用频率特性分析控制系统的稳定性

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1、自动控制原理第5章 频域分析法 5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节的频率特性 5.3 系统开环频率特性的绘制 5.4 用频率特性分析控制系统的稳定性 5.5 系统瞬态特性和开环频率特性的关系 5.6 闭环系统频率特性 5.7 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系1昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理5.4 用频率特性分析系统稳定性1 控制系统的稳定判据 2 应用幅相频率特性判断系统稳定性 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 4 奈氏稳定判据应用举例 5 频率域中描述系统的稳定裕量 2昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理1 控制系统的稳定判据 v闭环系统稳定

2、条件 特征方程式的根必须都在复数平面的左半平面。v一阶系统特征方程式:特征根:令 则矢量 3昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理1 控制系统的稳定判据 v特征根是一个负实根当 由0增加到时 v特征根是一个正实根 图5.31 一个负实根 当 由0增加到时结论：一阶系统是稳定的， 则 由0时， 矢量 将逆时针方向旋转/2。 图5.32 一个正实根4昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理1 控制系统的稳定判据 v 二阶系统特征方程式:特征根:矢量 5昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理1 控制系统的稳定判据 v特征根在左半平面 当 由0增加到时 ，v特征

3、根在右半平面 图5.33 共轭复数根在左半平面 当 由0增加到时图5.33 共轭复数根在由半平面6昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理1 控制系统的稳定判据 v 阶系统特征方程式:矢量 (1) 如果 个根都在复平面的左半平面当 由0增加到时，7昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理1 控制系统的稳定判据 (2) 如果一个根在右半平面， 个根在左半平面当 由0增加到时，v系统稳定的条件转化为：当 由0时，如果矢量 的 相角变化量为那么系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。当 由 变到 时，如果矢量 的相角变化量为那么系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。8昆明理工大学信

4、息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳定性闭环系统如图示 开环传递函数图5.35 闭环系统闭环传递函数 闭环系统的特征多项式9昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳定性辅助函数辅助函数 有如下特征： 1）其零点为闭环传递函数的极点； 2）其极点为开环传递函数的极点； 3）其零点和极点的个数是相同的； 4） 和开环传递函数 只差常数1。 控制系统稳定的充要条件变为：辅助函数 的全部零点必须都在复平面的左侧。 10昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳定性v分3种情况讨论 v(1)开环系统是稳

5、定的情况如果开环系统是稳定的，那么它的特征方程式 的 个根应都在S左半平面，而当 由 到 时，矢量 的相角变化量为如果系统闭环也是稳定的，那么闭环特征方程式 的 个根也应都在S左半平面。当 由 到 时，矢量 的相角变化量为矢量 的相角变化为 11昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳定性图5.36 的相角变化(a) 系统稳定 (b)系统不稳定v奈奎斯特（Nyquist） 稳定判据(奈氏稳定判据)当 由 到 时，矢量 的相角 变化量为0，则开环稳定的系统，闭环后也是稳定的 。12昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳

6、定性因为和 两个矢量 之间只相差常数1，如果 把 平面坐标原点右 移1个单位，那么这同一 曲线却表示开环频率特性的矢量轨迹。图5.37 和 曲线13昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳定性v推论 1：用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据如果开环系统是稳定的，那么闭环系统稳定的条 件：当 由 变到 时，开环频率特性在复数 平面的轨迹 不包围 这一点。14昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳定性v(2)开环系统是不稳定的情况如果开环系统是不稳定的，那么它的特征方程式有 个 根在S右半平面， 个根在S左半平面，则开环

7、系统是不稳 定的。当 由 变到 时，矢量 的相角变化量为若闭环系统的特征方程式的 个根中，有 个根在S右半 平面， 个根在S左半平面，则 由 变到 时，矢量的相角变化量为15昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳定性矢量 的相角变化量为式中 代表矢量 的相角变化圈数。即：矢量 的轨迹在 平面逆时针围绕坐标原点转圈；或用 的轨迹说明，开环频率特性 的轨迹在平面逆时针围绕 这一点转 圈。16昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳定性v推论 2：用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据如果开环系统是不稳定的，开环特征方程式有

8、 个根在 S右半平面上，则闭环系统稳定的充要条件是： 由 变到时，开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆时针围 绕 点转 圈。否则闭环系统是不稳定的。实际应用判据若开环传递函数在S右半平面上有 个极点，则当 由 0 变到 +，如果开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆 时针围绕 点转 圈，则闭环系统是稳定的；否则是 不稳定的。17昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳定性v例5.4 一个闭环系统如图示， 其开环传递函数为这是一个不稳定的惯性环节， 开环特征方程式在右半平面有一个 根 。闭环传递函数为由于 ，闭环特征方程式的根在 S左半平面，所以闭环是稳定的。

9、开环频率特性如图，当 由 图5.38 例5.4的稳定判定 变到 时， 矢量逆时针围绕 点转一圈。即 ，故由奈氏稳定判据知闭环系统是稳定的。 18昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳定性v(3)开环系统有积分环节的情况系统中有串联积分环节（即在坐标原点上有极点） 例如开环系统传递函数为其频率特性 开环频率特性在 处轨迹不连续， 可作如下处理：令 ，当 由 变到 时，角变化为 图5.39 坐标原点有极点的处理 19昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳定性所以在 由 时，幅相频率特性以为半径，相 角由0度旋转到 ，如

10、图5.40(a)所示。如果在原点处有重根为重根数目。在 由 时，幅相特性以为 半径，转过 ，得到了连 续变化的轨迹，如图5.40虚线所示。图5.40 有积分环节的幅相频率特性(a) 有一个积分环节 20昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理2 应用幅相特性判断系统稳定性用奈氏稳定判据很容易判断出图5.40(a)、(b)、(c)中的轨迹都不包围 点，所以闭环系统是稳定的。 图5.40 有积分环节的幅相频率特性(b) 有二个积分环节 (c) 有三个积分环节 21昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理3 应用对数频率特性判断系统稳定性 v在波德图上应用奈氏稳定判据 考察一

11、个系统的幅相频率特性及其对应的对数频率特性 正穿越： 在区间 由上向下穿越负实轴，以 表示。 负穿越： 在区间 由下向上穿越负实轴，以 表示。图5.41 用对数频率特性判断系统稳定性(a) 幅相频率特性 (b)对应的对数频率特性22昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理3 应用对数频率特性判断系统稳定性 v注意：如果 逆时针方向包围 点，则一定存在正穿越， 即在负实轴区间 由上部向下部穿越负实轴。如果 顺时针方向包围 点，则一定存在负穿越， 即在负实轴区间 由下部向上部穿越负实轴。奈氏稳定判据用正负穿越表述如下：如果系统开环传递函数的极点全部位于S左半平面，当 由0变到+时， 在

12、复平面上正穿越与负穿越次数之差等 于零，则闭环系统是稳定的，否则闭环系统是不稳定的。如果系统开环传递函数有 个极点在S右半平面，当 由0 变到+时， 在复平面上正穿越和负穿越之差为 ， 则闭环系统是稳定的，否则闭环系统是不稳定的。23昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理v幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系3 应用对数频率特性判断系统稳定性24昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理3 应用对数频率特性判断系统稳定性 v奈氏稳定判据用于对数频率特性 如果系统开环传递函数的极点全部在S左半平面，即，则在 dB的所有频段内，对数相频特性与 线正穿越与负穿越次数

13、之差为0时，闭环系统是稳定的；否 则闭环系统是不稳定的。如果系统开环传递函数有 个极点在S右半平面，则 在 dB的所有频段内，对数相频特性与 线正穿越 与负穿越次数之差为 时，闭环系统是稳定的；否则闭 环系统是不稳定的。 25昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理4 奈氏稳定判据应用举例 例5.5 系统开环传递函数为其极点全部位于S左半平面， 。 （1）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性绘出系统开环幅相频率特性 如图5.42（a）。由于 不包围 点， 所以不论 值多大，闭环系统 均是稳定的。图5.42 例5.5的稳定判定 26昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制

14、原理4 奈氏稳定判据应用举例 （2）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性绘出系统开环对数频率特性 如图5.42（b）。由于在 dB的频段内， 二阶系统对数相频特性不会穿越线，即对数相频特性与 线 正穿越和负穿越次数之差总为0， 所以不论 值多大，闭环系统均 是稳定的。 图5.42 例5.5的稳定判定 27昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理4 奈氏稳定判据应用举例 例5.6 系统开环传递函数为没有极点位于位于S右半平面， 。 （1）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性将开环幅相频率特性写成代数形式其中在 时，在 时， 。28昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系自动控制原理4 奈氏稳定判据应用举例 绘出系统开环幅相频率特性如图5.43（a）。由图看出，值较大时，当 由-变到+时， 顺时针包围 两 圈，