 2. 数学运算简便。 若随机序列Z(n)满足：则称Z(n)为白序列。其中 为单位冲击序列。二、白序列定义* 三、带限白噪声定义：一个均值为零，功率谱密度为的平稳过程，称为带限白噪声。 其中0为有限值。对应于带限白噪声的自相关函数为：其中， 。 当 时， 。n结论：带限白噪声过程间隔时间 时的随机变量是不相关的。n由结论可知：若按抽样频率 对带限白噪声进 行抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量。n带限白噪声可分为：1低通（带限）白噪声；2带通（带限）白噪声。n习题：4.1；4.2；4.6；4.7；4.11；4.17
