离散时间线性非时变系统与差分方程

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1、2.4离散时间线性非时变系统与 差分方程离散系统的定义 离散系统在数学上定义为将输入序列 x(n)映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运 算。亦即将一个序列变换成另一个序列的系 统，记为 y y( (n n)=)=T Tx x( (n n) ) 通常将上式表示成图2-20所示的框图。图2-20 离散系统的模型一.离散线性非移变系统及卷积运算(1) 系统的线性特性满足叠加原理的系统具有线性特性，即若对两个激励x1(n)和x2(n)有注意： 齐次性 叠加性例: 设一系统的输入输出关系为 yk=x2k 试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x k产生的输出信号Tx k为Tx k=x2k 输入信号ax

2、k产生的输出信号Tax k为Tax k= a2x2k 除了a=0,1情况，Tax k aTx k。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线 性系统。例 y(n)Tx(n)=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。计算Tax1(n)+bx2(n)=5ax1(n)+bx2(n)+3， 而ay1(n)+by2(n)5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)(2) 系统的非移变特性时不变(Time-Invatiance)系统的非移变是指系统的参数不随时间而 变化。用数学表示为 Tx(nn0)=y(nn0)即不管输入信号作用的时间先后，输出信号 响应的形状均相同，仅是出现的时间不同，如 图2-22

3、 所示。图2-22 离散系统的非移变特性在n表示离散时间的情况下，“非移变” 特性就是“非时变”特性。例： 证明y(n)Tx(n)nx(n)不是非移变系统。计算：Tx(n-k)=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。 解：输入信号xk产生的输出信号yk为yk=T xk= xMk 输入信号xk-n产生的输出信号Txk-n为Txk-n= xMk-n 由于xMk-n yk-n 故系统是时变的。例: 已知抽取器的输入和输出关系为yk=xMk 试判断系统是否为时不变的？抽取器时变特性的图示说明(3) 线性非移变系统：线性时不变系统，简称为：LTI 线性非移变系统就是既满足 迭加原理又具

4、有非移变特性的系统 ，将其描绘如图2-24所示。图2-24 线性非移变系统模型单位取 样响应定义：例：累加器:单位脉冲（取样）响应 （Impulse response）LTI系统对任意输入的响应当任意输入x(n)用前式表示时，则系统输出为因为系统是线性非移变的，所以 通常把上式称为离散卷积或线性卷积。 这一关系常用符号“*”表示：二、离散卷积满足以下运算规律： (1)交换律 (2)结合律 (3)分配律(4) 线性卷积（离散卷积）的 计算计算线性卷积有4种方法。 利用两个序列的解析式直接计算。 利用两个序列的移位求和，即先把一 个序列倒置。每次将它向下移一步，求出两 序列重叠部分乘积之和。 用作

5、图法求。 卷积的Matlab实现离散卷积的计算计算卷积的步骤如下：(1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将 h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。(2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时， 右移n；当n为负数时，左移n。(3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 上图为：与的线性卷积。计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加 以考虑，下面举例说明。 例 已知x(n)和h(n)分别为：和试求x(n)和h(n)的线性卷积。解 参看图2. 15，分段考虑如下： (1)对于n4，且n-60，即46，且

6、n-64，即64，即n10时：综合以上结果，y(n)可归纳如下：卷积结果y(n)如图2. 16所示 三.系统的稳定性与因果性(1) 稳定性 对于一个系统，当输入序列是有界时， 其输出也是有界的，则称它是稳定系统。用 数学描述则为 如果x(n)对于一切n 则y(n)对于一切n因为其中假设x(n)M。2因果性 一个系统如果其输出变化不会发生在 输入变化之前，则称它是因果的。这就是说 对于因果系统，如果取n0 ,当n n0时，x1(n) = x2(n),则n n0时，y1(n)=y2(n)。一个线性非 移变系统当n0时的因果充要条件是其单位 取样响应等于零,即h(n)=0n0这个充要条件可以从 y（

7、n） x(n)*h(n) 的解析式中导出。四.线性常系数差分方程差分的概念与性质差分方程的概念一阶常系数线性差分方程 一、差分的概念与性质一般地，在连续变化的时间的范围内，变量 关于时间 的变化率是用 来刻画的； 对离散型的变量 我们常用在规定时间区间上的差商 来刻画变量 的变化率.如果取 ，则 可以近似表示变量 的变化率.由此我们给出差分的定义.定义1 设函数，称改变量为函数的差分，也称为函数的一阶阶差分，记为，即 或 一阶差分的差分称为二阶阶差分，即类似地可定义三阶差分，四阶差分，等等.一般地，函数的阶差分的差分称为阶阶差分，记为，即 二阶及二阶以上的差分统称为高阶阶差分.例1 设，求，解

8、 例2 设求解 设，则.差分满满足以下性质质：（2）（3）（4）（1）例3 求解 由差分的运算性质，有.的差分.二、 差分方程的概念定义义2 含有未知函数的差分的方程称为差分方 程. 或 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为 该差分方程的阶阶。差分方程的一般形式：定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.例如，对于差分方程，将代入方程有 故是该方程的解，易见对任意的常数都是差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数 的各阶差分均为一次，则称该差分方程为线性 差分方程. 其一般形式

9、为其特点是都是一阶的.三、 线性常系数差分方程1、差分方程是由函数序列的差分来表示的。 一个函数序列的一阶向后差分表示为：二阶向后差分表示为：引入单位延迟算子D，即Dy(n)=y(n-1)。二阶向后差分可表示为：类似地，k阶差分表示为：线性常系数差分方程的一般形式为：将方程(2. 22)稍加变换后得：该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不 仅与该时刻的输入x(n)、过去时刻的输入 x(n-1)，x(n-2)等有关，还与该时刻以前的 输出值y(n-1)，y(n-2)等有关。 四、 用差分方程描述系统差分方程的最大用途是它直接描述了系统结构。无反馈型(有限冲积响应)：有反馈型(无限冲积响应)：差分方程的特点采用差分方程描述系统简便、直观 、易于计算机实现。 但差分方程不能直接反应系统的频 率特性和稳定性等。 实际上用来描述系统多数还是由系 统函数。