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1、第四讲数学归纳法证明不等式课题:第 01 课时数学归纳法(一)教学目标:1. 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题;2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力,经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。教学重点: 数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。教学难点: 数学归纳法中递推思想的理解。教学过程:一、创设情境,引出课题(1)不完全归纳法:今天早上,我曾疑惑,怎么一中(永昌一中)只招男生吗?因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学,第二个进校园的也是男同学,第三个进校园的还是男同学。于是得出结论:学校里全部都是男同学,同学们说我的结论对
2、吗?(这显然是一个错误的结论,说明不完全归纳的结论是不可靠的,进而引出第二个问题)(2)完全归纳法:一个火柴盒,里面共有五根火柴,抽出一根是红色的,抽出第二根也是红色的,请问怎样验证五根火柴都是红色的呢?(将火柴盒打开,取出剩下的火柴,逐一进行验证。)注:对于以上二例的结果是非常明显的,教学中主要用以上二题引出数学归纳法。结论:不完全归纳法结论不可靠;完全归纳法结论可靠。问题:以上问题都是与正整数有关的问题,从上例可以看出,要想正确的解决一个与此有关的问题,就可靠性而言,应该选用第几种方法?(完全归纳法)情境一:(播放多米诺骨牌视频)问:怎样才能让多米诺骨牌全部倒下?二、讲授新课:探究一:让所
3、有的多米诺骨牌全部倒下,必须具备什么条件?条件一:第一张骨牌倒下;条件二:任意相邻的两张骨牌,前一张倒下一定导致后一张倒下。教学札记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页探究二:同学们在看完多米诺骨牌视频后,是否对怎样证明222(1)(21)1236n nn2+n有些启发?得出结论: 证明222(1)(21)1236n nn2+n的两个步骤:(1)证明当1n时,命题成立;(2)假设当*(1,)nk kkN时命题成立,证明当1nk时命题也成立。一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1) (归纳奠基)证明
4、当n取第一个值*00()nnN时命题成立;(2) (归纳递推)假设*0(,)nk kn kN时命题成立,证明当1nk时,命题也成立。只要完成以上两个步骤,就可以判定命题对从0n开始的所有正整数n都成立。上述方法叫做数学归纳法 。三、应用举例:例 1 用数学归纳法证明:1352+(2n-1)=n证明:(1)当1n时,左边1,右边211,等式成立;(2)假设当nk(k1,kN*)时,1352+(2k-1)=k,那么:212(1) 1(1)135(1)2kkk+(2k-1)+(2k+1)=,则当1nk时也成立。根据( 1)和( 2) ,可知等式对任何*nN都成立。注:对例 1,首先说明在利用数学归纳
5、法证题时,当1nk时的证明必须利用nk的归纳假设,例 2:用数学归纳法证明求证:)(53Nnnn能被 6 整除 . 证明 :1. 当1n时, 13+51=6 能被 6 整除,命题正确;2. 假设kn时命题正确,即kk53能被 6 整除,当1kn时,)5()55()133() 1(5)1(3233kkkkkkkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页6)1(3kk,两个连续的整数的乘积)1(kk是偶数,)1(3kk能被 6整除,6)1(3)5(3kkkk能被 6 整除,即当1kn时命题也正确,由2,1知命题时Nn都正确 .
6、 即:当1nk时,等式成立。根据( 1)和( 2) ,可知等式对任何*nN都成立。注: 上例可让学生独立完成,教师板书写现完整过程,以突出数学归纳法证题的一般步骤。四、巩固练习:P50练习题第 1、2 题五、课堂小结:问:今天我们学习了一种很重要的数学证明方法,通过本节课的学习,你有哪些收获?(学生总结,教师整理)1、数学来源于生活,生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发现。2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想:递推思想 ;3、数学归纳法一般步骤:归纳奠基归纳递推4、应用数学归纳法要注意以下几点:(1)第一步是基础,没有第一步,只有第二步就如空中楼阁,是不可靠的;(2)第二步是证明传递性,只有第一步,没有第二步,只能是不完全归纳法;(3)n0是使命题成立的最小正整数,n0不一定取1,也可取其它一些正整数;若*0(,)nk kn kN时命题成立,证明当1nk时命题也成立验证0nn 时命题成立命题对从0n开始所有的正整数n都成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页(4)第二步的证明必须利用归纳假设,否则不能称作数学归纳法。六、布置作业:P50练习题第 1、2、3 题七、教学后记:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页