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1、1.2 数列的极限1.2.1 数列的概念1.2.2 数列的简单性质1.2.3 数列的极限基本内容基本要求1、了解数列的概念及性质;2、理解数列极限的概念及几何意义;3、掌握数列极限的性质及四则运算法则。4、掌握数列极限存在的准则，并会利用它5、掌握利用重要极限求极限的方法。们求极限;1.2.1数列的概念 定义1 无穷多个按照一定顺序排列的数数列中的每一个数称为几个数列的例子： 通项(1)(2)数列的项,第n项称为数列的通项或一般项. 称为数列,简记为,(3)(5)(4)它依次取数轴上的点上的函数: 数列可看作定义域为正整数集在几何上, 数列可看作数轴上的一个动点,1.2.2数列的简单性质那么称
2、数列为单调递增数列；一、单调性满足如果数列那么称数列为单调递减数列.单调递增和单调递减数列统称为单调数列 . 满足如果数列二、有界性 如果存在M0,对于任何正整数n ，恒有那么称数列如果数列所有的项都不超过某一个常数，即 如果数列所有的项都不小于某一常数，即 为有上界的; ,那么称数列,那么称数列为有下界的.为有界的；否则称为无界的.1.2.3 数列的极限的变化趋势 .研究一个数列,主要研究当n无限增大时(用记号来表示)，对应的一、 数列极限的定义 如果数列没有极限,就称该数列是发散的. 时收敛于a, 观察前面所举数列的例子, 不难看出： 描述性:无限地趋近于某一个常数a ，就称数列，如果当对
3、数列当记作故上述数列（前面数列(2)、(3)、(5)）是收敛的,固定的常数，因而他们是发散数列。而前面的数列(1)、(4)：当n无限增大时，对应的nx都不能无限地趋近于某个极限的定义.下面用精确的、定量化的数学语言来给出数列我们用来表示x与a的 接近程度,用 来表示n无限增大 .先说明在数学上如何刻划“无限接近”与“无限增大” ：(不论它多么定义如果对于任意给定的正数e小),存在正数N,不等式都成立,那末就称常数a是数列的极限,记为如果数列没有极限,就说数列是发散的.或上述定义称为定义.或者称数列收敛于a,nx使得对于时的一切,例1 用数列极限的定义证明要找正整数N,使证 记因为 ,不妨设 ,
4、有 只要 于是取由极限的定义得 注意用定义证数列极限存在时,关键是任意则当时,恒有给定寻找N,但不必要求最小的N.上面不等式两边取对数,可得当就有由极限定义,得 证要找N,使当时,有 当时,上式显然成立.例2 设,证明于是取 则当时,二、几何解释.),(,内都落在所有的点时当aaxNnnee+-面的点只有有限个(至多只有N个). 而在这区间外设其几何意义为:即落在点的邻域内，三、数列极限的性质证由定义,1.唯一性故收敛数列极限唯一.定理1 若数列收敛,则它的极限唯一.由的任意性知,由定义,注意有界性是数列收敛的必要条件,非充分条件.由定理2可得无界数列必定发散.2.有界性证 因为数列有界，但由
5、定义知它不收敛。 即如数列定理2 若数列收敛，则数列必有界。收敛,的子数列（或子列）的一个数列称为原数列中的先后次序，这样得到这些项在原数列中任意抽取无限多项并保持定义3 在数列 nx nx nx例如,在数列3.收敛数列与其子数列间的关系 得到一个子数列kxnk项，是第中，一般项在子数列注意 nxxknnk项，显然，中却是第在原数列而中,设第一次抽取后抽取;在证定理3 如果数列 也收敛,且极限也是a .有于是由定理3可得,若一数列有两个子列收敛于不同的 极限,那么该数列必定发散. 收敛于a, 那么它的任一子列四、数列极限的存在准则几何解释:定理4 单调有界数列必有极限。 1.单调有界准则证明从
6、略 . 把数列一般项条件下,点M必定无限趋近于某一个定点a.看成是数轴上的动点M,则在定理4的定理4还可以叙述为:数列必有极限.单调递增上方有界或单调递减下方有界例3 设 证 因为证明存在.于是数列下方有界.又故数列存在.单调递减,由定理4知例4 设,证明 存在.证 首先证明是单调递增的.根据二项式定理,有 比较展开后的各项知,和我们用字母e来表示:故是上方有界的 .存在.由定理4知,下面再证上方有界 :由的展开式可得定理5 数列2.柯西收敛准则 是对任意时,有定理的几何意义为:的极限存在的充分必要条件,存在正整数N，使得当数列的极限存在的充分必要条件是:对于任意后面所有项在数轴上所对应的点中
7、,任意两点间的给定的， 都可以找到N，,数列中自N项起距离都小于例5 设,证明是发散的。证 取 , 对任何正整数N ，有所以不满足柯西收敛准则，即是发散的。五、数列极限运算法则定理6 如果数列收敛于a , 收敛于b，则(1) 数列收敛,且有（2）数列收敛, 且有(3)当收敛,且有时, 数列下面证(2),(1)、(3)证法类似,留给读者自己证明. 使 有(1)证 因为收敛于B,从而必有界,即于是,当时,由,当时,有与 (2)又同时成立.故对 ,使当时,有令,则当时,不等式 综上所述,得 于是 (这里M同上 ). 由（1）与 (2)与可得若，则对,即 有定理6中的(1)、(2)可以推广到任意有限个
8、收敛数列的情形.其中 m是一个正整数.推论1 如果数列收敛于 ,则其中是一个常数.推论2 如果数列收敛于 ,则求数列极限的例题例6 求下列极限:(1)(2)解 (1) (2)例7 求解上述求极限的方法称为“有理化法 ”. 例8 求下列极限:（1）（2）解（1 ）（2 ）例9 求下列极限:（1）（2）解（1）（公式法 ）（2）（拆项法）例10 设求解 本节例3已经证明该数列的极限存在,现设 在等式两端取极限,得 解这个方程得 即,注意到,由数列极限的定义知一般地求由递推关系式（1）先用极限存在准则讨论数列的敛散性；（2）在数列收敛时,设 对给定的递推公式两端取极限,得方程 再解出 相应的给出的数列的极限,其解题步骤通常分为两步:作业P271.(6)(8)（9）（10）;2. 5.
