一阶逻辑基本概念调整

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1、第4章 一阶逻辑基本概念离 散 数 学1.1阶逻辑的基本概念2.1阶逻辑命题符号化3.1阶逻辑的公式、解释、分类1.明确一阶逻辑的相关概念2.熟练将一阶逻辑命题符号化3.掌握1阶逻辑公式的解释一阶逻辑命题的符号化1阶逻辑公式的解释基本问题：基本要求：教学重点：教学重点：第4章 一阶逻辑基本概念本章说明本章与后续各章的关系克服命题逻辑的局限性是第五章的先行准备 引言问题：命题逻辑的局限性在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。例如：所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 这是著名的苏格拉底三段论，但却无法用命题逻辑

2、予以证明。苏格拉底；著名的古希腊的思想家、哲学家、教育家.学生柏拉图柏、拉图的学生亚里士多德-“古希腊三贤”，更被后人广泛认为是西方哲学的奠基者。引言一阶逻辑所研究的内容：为了克服命题逻辑的局 限性，将简单命题再细分， 分析出个体词、谓词和量词 ，以期达到表达出个体与总 体的内在联系和数量关系。第一节 一阶逻辑命题符号化一阶逻辑命题符号化的三个基本要素谓词谓词 谓词常项 谓词变项 特性谓词量词 存在量词 全称量词个体词 个体词 个体常项 个体变项 个体域（论域） 全总个体域基本概念1.个体词（个体）：指所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体（名词或代词充当）例如：命题：电子计算机是科学技术

3、的工具。 个体词：电子计算机。命题：他是三好学生。 个体词：他。（1）个体常项：具体的事物，用a, b,c，表示（2）个体变项：抽象的事物，用x,y,z,表示。（3）个体域（或称论域）：个体变项的取值范围。有限个体域，如a, b, c, 1, 2。无限个体域，如N,Z,R,。全总个体域，宇宙间一切事物组成 。基本概念本教材在论述或推理中，如果没有指明所采用的个体 域，都是使用的全总个体域。说 明基本概念2.谓词：表示个体词性质或相互之间关系的词例如：(1) 是无理数是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F，命题符号 化 为F() 。(2) x是有理数x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G，命题

4、符号化为G(x)。(3) 小王与小李同岁小王、小李都是个体常项，“与同岁”是谓词，记为H ， 命题符号化为H(a,b) ，其中a：小王，b：小李。(4) x与y具有关系Lx，y都是个体变项，谓词为L，命题符号化为L(x,y)。（1）谓词常项：表示具体的性质或关系的谓词。F：。是人，F（a）:a是人（2）谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。F：。具有性质F，F（x）: x具有性质F（3）n(n1)元谓词：n=1时，一元谓词表示事物的性质。n2时，多元谓词表示事物之间的。L(x，y)：x和y具有性质L（4）0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、P(a1,a2,an)。

5、基本概念q n元谓词是命题吗？q 0元谓词是命题吗？q 两者有什么区别？思 考3.量词：是表示个体常项或个体变项之间数量关系的词。（1）全称量词：符号化为“”， x日常生活和数学中所用的“一切的”、“所有的”、“每一 个”、“任意的”、“凡”、“都”等词可统称为全称量词 。 x表示个体域里的所有个体，xF(x)表示个体域里所有个体 都有性质F。（2）存在量词：符号化为“” ，y日常生活和数学中所用的“存在”、“有一个”、“有的” 、“至少有一个”等词统称为存在量词。 y表示个体域里有的个体，yG(y)表示个体域里存在个体具有 性质G等。 基本概念例4.1： 在个体域分别限制为(a)和(b)条件

6、时，将下面两个命题符号化: (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。 其中:(a)个体域D1为人类集合；(b)个体域D2为全总个体域。 一阶逻辑命题符号化xx 解：(a)个体域为人类集合令F(x):x呼吸。G(x):x用左手写字(1)在个体域中除了人外，再无别的东西，因而“凡人都呼吸 ” 应符号化为 F(x) (2)在个体域中除了人外，再无别的东西，因而“有的人用左手写字”符号化为：G(x) 一阶逻辑命题符号化(b)个体域为全总个体域即除人外，还有万物，所以必须考虑将人先分离出来令F(x):x呼吸。 G(x):x用左手写字。 M(x):x是人(1) “凡人都呼吸”应符号化为(M(x)F

7、(x) x (2) “有的人用左手写字”符号化为(M(x)G(x)x2.同一命题在不同的个体域中符号化的形式可能不同。思考：在全总个体域中，能否将(1)符号化为x(M(x)F(x)？能否将(2)符号化为x(M(x)G(x)？注意：1.在使用全总个体域时，要将人从其他事物中区别出来，为此引进了谓词M(x)，称为特性谓词例4.2： 在个体域限制为(a)和(b)条件时，将下列命题符号化:(1) 对于任意的x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2)。(2) 存在x，使得x+5=3。其中: (a)个体域D1=N(N为自然数集合)(b)个体域D2=R(R为实数集合)(a)令F(x): x2-3x+2=(

8、x-1)(x-2)，G(x): x+5=3。命题(1)的符号化形式为x F(x) （真命题）命题(2)的符号化形式为x G(x)（假命题）(b)在D2内，(1)和(2)的符号化形式同(a)，皆为真命题。一阶逻辑命题符号化说明1.在不同个体域内，同一个命题的 符号化形式可能不同，也可能相 同。2.同一个命题，在不同个体域中的真值 也可能不同。例4.3 ：将下列命题符号化，并讨论真值。（1）所有的人长着黑头发。（2）有的人登上过月球。（3）没有人登上过木星。（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。例题谓词逻辑中命题的符号化，主要考虑以下问题：非空个体域的选取量词的使用及作用范围 正确地语义1.全称量

9、词的选取注 意和蕴含式的结合。 2.存在量词的选取注意和合取式的结合。1.若是为了确定命题的真值，一般约定在某个个体域上进行。 2.在由一切事物构成的全总个体域上考虑问题时，需要增加一个指出个体变量变化范围的特性谓词。特别提醒解：没有提出个体域，所以认为是全总个体域（1）所有的人长着黑头发。令F(x):x长着黑头发， M(x):x是人。命题符号化为 M(x) F(x)(x命题真值为假（2）有的人登上过月球。令G(x):x登上过月球， M(x):x是人。命题符号化为：(M(x)G(x)。x命题真值为真。例题（3）没有人登上过木星令H(x):x登上过木星， M(x):x是人命题符号化为：(M(x)

10、H(x)x命题真值为真（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人命题符号化为：(F(x)G(x) x 命题真值为真例题一阶逻辑命题符号化时需要注意的事项1.分析命题中表示性质和关系的谓词，分别符号为一元和n（ n2）元谓词。2.根据命题的实际意义选用全称量词或存在量词。3.一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换。例如：考虑个体域为实数集，H(x，y)表示x+y=10，则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符号化形式为xyH(x,y) 真命题。如果改变两个量词的顺序，得yxH(x,y)假命题。第二节 一阶逻辑公式及解释同在命

11、题逻辑中一样，为在一阶逻辑中 进行演算和推理，必须给出一阶逻辑 中公式的抽象定义，以及它们的分类 及解释。一阶语言F的字母表定义4.1 ：一阶语言F的字母表定义如下:(1)个体常项：a , b , c , , ai , bi , ci , , i 1(2)个体变项：x , y , z, , xi , yi , zi , , i 1 (3)函数符号：f , g , h , , fi , gi , hi , , i 1(4)谓词符号：F , G , H , , Fi , Gi , Hi , , i 1(5)量词符号: ，(6)联结词符号:, (7)括号与逗号:(,),，一阶语言：是用于一阶逻辑的形

12、式语言。一阶语言F的项定义4.2： 一阶语言F的项的定义如下: (1) 个体常项和个体变项是项。 (2) 若(x1,x2,xn)是任意的n元函数，t1,t2,tn是任意的n个项，则(t1,t2,tn)是项。 (3) 所有的项都是有限次使用(1)，(2)得到的。 一阶语言F的原子公式定义4.3:(一阶语言F的原子公式)设R(x1 ,x2 , ,xn)是一阶语言F的任意n元谓 词， t1 ,t2 , ,tn是一阶语言F的任意的n个项，则称R(t1 ,t2 , ,tn)是一阶语言F的原子公式。 例如：1元谓词F(x)，G(x)，2元谓词H(x,y)，L(x,y)等都是原子公式。 一阶语言F的合式公式

13、定义4.4 一阶语言F的合式公式定义如下:(1) 原子公式是合式公式。(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式。(3) 若A，B是合式公式，则(AB)，(AB)，(AB)，(AB)也是合式公式。(4) 若A是合式公式，则xA，xA也是合式公式。(5) 只有有限次的应用(1)(4)构成的符号串才是合式公式。一阶语言F的合式公式也称为谓词公式，简称公式。 qA，B代表任意公式，是元语言符号。 q下文的讨论都是在一阶语言F中，因而不再提及。 说 明自由出现与约束出现定义4.5： 指导变元-在公式xA和xA中，称x为指导变元。辖域-在公式xA和xA中，A为相应量词的辖域。约束出现-在x和x的辖域中

14、，x的所有出现都称为约束出现。自由出现-A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的。 例4.6 指出下列各公式中的指导变元，各量词的辖域，自由出 现以及约束出现的个体变项。(1) x(F(x,y)G(x,z)(2) x(F(x)G(y)y(H(x)L(x,y,z) 例题解答(1) x是指导变元。量词的辖域A=(F(x,y)G(x,z)。在A 中，x的两次出现均是约束出现。y和z均为自由出现。(2) 前件上量词的指导变元为x，量词的辖域 A=(F(x)G(y)，x在A中是约束出现的，y在A中是自由出 现的。后件中量词的指导变元为y， 量词的辖域为 B=(H(x)L(x,y,z)，y在B中是约束

15、出现的，x、z在B中 均为自由出现的。闭式定义4.6： 设A是任意的公式，若A中不含有自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式。例如： xy(F(x)G(y)H(x , y) 为闭式，x(F(x)G(x , y) 不是闭式 。一阶公式的解释一阶公式没有确定的意义，一旦将其中的变项（项的变项 、谓词变项）用指定的常项代替后，所得公式就具备一定 的意义，有时就变成命题了。例题4.7例4.7： 将下列两个公式中的变项指定成常项使其成为命题:(1)x(F(x)G(x) (2)xy(F(x)F(y)G(x,y)H(f(x,y),g(x,y)(1)指定个体变项的变化范围，并且指定谓词F，G的含义，下面给出两种指定法: (a)令个体域D1为全总个体域， F(x)为x是人， G(x)为x是黄种人，则命题为“所有人都是黄种人”，这是假命题。 (b)令个体域D2为实数集合R， F(x)为x是自然数， G(x)为x是整数，则命题为“自然数都是整数”，这是真命题。例题4.7(2)xy(F(x)F(y)G(x,y)H(f(x,y),g(x,y)含有两个2元函数变项，两个1元谓词变项，两个2元谓词变 项。指定个体域为全总个体域， F(x)为x是实数，G(x,y)为xy， H(x,y)为xy，f(x,y)=x2+y2， g(x,y)=2xy，则表达的命题为“对于任意的x，y