分离变量法——数学物理定解问题

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1、第二章第二章 分离变量法分离变量法2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程二阶常系数线性方程的标准形式2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程特征根(1) 有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为齐次方程特征方程2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程(2) 有两个相等的实根齐次方程的通解为特解为(3) 有一对共轭复根齐次方程的通解为特征根为特解为2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构二阶常系数非齐次线性方程2.0 2.0 预备知识常微

2、分方程预备知识常微分方程2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动 分离变量法是求解偏微分方程最基本和常分离变量法是求解偏微分方程最基本和常 用的方法。用的方法。理论依据：线性方程的叠加原理和理论依据：线性方程的叠加原理和Sturm-Sturm- LiouvilleLiouville 理论。理论。基本思想：将偏微分方程的求解化为对常基本思想：将偏微分方程的求解化为对常 微分方程的求解微分方程的求解2. 1 2. 1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动研究两端固定均匀的自由振动.定解问题为：特点: 方程齐次, 边界齐次.(1) 没有波形的传播，

3、即各点振动相位与位置无关 ，按同一方式随时间振动，可统一表示为 ; (2) 各点振幅 随点 而异，而与时间无关，用 X(x) 表示,所以驻波可用 表示。 驻波的特点：端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点 之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻 波。2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动2. 1 2. 1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动设 且 不恒为零，代入方程和边界条件中得 由 不恒为零，有： 取参数这个式子的左端是x的函数, 右端是t的函数，何时恒等？ . 利用边界条件2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动则 特征值问题参数称为特征值.分三种情形讨论特征值问题

4、的求解函数X(x)称为特征函数2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动2. 1 2. 1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动由边值条件 (i) 方程通解为 (ii) 时，通解 由边值条件得C1 =C 2=0 从而 ， 无意义. 无意义2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动由边值条件从而 即(iii） 时，通解 故而得2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动再求解T： 其解为 所以 两端 固定 弦本 的征 振动叠加 . 2. 1 2. 1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动将 展开为Fourier级数，比较系数得 代入初始条件得： 定解问题的解是Fourier正弦级数，这是

5、在 x0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。 再求解T： 其解为 所以 两端 固定 弦本 的征 振动叠加 . 2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动将 展开为Fourier级数，比较系数得 代入初始条件得： 2. 1 2. 1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。 （特征值问题）齐次边 界条件（特征函数）分离变量法图解 2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动则无穷级数解为如下混合问题的解上， ，且 定理：若在区间2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动弦上各点的频率 和

6、初位相 都相同，因而没有波形的传播现象。 弦上各点振幅 因点而异 在 处，振幅永远为0 二、解的物理意义 节点腹点特点最大振幅频率初位相在 处，振幅最大,为 nNu(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。 n1的驻波称为基波, n1的驻波叫做n次谐波. 2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦做微小横向振动时的位移，其中 与弦的材料和张力有关 . 解 设位移函数为 ，则需要求解下列定解问题2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动因此，所求的解为：= 2.1 2.1 有界弦的自由振动有

7、界弦的自由振动解：令 , 得 化简: 例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.第二类边界条件引入参数 得 2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动得C1 =C 2=0 从而 ，无意义 分离变量： (i) 时， 由边值条件(ii) 时, , (iii) 时, 则 而 由边值条件由边值条件从而2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动本征值 本征函数 2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动T 的方程其解为 所以 故代入初始条件: 将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边 界条件决定.2.1

8、2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动2. 2 2. 2 有限长杆的热传导问题有限长杆的热传导问题例1细杆的热传导问题 长为 l 的细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温 度相等，侧面绝热, x=0 端温度为0，x=l 端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度 为 求此杆的温度分布。 解：定解问题为 2.2 2.2 有限长杆的热传导问题有限长杆的热传导问题得本征问题 由 及齐次边界条件，有 设 且 并引入参数分离变量代入方程2.2 2.2 有限长杆的热传导问题有限长杆的热传导问题当 或 时, 当 时, 由 得 由 得 故 即 令有函数方程2.2 2.2 有限长杆的热传导问题有限长杆

9、的热传导问题由图1看出，函数方程 有成对的无穷多个实根故本征值为： ry图 12.2 2.2 有限长杆的热传导问题有限长杆的热传导问题2.2 2.2 有限长杆的热传导问题有限长杆的热传导问题对应的本征函数 的方程： 解为故 由初始条件得可以证明函数系 在 上正交，在（*）式两端乘以 并在 0, l 上积分, 得 且模值（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解 （三）将特征值代入另一常微分方程， 得到 （四）将 叠加，利用初始条件确定系数（一）将偏微分方程化为常微分方程（方程齐次）分离变量法解题步骤（边界条件齐次）2.2 2.2 有限长杆的热传导问题有限长杆的热传导问题分离变量法适用范围：偏微分

10、方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。注2.2 2.2 有限长杆的热传导问题有限长杆的热传导问题左端点右端点特征值特征函数 取值范围一 一一 二二 二二一课堂练习总结：端点边界条件与特征值，特征函数的关系2.2 2.2 有限长杆的热传导问题有限长杆的热传导问题练习： 求下列定解问题的解 其中2.2 2.2 有限长杆的热传导问题有限长杆的热传导问题2.3 2.3 二维拉普拉斯方程二维拉普拉斯方程 的边值问题的边值问题2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题1. 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题例1矩形薄板稳恒状态下温度分

11、布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热，另一组对边的温度分别为零摄氏度和 ，求稳恒状态下薄板的温度分布。 定解问题为： 解再利用 x = 0 和 x = a 处的齐次边界条件得 设 且 代入方程故 本征问题当 时， ， 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题当 时， 将 代入 有解： 考虑边界条件（y方向上），有 解得比 较 系 数所以解为 作为例子取 ， ，可求得 于是 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题考察一个半径为r0的圆形薄板稳恒状态下的温度分 布问题, 设

12、板的上下两面绝热, 圆周边界上的温度 已知为 求稳恒状态下的温度分布规律。2. 圆域上的拉普拉斯方程的边值问题2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题采用平面极坐标。令2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题分离变量 代入方程得齐次偏微分方程化为两个常微分方程:（一）将偏微分方程化为常微分方程由 可知，又圆内各点的温度有界，因而 所以应满足条件 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题（二）利用条件,确定特征值问题并求解 得到两个常微分方程的定解问题 (1)(2)2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题先求哪一个 ？先求(1)啊!可以确定特 征值啊!为什么？1) 时，无非零解；特征值特征函数2) 时， 有非零解3) 时 ，通解以 为周期, 必须是整数 , 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题（三）将特征值代入另一常微分方程，得 得到方程通解 满足有界性条件的通解 将代入方程2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题满足周期性条件 和有界性条件的特解为 2.3 2.3 二维拉