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1、第七章 多项式 有限域 7.1 域的特征 素域 v 7.1.1 域的特征 v 7.1.2 素 域 7.1.1 域的特征设F是一个域，是F的壹，作映射： ：n ne，n I 。则： (1)是整数环I到F内的映射。因为e F，所以ne F，故(I) F。 (2)是整数环I到F内的同态映射。 因为(m+n)=(m+n)e =me+ne=(m)+(n)，(mn)=(mn)e=(me)(ne)=(m)( n) 。 设N是的核，则N是I的理想。从加法 角度看N是I的子群，而I在加法下是循环 群，由循环群的子群是循环群知，N是由 某一元素生成的，设为p，则N = np | nI = pI。 可设p0，p称为
2、F的特征。 由N是的核知，对nN， （n）= 0F。特别地，p pI = N ，故 (p)= pe = 0F 。 设n为乘法单位元e在加法下的周期.下面 证明n=p，即p是乘法单位元e在加法下的 周期。(1) 当p = 0时，N = pI = 0。故(n)= ne = 0F iff n N iff n=0=p 。即，e在F的加法群里面的周期是 。 (2)当p0时，（n）= ne =0F iff n Niff n=pk， kIiff p|n 再由(p)= pe = 0F，知 n|p。因此，n = p。这就是说，e在F的加 法群里 面的周期是p。域F的特征p或等于0或是一个质数。证明：只需证若F的
3、特征p0,则p一定为质 数。用反证法。设p不是质数，则p = hk，1 h p，1 k p因此，pe = (hk)e = (he)(ke)而pe = 0F。因为域中无零因子，所以或he= 0F或ke= 0F ，但这和e的周期为p矛盾。（由域是消去环，而消去环中所有不为0的 元素在加法下的周期相同，且或为0或为质数 。） 定理7.1.17.1.2 素 域 定理7.1.2 设p为质数或等于0，特征为p的 任意域F包含RP为其最小子域。 证明：设是F的壹，作映射同前：n ne，n I 。令I为I在F内的同态映象:I=(I)=ne|nI，则I为环，I I，且同态核N=pI。故，IPI I。 若F的特征
4、p为质数， 往证F包含RP为其 最小子域。 v 因p为质数，所以 I/PI=RP是一个域。v由IPI I ，知I是域，因此是F的子 域。v任取F的子域F，则F必然包含e及其 任意整数倍，即，必然包含 I，所以I是F的 最 小子域。 即，F包含和Rp同构的I为其最小子域 。v现在用1代表F的壹：e=1，用整数n代 表ne。特征是质数p时，mod p合同的 整数代表F的同一个元素，Rp的元素写 作0,1，p-1，则抽象地看，Rp与I 一样 。这样，特征为p的域便包含Rp为 其最小子域。若F的特征p为0，往证F包含R0为其最小子域。 由p=0，知的核pI=0I=0，所以I/pI=,-1,0,1, ，
5、显然I/pI I，而I / pI I，故II。I还不是一个域,故扩充: (n0) 往证为有理域R0到F内的一个同态映射。v先证为有理域R0到F内的一个映射。若h/k = m/n，则 hn = km，因此，(hn)e = (km)e，即(he)(ne)=(ke)(me)，因k0,n0, F的特征p为0，所以ke 0F ，ne 0F ，故， he/ke = me/ne，这就是说，由所规定的m/n的映象由m/n唯一确定，而与这个有理数的表示方法无关。 v再证为同态映射。因此若令 ，则R0 R0v证 是R0到其映象R0的同构映射，故R0 是域，因此是F的子域。证法一： R0是一个域而不是把它的所有元素
6、映到0，所以，由教材233页习题6.7-1，R0 R0。证法二：再证明是1-1映射即可。因是R0到R0上的映射，只需证若h/k m/n，则he/ke me/ne。反证。设h/k m/n，而 he/ke= me/ne。则(he)(ne)=(ke)(me)，故，(hn)e = (km)e，即(hn)e - (km)e=0F ，亦即(hn-km)e=0F ，由F的特征p为0，知hn-km=0F ，所以hn= km， h/k = m/n，与h/k m/n矛盾。vF的任意子域要包含e,e的整数倍及其商,即包含R0 ,所以,F包含和R0同构的R0为其最小子域。v现在用1代表F的壹：e=1，用整数n代表ne
7、。 用有理数m/n代表me/ne。这样，抽象地看， R0与R0一样。特征为0的域便包含有理域R0为其最小子域。 证毕。RP称为最小域或素域，其中，p为0或质数。例.实数域、复数域以R0为其最小子域。设n是任意整数，aF，若用1代表F的壹： e=1，用整数n代表ne，则na 有两种意思，(1) 可以看作是a的n倍，(2)可以看作是F中两个元素的乘积。结果都等于（ne）a。 结论1：p是质数时，任意非零元素在F的加法群中的周期等于p；p=0时，任意非零元素在F的加法群中的周期等于。结论2：设F的特征是质数p，则（a+b）p = ap+bp 证明：由二项式定理，系数都是整数。除了两端的ap和bp，中间各 项的系数中r都小于p，所以分子上的p不可能在 约分中消掉，因而中间各项的系数是p的倍数 。因此（a+b）p = ap+bp 结论3 设F的特征是质数p,则(a-b)p = ap- bp 证明：令c = a-b。由结论2，ap = （c+b）p = cp+bp = （a-b）p+bp，从而（a-b）p = ap-bp 结论4 设F的特征是质数p，则结论5 设F的特征是质数p，则结论6 设F的特征是质数p，n不是p的倍 数，则 -Fermat小定理
