函数概念的产生及其背景

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1、 函数产生的社会背景:历史表明，重要数学概念对数学发展的作用 是不可估量的，函数概念对数学发展的影 响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用 非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看 函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史 过程，是一件十分有益的事情，它不仅有 助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的 清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念 对数学发展，数学学习的巨大作用。(一)马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中 不定方程的研究。由于罗马时代的丢番图对不 定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那 时已经萌芽。 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复 兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索 ：既然地球

2、不是宇宙中心，它本身又有自转和 公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还 要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆 ，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射 物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮 弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科 学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决 的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出 的一个数学概念，这是函数概念的力学来源。(二)早在函数概念尚未明确提出以前，数学 家已经接触并研究了不少具体的函数，比 如对数函数、三角函数、双曲函数等等。 1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已 经注意到了一个变量对于另一个变量的依 赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼

3、 一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛 顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家 还没有明确函数的一般意义。1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂 ”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、 纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量 。由此可以看出，函数一词最初的数学含 义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同 时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名 词“流量”来表示变量间的关系，直到1689 年，瑞士数学家约翰贝努里才在莱布尼兹 函数概念的基础上，对函数概念进行了明 确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式 构成的量叫“x的函数”，表示为。当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术 运算、三角运算、指数运

4、算和对数运算，所 以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x 和常数c而成的式子，取名为解析函数，还 将它分成了“代数函数”与“超越函数”。 18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔 与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法在 解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说 是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任 意画出的一条曲线”。现在看来这都是函数 的表达方式，是函数概念的外延。 (三)函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与 实践的尖锐矛盾。例如，偏微分方程在工程 技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学 定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建 立。1833年至1834年，高斯开始把注意力转 向物理学，

5、他在和W威伯尔合作发明电报的 过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出 了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理 论，使得函数作为数学的一个独立分支而出 现了，实际的需要促使人们对函数的定义进 一步研究。后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖 着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化 ，那么第一个量称为第二个量的函数。“这个定 义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运 动注入到函数定义中去，是可喜的进步。” 在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影 响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张 函数不必局限于解析表达式。1822年，他在名著 热的解析理论中说，“通常，函数表示相接 的

6、一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的 ，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规 律；他们以任何方式一个挨一个。” 在该书中,他用一个三角级数和的形式表达了一 个由不连续的“线”所给出的函数.更确切地说 就是,任意一个以2为周期函数.在-， 区间内，可以由 表 示出，其中 , 。 富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数 概念的传统思想，在当时的数学界引起了很 大的震动。原来，在解析式和曲线之间并不 存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线 沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成 为揭示函数关系的巨大障碍。通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里 克莱的函数定义。 1834年，俄国数学家罗巴切夫斯

7、基提出函数 的定义：“x的函数是这样的一个数，它对 于每个x都有确定的值，并且随着x一起变 化。函数值可以由解析式给出，也可以由 一个条件给出，这个条件提供了一种寻求 全部对应值的方法。函数的这种依赖关系 可以存在，但仍然是未知的。”这个定义建 立了变量与函数之间的对应关系，是对函 数概念的一个重大发展，因为“对应”是函 数概念的一种本质属性与核心部分。1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet） 认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要 ，所以他的定义是：“如果对于x的每一值 ，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的 函数。” 根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然 被说成是函数（狄里

8、克莱函数）： 在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f （x）忽0忽1，在无论怎样小的区间里，f（x ）无限止地忽0忽1。因此，它难用一个或几 个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达 式也是一个问题。但是不管其能否用表达式 表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍 是一个函数。 狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数 定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全 清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至 此，我们已可以说，函数概念、函数的本质 定义已经形成，这就是人们常说的经典函数 定义。（四）生产实践和科学实验的进一步发展， 又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20 年代，人类开始研究微观物理现

9、象。1930 年量子力学问世了，在量子力学中需要用 到一种新的函数函数， 即。 - 函数的出现，引起了人们的激烈争论。按照 函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应 关系，而没有把“”作为数。另外，对于自变 量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等 于零，这也是不可想象的。然而， - 函数确 实是实际模型的抽象，例如，当汽车、火车通 过桥梁时，自然对桥梁产生压力，从理论上讲 ，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车 辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触 点x = 0处的压强是P（0）= 压力接触面 =1 0 = ；其余点x 0处，因无压力，故无 压强，即P（x）= 0。另外，我们知道压强函

10、 数的积分等于压力。函数概念就在这样的历史条件下能动地向前 发展，产生了新的现代函数定义：若对集 合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y 与之对应，则称在集合M上定义一个函数， 记为y = f（x），元素x称为自变元，元素 y称为因变元。 函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然 只相差几个字，但却是概念上的重大发展 ，是数学发展道路上的重大转折，近代的 泛函分析可以作为这种转折的标志，它研 究的是一般集合上的函数关系。函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形 成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了。 不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形 式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十

11、 年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概 念“关系”。 设集合X、Y，我们定义X 与Y 的积集X Y 为X Y =（x ，y ）x X ，y Y 积集X Y 中的一子集称为 R 与 Y 的一个关系， 若（x ，y ）R，则称 x 与 y 有关系 R ，记 为x R y。若（x，y）R，则称 x 与 y 无关系。现设 f 是 X 与 Y 的关系，即f X Y，如 果（x，y），（x，z）f，必有y = z， 那么称 f 为 X 到 Y 的函数。在此定义中 ，已在形式上回避了“对应”的术语，全部 使用集合论的语言了。 从以上函数概念发展的全过程中，我们体会 到，联系实际、联系大量数学素材，研究

12、 、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要 。 早期函数概念几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(GGalileo，意，15641642)在 两门新科学一书中，几乎全部包含函数或称 为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表 达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes， 法，15961650)在他的解析几何中，已注意到一 个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未 意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛 顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的 一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表 示“幂”，后来他用该词表示曲线上

13、点的横坐标、 纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此 同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表 示变量间的关系。 十八世纪函数概念代数观念下的函数1718年约翰贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667 1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行 了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量 。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的 函数，并强调函数要用公式来表示。 1755欧拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函数定义 为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量 ，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变 化，我们把前面的变量称为后

14、面变量的函数。” 18世纪中叶欧拉(LEuler，瑞，17071783)给出了定 义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数 以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰?贝努利给 出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代 数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出 ，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍 、更具有广泛意义。 十九世纪函数概念对应关系下的函数1821年，柯西(Cauchy，法，17891857) 从定义变 量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关 系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的 值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量， 其他各变数叫做函数。”在

15、柯西的定义中，首先出 现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要 有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用 多个解析式来表示，这是一个很大的局限。 1822年傅里叶（Fourier，法，17681830）发现 某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表 示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是 否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识 又推进了一个新层次。 1837年狄利克雷(Dirichlet，德，18051859) 突 破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系 无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某 区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确 定的值，那么y叫做x的函数。

16、”这个定义避免了函 数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所 有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义 。 等到康托尔(Cantor，德，18451918)创立的集合 论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen， 美，18801960)用“集合”和“对应”的概念给出了 近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关 系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变 量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对 象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。 现代函数概念集合论下的函数1914年豪斯道夫(FHausdorff)在集合论纲要 中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避 开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉 托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来 定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。 1930 年新的现代函数定义