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1、 几何与代数几何与代数 主讲主讲: : 王小六王小六 第第6 6章章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面第第1 1节节二次型二次型 一一. . 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.1 6.1 二次型二次型 f f( (x x1 1, , x x2 2, , , , x xn n) )= = a a1111x x1 12 2+ +a a2222x x2 22 2+a annnnx xn n2 2 +2+2a a1212x x1 1x x2 2+2+2a a1313x x1 1x x3 3+2+2a an n 1, 1,n nx xn n 1 1
2、x xn nn n元实二次型元实二次型 a aij ij= = a aji jin n a aij ijx xi ix xj j i i, , j j =1 =1 6.1 6.1 二次型二次型 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 n nf f( (x x1 1, , x x2 2, , , , x xn n) = ) = a aij ijx xi ix xj j i i, , j j =1 =1A A = = a a1111a a1212 a a1 1n na a2121a a2222 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnnx x = = x x
3、1 1 x x2 2x xn nx xT TAxAx f f 的矩阵的矩阵A A的二次型的二次型f f 的秩的秩: : r(r(A A) ) r( r( f f ) ) 6.1 6.1 二次型二次型 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 n nf f( (x x1 1, , x x2 2, , , , x xn n) = ) = a aij ijx xi ix xj j i i, , j j =1 =1k k1 1y y1 12 2+ + k k2 2y y2 22 2+ + + +k kn ny yn n2 2? ?f f 的标准形的标准形 x xT TAxAx= = ( (y y
4、1 1, , y y2 2, , , , y yn n) ) = = k k1 10 0 0 0 0 0 k k2 2 0 0 0 0 0 0 k kn ny y1 1y y2 2 y yn n 6.1 6.1 二次型二次型 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 f f( (x x) = ) = x xT TAxAx = ( = (PyPy) )T TA A( (PyPy) = ) = y yT T( (P PT TAPAP) )y y = = g g( (y y) ) 寻求可逆矩阵寻求可逆矩阵P P, , 使得使得寻求可逆的线性变换寻求可逆的线性变换x x = = PyPy, ,
5、使得使得 P PT TAPAP = =k k1 10 0 0 0 0 0 k k2 2 0 0 0 0 0 0 k kn n第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.1 6.1 二次型二次型 二二. . 用正交变换化实二次型为标准形用正交变换化实二次型为标准形 定理定理6.16.1. (. (主轴定理主轴定理) )对于任何一个对于任何一个n n元实二次型元实二次型 f f = = x xT TAxAx, , 都有正交变换都有正交变换x x = = QyQy, , 使使f f化为标准形化为标准形 f f = = 1 1y y1 12 2+ + 2 2y y2 22 2 + + + +
6、n ny yn n2 2, ,其中其中 1 1, , 2 2, , , , n n为为A A的的n n个特征值个特征值, , Q Q的列向量的列向量 就是就是A A的对应的的对应的n n个单位正交特征向量个单位正交特征向量. . 正交变换下的标准形正交变换下的标准形 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.1 6.1 二次型二次型例例1 1. . 用正交变换用正交变换将将二次型二次型f f( (x x1 1, , x x2 2, , x x3 3) = ) = x x1 12 2+ +x x2 22 2+ +x x3 32 2 2 2x x1 1x x3 3化为标准形化为标准形.
7、. | | E E A A| = | = ( ( 1)(1)( 2). 2). 所以所以A A的特征值为的特征值为 1 1= = 0 0, , 2 2= 1, = 1, 3 3= 2.= 2. 代入代入( ( E E A A) )x x = = 求得对应的特征向量求得对应的特征向量 1 1= = 1, 0, 11, 0, 1T T, , 2 2= = 0, 1, 00, 1, 0T T, , 3 3=(1, 0, =(1, 0, 1)1)T T. . 它们是两两正交的它们是两两正交的. . 解解: : f f 的矩阵的矩阵A A = = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
8、0 0 1 1 , , 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.1 6.1 二次型二次型把它们单位化可得正交矩阵把它们单位化可得正交矩阵 Q Q = =0 0 1 1 0 0 0 0 , , 2 22 22 22 21 1 1 11 11 10 0 令令x x = = QyQy, , 得该二次型的标准形为得该二次型的标准形为 = y yT T y y = = y y2 22 2+2 +2y y3 32 2. .f f = = x xT TAxAx = ( = (QyQy) )T TA A( (QyQy) = ) = y yT T( (Q QT TAQAQ) )y y0 0 00 0
9、 0 0 1 00 1 0 0 0 20 0 2第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.1 6.1 二次型二次型三三. . 用配方法化实二次型为标准形用配方法化实二次型为标准形 例例3 3. . 用配方法化用配方法化f f = =4 4x x1 12 2+3+3x x2 22 2+3+3x x3 32 2+2+2x x2 2x x3 3为标准形为标准形. . 解解: : f f = =4 4x x1 12 2+3+3x x2 22 2+3+3x x3 32 2+2+2x x2 2x x3 3令令 则则 f f = =4 4y y1 12 2+3+3y y2 22 2+(8/3)+(
10、8/3)y y3 32 2. . y y = = x x. . 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1/31/3 1 1 x x = = y y. . 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1/3-1/3 1 1 P P第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.1 6.1 二次型二次型 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.1 6.1 二次型二次型 四四. . 惯性定理与规范形惯性定理与规范形主轴定理主轴定理告诉我们，对于实二次型实二次型f f( (x x) = ) = x xT TAxAx，存在，存在正交变换正交变换将其化为标准
11、型将其化为标准型f f = = 1 1y y1 12 2+ + 2 2y y2 22 2 + + + + n ny yn n2 2；配方法配方法告诉我们，对于实二次型实二次型f f( (x x) = ) = x xT TAxAx，存在存在一个或多个一个或多个可逆线性变换可逆线性变换( (可可 以非正交以非正交) )将其化为标准型将其化为标准型f f = = k k1 1y y1 12 2+ + + + k kmmy ymm2 2问问： 1 1 , , 2 2, , , , n n与与 k k1 1, , k k2 2, , , , k kmm有何有何 关系？关系？第六章第六章 二次型与二次曲面
12、二次型与二次曲面 6.1 6.1 二次型二次型 定理定理6.26.2. . 实二次型实二次型f f( (x x) = ) = x xT TAxAx总可以通过总可以通过R Rn n 中的可逆线性变换将其化为标准形中的可逆线性变换将其化为标准形 f f = = k k1 1y y1 12 2+ + + + k kn ny yn n2 2其中其中k k1 1, , , , k kn n中非零的个数中非零的个数r r = =秩秩( (f f), ), 且且正项的个数正项的个数p p与负项的个数与负项的个数q q ( (p p+ +q q= =r r) )都都 是在可逆线性变换下的不变量是在可逆线性变换
13、下的不变量. .f f( (或或A A) )的的正惯性指数正惯性指数 f f( (或或A A) )的的负惯性指数负惯性指数 1. 惯性定理 从矩阵角度来理解定理定理6.2 6.2 ：对于实对称阵对于实对称阵A A，存在可逆阵，存在可逆阵( (正交阵正交阵)Q)Q使得使得Q QT TAQ= ,AQ= , 1 1 n nk k1 1k kn n那么k1 kn与 1 1 n n的非零元个数及正负数 个数是一样的,都等于A的秩和正负惯性指数. 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.1 6.1 二次型二次型 如果还存在某个可逆矩阵如果还存在某个可逆矩阵P P使得使得P PT TAP AP = . = . 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.1 6.1 二次型二次型 推论推论6.16.1. . 实二次型实二次型f f( (x x) = ) = x xT TAxAx总可以通过总可以通过R Rn n中中 的可逆线性变换将其化为的可逆线性变换将其化为规范形规范形 且规范形是唯一的且规范形是唯一的( (按正项按正项, ,负项负项, ,零项排列零项排列). ).推论推论6.26.2. . 设设n n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A A
