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1、第六讲 von Neumann- Morgenstern 期望效用函数1金融经济学第六讲2金融经济学第六讲3金融经济学第六讲4金融经济学第六讲6.1 “圣彼德堡悖论”的讨论5金融经济学第六讲概率论的早期历史Jacob Bernoulli (1654-1705)1713 年发表猜 度术 (Ars Conjectandi)。这 是当时最重要、最 有原创性的概率论 著作。由此引起所 谓“圣彼德堡悖论” 问题。6金融经济学第六讲“圣彼德堡悖论”问题 有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第 一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三 次赢得 4 元，一般情形为前 n-1 次 输，第 n 次赢得 元。问：应先
2、付多 少钱，才能使这场赌博是“公平”的？ 如果用数学期望来定价，答案将是无穷 ！7金融经济学第六讲8金融经济学第六讲“圣彼德堡悖论”的金融学含义 “倍赌策略”是一种“套利策略”。在一个有等价 概率鞅测度的“二叉树”“存贷赌博”市场上， 采用“倍赌策略”，如果允许无限借贷和无限次 赌博，那么其“赢钱概率”为 1。 它可以作为某些股票在一定时期内会“疯涨”的 理由。9金融经济学第六讲“圣彼德堡悖论” 1738 年发表对机遇性 赌博的分析提出解决“ 圣彼德堡悖论”的“风险 度量新理论”。指出用“ 钱的数学期望”来作为决 策函数不妥。应该用“钱 的函数的数学期望”。 Daniel Bernoulli
3、（1700-1782)10金融经济学第六讲11金融经济学第六讲6.2 von Neumann-Morgenstern 期望效用函数的公理化陈述12金融经济学第六讲13金融经济学第六讲期望效用函数1944 年在巨著 对策论与经济行为 中用数学公理化 方法提出期望效用 函数。这是经济学 中首次严格定义风 险。John von Neumann (1903-1957)Oskar Morgenstern (1902-1977)14金融经济学第六讲用期望效用函数来刻划风险 所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集 合上的函数，它在一个随机变量上的取值等 于它作为数值函数在该随机变量上取值的数 学期望。用它来
4、判断有风险的利益，那就是 比较“钱的函数的数学期望”。 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函数值为 u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y).15金融经济学第六讲一个简化的公理体系 公理 1 “不确定利益”是随机变量所构成的一个 集合 L ，并且对于任何两个“不确定利益” x,y 来说，“以概率 p 获得 x,以概率 1-p 获得 y” 也是“不确定利益”。这一“不确定利益 ”可称为 x 以概率 p 与 y 的“平均”，并记 为(x,y;p). 公理 2 任何两个“不确定利益”都可比较好坏。 公理 3 “不确定利益”中
5、有一个最好的以及一个 最差的。16金融经济学第六讲一个简化的公理体系 (续) 公理 4 如果有三个“不确定利益”一个比一 个好，那么处于中间的 “不确定利益”相当 于另外两个“不确定利益”的对某个概率的“ 平均” 。反之，两个“不确定利益”的对某个 概率的“平均” 的好坏必处于两者之间。 假定 b “最好”，w “最坏”。那么任何 x 一定 相当于 b 关于概率 p 与 w 的“平均”。取 u(x)=p, 即得所求期望效用函数。17金融经济学第六讲18金融经济学第六讲19金融经济学第六讲20金融经济学第六讲21金融经济学第六讲22金融经济学第六讲23金融经济学第六讲24金融经济学第六讲期望效用
6、函数的争论 期望效用函数似乎是相当人 为、相当主观的概念。一开 始就受到许多批评。其中最 著名的是“ Allais 悖论” (1953)。 由此引起许多非期望效用函 数的研究，涉及许多古怪的 数学。但都不很成功。Maurice Allais (1911- ) 1986 年诺贝尔经济 奖获得者。25金融经济学第六讲6.3 Allais 悖论和 Kahneman-Tversky 的研究26金融经济学第六讲27金融经济学第六讲28金融经济学第六讲29金融经济学第六讲30金融经济学第六讲31金融经济学第六讲Kahneman-Tversky 理论Daniel Kahneman, (1934-) 2002
7、 年诺贝 尔经济学奖获得者Kahneman 与 Amos Tversky, (1937-1996) 两位心理学家于 1979 年发表的论文“展望理论 (Prospect Theory)”已成为计 量经济学 (Econometrica)有 史以来被引证最多的经典。他 们企图改变期望效用函数理论 框架。32金融经济学第六讲Kahneman 诺贝尔演说的问题 问题 1. 假设有一场这样的赌博：你赢 150 元 的概率是 50%, 而你输 100 元的概率也是 50%. 你能接受这样的赌博吗？如果你身边的 钱少于 100 元，你是否会改变你的决定？ 调查结果是：除非把所赢的钱提高到 200 元 以上，
8、绝大多数的人都不接受这样的赌博， 只有少数人接受这样的赌博。但对于后一种 情况，所有人都不接受。 33金融经济学第六讲Kahneman 诺贝尔演说的问题 问题 2. 现在有这样两种情况：一种情况是肯 定损失 100 元；另一种情况是参加这样的赌 博：你赢 50 元的概率是 50%, 而你输 200 元 的概率也是 50%. 对于这样的两种情况你选择 哪一种？如果你身边的钱多于 100 元，你是 否会改变你的决定？ 调查结果是绝大多数的人选择赌博，即使身 边有多于 100 元的钱也并没有多大影响。34金融经济学第六讲35金融经济学第六讲36金融经济学第六讲37金融经济学第六讲38金融经济学第六讲
9、39金融经济学第六讲40金融经济学第六讲41金融经济学第六讲6.4 Arrow-Pratt 风险厌恶度量42金融经济学第六讲有风险与无风险之间的比较机会 (x,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之间的 利益比较就是比较u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y) 之间的大小。如果它们相等，表示对风险中 性 (不在乎)；一般取 表示对风险爱好。把 u 理解为“定价”，这就是“非线性定价 ”与“P-F 线性定价”之间的比较。43金融经济学第六讲44金融经济学第六讲Arrow-Pratt 风险厌恶度量这就归结为函 数 u 的凸性的 比较。它的程 度可用 u/u 来度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。45金融经济学第六讲46金融经济学第六讲47金融经济学第六讲48金融经济学第六讲49金融经济学第六讲50金融经济学第六讲51金融经济学第六讲52金融经济学第六讲6.5 若干典型期望效用函数53金融经济学第六讲54金融经济学第六讲55金融经济学第六讲6.6 随机占优的概念56金融经济学第六讲57金融经济学第六讲58金融经济学第六讲59金融经济学第六讲60金融经济学第六讲61金融经济学第六讲62金融经济学第六讲63金融经济学第六讲64金融经济学第六讲65金融经济学第六讲66金融经济学第六讲
