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1、 图论及其应用应用数学学院1本次课主要内容(一)、生成树的概念与性质(二)、生成树的计数(三)、回路系统简介21、生成树的概念(一)、生成树的概念与性质定义1 图G的一个生成子图T如果是树，称它为G的一棵 生成树；若T为森林，称它为G的一个生成森林。生成树的边称为树枝，G中非生成树的边称为弦。例如：粗边构成的子图为G的生成树。图G32、生成树的性质定理1 每个连通图至少包含一棵生成树。证明：如果连通图G是树，则其本身是一棵生成树；若连通图G中有圈C，则去掉C中一条边后得到的图仍 然是连通的，这样不断去掉G中圈，最后得到一个G的 无圈连通子图T，它为G的一棵生成树。定理1的证明实际上给出了连通图
2、G的生成树的求法 ，该方法称为破圈法。利用破圈法，显然也可以求出任意图的一个生成森林。4推论 若G是(n, m)连通图，则mn-1连通图G的生成树一般不唯一！(二)、生成树的计数1、凯莱递推计数法凯莱(Cayley 18211895): 剑桥大学数学教授，著名 代数学家，发表论文数仅次于Erdos ,Euler, Cauchy. 著 名成果是1854年定义了抽象群，并且得到著名定理：任 意一个群都和一个变换群同构。同时，他也是一名出色 的律师，作律师14年期间，发表200多篇数学论文，著 名定理也是在该期间发表的。凯莱生成树递推计数公式是他在1889年建立的。5定义2 图G的边e称为被收缩，是
3、指删掉e后，把e的两个 端点重合，如此得到的图记为G.ee1e5e2e4e3用(G)表示G的生成树棵数。定理2(Cayley) 设e是G的一条边，则有：证明：对于G的一条边e来说，G的生成树中包含边e的 棵数为G.e ，而不包含e的棵数为G-e.6例1，利用凯莱递推法求下图生成树的棵数。共8棵生成树。7凯莱公式的缺点之一是计算量很大，其次是不能具 体指出每棵生成树。2、关联矩阵计数法 定义3 ：nm矩阵的一个阶数为minn, m的子方阵 ，称为它的一个主子阵；主子阵的行列式称为主子行列 式。显然，nm矩阵共有 个主子阵。定理3 设Am是连通图G的基本关联矩阵的主子阵，则 Am非奇异的充分必要条
4、件是相应于Am的列的那些边构 成G的一棵生成树。证明：必要性8设Am是Af的一个非奇异主子阵，并设与Am的列相对 应的边构成G的子图Gm.由于Am有n-1行，故Gm应该有n-1个顶点(包括参考点); 又Am有n-1列,所以Gm有n-1条边。而Am非奇异，故Am的 秩为n-1 ,即Gm连通。这说明Gm是n个点，n-1条边的连通 图，所以，它是树。充分性如果Am的列对应的边作成G的一棵生成树，因树是连通 的，所以，它对应的基本关联矩阵Am非奇异。该定理给出了求连通图G的所有生成树的方法：(1) 写出G的关联矩阵，进一步写出基本关联矩阵， 记住参考点； 9(2) 找出基本关联矩阵的非奇异主子阵，对每
5、个这样 的主子阵，画出相应的生成树。例2，画出下图G的所有不同的生成树。1234abcdeG解：取4为参考点，G的基本关联矩阵为：abcde123 10共有10个主子阵，非奇异主子阵8个，它们是：1234abdabd123abe1231234abe11acd123ace1231234acd1234ace12ade123bcd1233124ade1234bcd13ade123bde1231234bce1234bde注：该方法的优点是不仅指出生成树棵数，而且能绘 出所有不同生成树；缺点是找所有非奇异主子阵计算 量太大！14定理3 (矩阵树定理) 设G是顶点集合为V(G)=v1,v2,vn, 的图，
6、设A=(aij)是G的邻接矩阵，C=(cij)是n阶方阵，其中：3、矩阵树定理则G的生成树棵数为C的任意一个余子式的值。说明：(1) 该定理是由物理学家克希荷夫提出的。他于 1824年出生于普鲁士的哥尼斯堡。1845年因宣布著名的克 希荷夫电流电压定律而闻名，1847年大学毕业时发表了生 成树计数文章，给出了矩阵树定理。他的一生主要花在实 验物理上。担任过德国柏林数学物理会主席职务。15(2) 矩阵树定理的证明很复杂，在此略去证明；(3) 定理中的矩阵C又称为图的拉普拉斯矩阵，又可定 义为：其中，D(G)是图的度对角矩阵，即主对角元为对应顶 点度数，其余元素为0。A(G)是图的邻接矩阵。图的拉
7、普拉斯矩阵特征值问题是代数图论或组合矩 阵理论的主要研究对象之一。该问题因为在图论、计算 机科学、流体力学、量子化学和生物医学中的重要应用 而受到学者们的高度重视。研究方法大致有3种：代数 方法、几何方法和概率方法。16例3 利用矩阵树定理求下图生成树的棵数。v4v1v2v3解：图的拉氏矩阵为：一行一列对应的余子式为：17例4 证明(Kn)=nn-2(教材上定理7）证明：容易写出Kn的拉氏矩阵为：一行一列对应的余子式为：所以：18注：例4的证明有好几种不同方法。用矩阵树定理证明是 最简单的方法。1967年，加拿大的Moon用了10种不同方 法证明，之后有人给出了更多证明方法。Moon的学术生涯
8、主要是对树和有向图问题进行研究 。同时，正如大多数科学家一样，他对音乐也很感兴趣。 他还认为：当一个人发现了新事物，而且很难对非数学工 作者解释该发现时，他就会产生一种满足喜悦感。例5 证明：若e为Kn的一条边，则：证法一：若e为Kn的一条边，由Kn中的边的对称性以及每 棵生成树的边数为n-1，Kn的所有生成树的总边数为：19所以，每条边所对应的生成树的棵数为：所以，K n - e 对应的生成树的棵数为：证法二：假设在Kn中去掉的边e=v1vn, 则Kn-e的拉氏矩阵 为：20于是由矩阵树定理：21(三)、回路系统简介定义4 设T是连通图G的一棵生成树，把属于G但不属于T的 边称为G关于T的连
9、枝，T中的边称为G关于T的树枝。在上图中，红色边导出图的一棵生成树。则红色边为G对 应于该生成树的树枝，白色边为G对应于该生成树的连枝。G22定义5 设T是连通图G的一棵生成树，由G的对应于T一条连枝 与T中树枝构成的唯一圈C，称为G关于T的一个基本圈或基 本回路。若G是(n, m)连通图，把G对应于T的n-m+1个基本回 路称为G对应于T的基本回路组。记为Cf.abcde Gace T基本回路为：abcC1cde C223基本回路的性质:定理4 设T是连通图G=(n, m) 的一棵生成树,C1, C2,Cn-m+1是 G对应于T的基本回路组。定义：1.Gi=Gi , 0.Gi=,Gi是G的回
10、 路。则则G的回路组组作成的集合对对于该该乘法和图图的对对称差运算 来说说作成数域F=0,1上的n-m+1维向量空间。证明: (1) 非空、两闭、8条容易证明。 (2) 首先证明C1, C2,Cn-m+1线性无关。若不然，设C1, C2,Cn-m+1线性相关，那么存在一组不全为 零的数a1,a2,an-m+1,使得：24但是，任意两个基本回路包含两条不同连枝，所以，若某个 ak0, 则则矛盾！其次证明G的任意一个回路均可由C1, C2,Cn-m+1线性表出。设B是G的任一回路，显然，它至少含一条连枝，不失一般性 ，令：其中：25令：显然，B1中只含有B中连枝，于是BB1只含树枝不含回路。 但是，两个回路的环和一定是回路，这就导出矛盾！定理4说明，连通图G的所有回路作成子图空间的一个子空间 ，该空间称为回路空间或回路系统。例6 求下图G的回路空间的一个基底和它的全部元素。26解：取G的一棵生成树T为：Gabcd ef ghabdgTG对于生成树T的基本回路为：27C1abc图形为：C2abdeC4dfgabdghC3所有可能的环和为：28B1cd eB2cdghB3abcdf gB4eghB5abef g29B6abfhB2abcdefhB2c ef gB7abc eghB2cfhB2defh30作业P43 习题2 ： 12, 14, 1531Thank You !32
