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1、第四讲数学归纳法证明不等式课题：第 01 课时数学归纳法（一）教学目标：1. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。教学重点： 数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。教学难点： 数学归纳法中递推思想的理解。教学过程：一、创设情境，引出课题（1）不完全归纳法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对
2、吗？（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）（2）完全归纳法：一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。）注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。结论：不完全归纳法结论不可靠；完全归纳法结论可靠。问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）情境一：（播放多米诺骨牌视频）问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？二、讲授新课：探究一：让所
3、有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？条件一：第一张骨牌倒下；条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。教学札记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明222(1)(21)1236n nn2+n有些启发？得出结论： 证明222(1)(21)1236n nn2+n的两个步骤：（1）证明当1n时，命题成立；（2）假设当*(1,)nk kkN时命题成立，证明当1nk时命题也成立。一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基）证明
4、当n取第一个值*00()nnN时命题成立；（2） （归纳递推）假设*0(,)nk kn kN时命题成立，证明当1nk时，命题也成立。只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从0n开始的所有正整数n都成立。上述方法叫做数学归纳法 。三、应用举例：例 1 用数学归纳法证明：1352+(2n-1)=n证明：（1）当1n时，左边1，右边211，等式成立；（2）假设当nk（k1,kN*）时，1352+(2k-1)=k，那么：212(1) 1(1)135(1)2kkk+(2k-1)+(2k+1)=，则当1nk时也成立。根据（ 1）和（ 2） ，可知等式对任何*nN都成立。注：对例 1，首先说明在利用数学归纳
5、法证题时，当1nk时的证明必须利用nk的归纳假设，例 2：用数学归纳法证明求证：)(53Nnnn能被 6 整除 . 证明 ：1. 当1n时， 13+51=6 能被 6 整除，命题正确；2. 假设kn时命题正确，即kk53能被 6 整除，当1kn时，)5()55()133() 1(5)1(3233kkkkkkkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页6)1(3kk，两个连续的整数的乘积)1(kk是偶数，)1(3kk能被 6整除，6)1(3)5(3kkkk能被 6 整除，即当1kn时命题也正确，由2,1知命题时Nn都正确 .
6、 即：当1nk时，等式成立。根据（ 1）和（ 2） ，可知等式对任何*nN都成立。注： 上例可让学生独立完成，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。四、巩固练习：P50练习题第 1、2 题五、课堂小结：问：今天我们学习了一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？（学生总结，教师整理）1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发现。2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想：递推思想 ；3、数学归纳法一般步骤：归纳奠基归纳递推4、应用数学归纳法要注意以下几点：（1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；（2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法；（3）n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其它一些正整数；若*0(,)nk kn kN时命题成立，证明当1nk时命题也成立验证0nn 时命题成立命题对从0n开始所有的正整数n都成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页（4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法。六、布置作业：P50练习题第 1、2、3 题七、教学后记：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
