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1、第五章 有约束优化方法 5-1 引言5-2 随机方向法5-3 复合形法5-4 可行方向法 5-5 惩罚函数法5-6 序列二次规划法5-1 引言机械优化设计中的问题，大多数属于约束优化设计 问题，其数学模型为上一章讨论的都是无约束条件下非线性函数的寻优方法，但在实际工程中大部分问题的变量取值都有 一定的限制，也就是属于有约束条件的寻优问题。与无约束问题不同，约束问题目标函数的最小值是满足约束条件下的最小值，即是由约束条件所限定 的可行域内的最小值。只要由约束条件所决定的可行 域必是一个凸集，目标函数是凸函数，其约束最优解 就是全域最优解。否则，将由于所选择的初始点的不 同，而探索到不同的局部最优
2、解上。在这种情况下， 探索结果经常与初始点的选择有关。为了能得到全局 最优解，在探索过程中最好能改变初始点，有时甚至 要改换几次。（1）直接法 直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、 随机方向法、可变容差法和可行方向法。 （2）间接法 间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚 函数法、混合罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度 法和约束变尺度法等。 根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为:直接 解法、间接解法。直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是 在m个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始 点，然后决定可行搜索方向 d 且以适当的步长 ，进行 搜索，得到一个使目标函数值
3、下降的可行的新点，即完成 一次迭代。再以新点为起点，重复上述搜索过程，直至满 足收敛条件。 步长 可行搜索方向 可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时， 目标函数值将下降，且不会越出可行域。 间接解法的基本思路是按照一定的原则构造一个包含原目标函数和约束条件的新目标函数，即将原约束优化问题转化成为一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优解。5-2 随机方向法基本思想：利用计算机产生的随机数所构成的随基本思想：利用计算机产生的随机数所构成的随机方向进行搜索，产生的新点必须在可行域内，即满机方向进行搜索，产生的新点必须在可行域内，即满足
4、直接法的特性。足直接法的特性。 随机方向法，是约束最优化问题的一种常用的直随机方向法，是约束最优化问题的一种常用的直接求解方法。它和随机梯度法、接求解方法。它和随机梯度法、GaussGaussSeidelSeidel法等都法等都属于约束随机法。属于约束随机法。其基本原理如图所示，在约束可行域其基本原理如图所示，在约束可行域S S内选取一个初始点内选取一个初始点X(0)X(0)，在不破坏约束的条件下以合适的步长，在不破坏约束的条件下以合适的步长a a。沿。沿X(0)X(0)点点周围几个不同的方向（以某种形式产生的随机方向）进周围几个不同的方向（以某种形式产生的随机方向）进 行若干次探索，并计算各
5、方向上等距离（步长行若干次探索，并计算各方向上等距离（步长a a。）点的。）点的函数值，找出其中的最小值函数值，找出其中的最小值f f（X(lX(l) )）及点）及点X(lX(l) )。若。若f f（X(lX(l) )）f f（X(0)X(0)），则继续沿方向（），则继续沿方向（X(l)-X(0)X(l)-X(0)）以适当）以适当的步长的步长a a向前跨步，得到新点向前跨步，得到新点X(1)X(1)，若，若f f（X(1)X(1)）1 3. 混合法l 混合法是用内点法处理不等式约束，用外点法处 理等式约束。可以用来求解含不等式和等式约束的优化 问题。 混合惩罚函数的形式为： r是惩罚因子 ,混
6、合法具有内点法的特点，迭代过程在可行域之内 进行，参数的选择同内点法。 惩罚函数法原理简单，算法易行，且分内点法、外点法和混合法三种，各有特点，适用范围广。需要和有效的无约束优化方法结合使用。因此该方法也是应用较多的有约束优化方法。5-6 序列二次规划法l 序列二次规划法的基本原理是将原问题转化为一 系列二次规划子问题。 对于相对应的拉格朗日函数为：在xk点作泰勒展开，取二次近似表达式令 ,拉格朗日函数的一阶导数为 Hk用变尺度矩阵Bk来代替 将等式约束 函数在xk作泰勒展开，取线 性近似式:构成二次规划子问题 求解上述二次规划子问题，得到的d就是搜索方向 。沿 搜索方向进行一维搜索确定步长
7、，最终得到原问题的最 优解。 对具有不等式约束的非线性规划问题：构成二次规划子问题为:求解时，在每次迭代中应对不等式约束进行判断， 保留其中的起作用约束，除掉不起作用的约束，将起作 用的约束纳入等式约束中。这样，其中不等式约束的子 问题和只具有等式约束的子问题保持了一致。 蒙特卡洛优化方法（介绍）蒙特卡洛优化方法（介绍） 对于约束优化问题，最理想的当然是得到严格意义上的真正全局最优解。然而，要做到这一点往往是不现实的，有的问题（例如非凸的非线性规划问题）至今在理论上还没有一种算法能保证得到全局最优解；有些问题（如凸规划）虽然从理论上讲可以得全局最优解，但是在实际计算中，也只能逼近最优解，且计算
8、量往往很大，在实际工作中，人们往往希望只用较少的计算量就找到有较大概率保证的近似最优解，蒙特卡洛（Monte Carlo）优化方法就是达到这个目的的一种较为有效的方法。 一、原理与基本方法在对大量的研究对象进行调查分析时，有两种基本方法，普查与随机抽样。穷举法就是对所有研究对象进行普查，其优点是结论完全可靠，但工作量大，适用于规模较小的问题。而当问题的规模很大时，通常应采用随机抽样，对随机抽取的样本点进行研究，从样本点的性质来推断原问题全面的性质，这样处理的工作量相对较少，可操作性强，只要随机抽样得当，结论的可靠性可以得到保证。蒙特卡洛优化方法就是根据随机抽样原理，利用计算机语言所提供的随机数
9、函数 对约束优化问题的可行点进行随机抽样，经过对样本点的目标值过滤比较，找出 全体样本点中目标值最优的点，并将该点视作原问题的 最优解的一个近似点。随机抽样的可信程度取决于样本点数量的大小。样本点越多，可信程度就越高。因此，能否迅速地取得大量 样本点就成了决定蒙特卡洛优化方法是否有效的关键。二、蒙特卡洛优化方法的基本步骤（1）预置L为充分大的正数，确定选点个数M；（2）用随机数函数（或子程序）产生可行点X；（3）计算目标函数值F；（4）比较函数值：若FL，转（6）；否则，转（5）；（5）记录当前最优点的信息：L=F，X*=X；（6）若已选完M个可行点，输出X*和L；否则，转（2），寻找下一个可行点。蒙特卡洛优化方法具有许多显著的优点，除了程序简单，计算量小之外，还有可能获得全局最优点。蒙特卡洛优化方法除了可以独立寻求最优解外，往往还与其它算法相配合。许多算法对初始点都有不同的 要求。一般而言，初始点离极小点越近（即初始点的函 数值越好），则算法越有效。这时，可以先使用蒙特卡洛优化方法找到较好的初始点，然后再改用其它优化方 法。另外，还有的算法（如可行方向法、内点法）对初 始点的可行性有较高的要求，当问题约束条件很复杂时 ，很难凭人的直觉找到符合要求的点，这时，也可利用 蒙特卡洛优化方法迅速找到需要的初始点。
