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1、3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离1.探索并掌握点到直线线的距离公式.2.会求两条平行直线间线间 的距离.1.点到直线的距离公式(1)点P(x0,y0)到直线l：Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d=_.(2)点P(x0,y0)到x轴的距离d=_，到y轴的距离d=_.|y0|x0|2.两条平行直线间的距离已知两条平行直线l1：Ax+By+C1=0,l2：Ax+By+C2=0(C1C2),则l1与l2之间的距离为d=_.1.“判一判”理清知识识的疑惑点(正确的打“”,错误错误 的打“”).(1)直线线l1：Ax+By+C1=0到l2：Ax+By+C2=0的距离是
2、|C1-C2|.( )(2)点到直线线的距离公式不适用于点在直线线上的情形.( )(3)原点到直线Ax+By+C=0的距离公式是 .( )提示：(1)错误.平行直线间的距离是 而非|C1-C2|,故这种说法是错误的.(2)错误.当点在直线上，点到直线的距离为0，公式中分子为0，距离为0，仍然适用，故这种说法是不正确的.(3)正确.把原点(0,0)代入点到直线的距离公式，可知是正确的.答案：(1) (2) (3)2.“练练一练练”尝试尝试 知识识的应应用点(请请把正确的答案写在横线线上).(1)点P(2,1)到直线线x=1的距离为为 .(2)若P(0,a)到直线线x+y-1=0的距离为为 ,则则
3、a= .(3)已知l1：x-y+1=0,l2：x-y-1=0,则则l1与l2之间间的距离为为 .【解析】(1)点P(2,1)到直线x=1的距离为d=|2-1|=1.答案：1(2)因为 所以|a-1|=2,所以a=3或a=-1.答案：3或-1(3)由题意知两直线平行，所以答案：一、点到直线的距离点P(x0,y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离探究1：观察点到直线的距离公式，回答下列问题：(1)点到直线的距离公式中的直线方程一定为一般式吗？提示：公式中直线方程必须为一般式，如果不是，必须先将方程化为一般式方程，再利用公式求距离.(2)点到直线的距离公式对于A=0，B0或A0,B=0或P点在直线
4、l上的情况是否还适用？提示：仍然适用.当A=0，B0时，直线l的方程为By+C=0，即 适合公式;当B=0，A0时，直线l的方程为适合公式;当P点在直线l上时，有Ax0+By0+C=0,适合公式.探究提示：考虑 代入公式能否成 立.【拓展延伸】平面上一点到几种特殊直线的距离(1)点P(x0,y0)到x轴的距离为d=|y0|.(2)点P(x0,y0)到y轴的距离为d=|x0|.(3)点P(x0,y0)到直线x=a的距离为d=|x0-a|.(4)点P(x0,y0)到直线y=b的距离为d=|y0-b|.探究2：在推导导一般情况下公式的证证明过过程中,过过点P分别别作x,y轴轴的平行线线交直线线于R、
5、S点,然后是利用什么知识识推导导出公式的?提示：通过上述方式构造出直角三角形,利用直角三角形面积相等,斜边与斜边上的高的积等于两直角边的积,进而化简得到公式.【探究提升】对点到直线的距离公式的三点说明(1)公式的适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离,无论是该直线的斜率不存在还是斜率为0均适用于此公式.(2)公式的构造特点：分子是用点P(x0,y0)的坐标代换直线方程中的x,y,然后取绝对值.分母是直线方程中的x,y的系数的平方和的算术平方根.(3)使用点到直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式.二、两条平行直线间的距离两条平行线间的距离公式探究1：应用平行线
6、间的距离公式前提是什么？提示：(1)两直线方程必须是一般式.(2)两直线方程x，y的系数对应相等,否则不能直接用此公式.探究2：平行线间的距离与点到直线的距离有怎样的关系？提示：两条平行线间的距离可以转化为其中一条直线上一个点到另一条直线的距离来求，即转化为点到直线的距离求解.【探究提升】两条平行线间距离公式的两点说明(1)公式的结构特征：分子是直线方程中常数项差的绝对值,分母是x,y的系数的平方和的算术平方根.(2)利用公式时要注意对直线方程进行转化,转化为可以利用公式的形式.类型 一 点到直线线的距离尝试尝试 完成下列题题目,体会点到直线线距离公式的应应用,并归归纳纳点到直线线的距离的求解
7、方法.1.(2013兰兰州高一检测检测 )在平面直角坐标标系xOy中,点P(2,2)到直线线4x+3y+5=0的距离为为 .2.求垂直于直线线x+3y-5=0,且与点P(-1,0)的距离是 的直线线l的方程.【解题指南】1.直接应用点到直线的距离公式即可.2.先根据垂直直线系设出l的方程，然后利用点到直线的距离公式求出相应的参数即可.【解析】1.由点到直线的距离公式可得答案：2.设与直线x+3y-5=0垂直的直线的方程为3x-y+m=0，则由点到直线的距离公式知：所以|m-3|=6,即m-3=6,得m=9或m=-3,故所求直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.【互动探究】若将题2中
8、条件“垂直于直线x+3y-5=0”换为“平行于直线x+3y-5=0”，其他条件不变，结论又如何呢？【解析】设直线的方程为x+3y+C=0(C-5)，则由点到直线的距离公式知故|C-1|=6.所以C=7或C=-5(舍去).故所求直线方程为x+3y+7=0.【技法点拨】点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式方程,直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)若已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.【拓展延伸】利用点到直线的距离公式求解最值问题在求解一些代数式的最值时,我们往往将代数问题转化为几何问题,利用数形结合的思想,得到一些意
9、外的效果.例如：设x+2y=1,求x2+y2的最小值.解：x2+y2可看作直线x+2y=1上的点P(x,y)与原点的距离的平方,则最小距离是原点到直线x+2y=1的垂线段的长度.由点到直线的距离公式知所求最小距离为 所以x2+y2的最小值为类型 二 两条平行直线间的距离通过解答下列与两条平行直线间的距离有关的题目，体会并总结解答两条平行直线间的距离问题的两种思路.1.(2013潍坊高一检测)直线3x+y-3=0与直线6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为( )2.与直线x-y+1=0的距离为 的直线l的方程是_.【解题指南】1.先利用两直线平行的条件求出m的值，然后再利用两平行直线之间的距
10、离公式即可求出它们之间的距离.2.可先设出直线l的方程，然后利用两平行线间的距离公式求解.【解析】1.选D.因为直线3x+y-3=0与直线6x+my+1=0平行，所以3m=6,即m=2.直线6x+2y+1=0可化为3x+y+ =0.因此它们之间的距离为2.设直线l的方程为x-y+C=0，由题意得所以|C-1|=2,所以C=3或C=-1.答案：x-y+3=0或x-y-1=0【技法点拨】平行直线间距离问题的两种思路(1)转化为点到直线的距离.(2)当两条直线的方程均为一般式方程,且x，y系数对应相等时,可直接应用公式 求解.【变变式训练训练 】两平行直线线l1,l2分别过别过 A(1,0)与B(0
11、,5)点,若l1与l2之间间的距离为为5,求这这两直线线的方程.【解析】设l1：y=k(x-1)即kx-y-k=0,则点B到l1的距离为所以k=0或k= ,所以l1的方程为y=0或5x-12y-5=0,l2的方程为y=5或y= x+5,所以两直线方程为l1：y=0,l2：y=5或l1：5x-12y-5=0,l2：5x-12y+60=0.类型 三 距离公式的综综合应应用试试着解答下列题题目,总结总结 有关距离最值问题值问题 的求解方法.1.已知点A(0,2),B(2,0),若点C在函数y=x2的图图象上,则则使得ABC的面积为积为 2的点C的个数为为( )A.4 B.3 C.2 D.12.两条相
12、互平行的直线线分别过别过 点A(6,2)和B(-3,-1),并各自绕绕着A,B旋转转,如果两条平行直线间线间 的距离为为d,求：(1)d的取值值范围围.(2)当d取最大值时值时 ,两条直线线的方程.【解题指南】1.先根据点C在函数y=x2的图象上设出点C的坐标(t,t2),进而求点C到直线AB的距离,即为ABC在边AB上的高,然后再根据ABC的面积公式列出t的方程.方程解的个数即为C点的个数.2.结合图形可知分别过A,B两点的两条平行直线之间的距离应不大于AB,而当距离最大时,所在直线恰好与直线AB垂直,从而可求出直线方程.【解析】1.选A.设点C(t,t2),直线AB的方程是x+y-2=0，
13、|AB|=2 .ABC的面积为2，则这个三角形AB边上的高h满足方程 即h= .由点到直线的距离公式，得即|t2+t-2|=2，即t2+t-2=2或t2+t-2=-2，这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C共有4个.2.(1)如图，显然有0dAB.而故所求d的变化范围是(0, .(2)由图知，当d取最大值时，两直线均垂直于AB,而所以所求直线的斜率为-3.故所求的直线方程为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.【技法点拨】求有关距离最值问题的两种方法(1)利用解析几何知识构造一个函数，然后利用函数求最值.(2)利用几何性质求最值：两点
14、之间线段最短，直角三角形斜边大于直角边，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等；寻找定长线段.【变式训练】已知ABC中，A(1，1)，B(m, )(1m4),C(4,2)，求m为何值时，ABC的面积S最大.【解析】因为A(1，1)，C(4，2)，所以|AC|=又直线AC的方程为x-3y+2=0.根据点到直线的距离公式，得点B(m, )到直线AC的距离为所以因为1m4,所以1 2，所以所以所以所以当 即m= 时,S最大，故当m= 时，ABC的面积最大.1.点(2，0)到直线y=x-1的距离为( )【解析】选D.直线方程化为一般式：x-y-1=0,由点到直线的距离公式知2.两平行线y=k
15、x+b1与y=kx+b2之间的距离是( )【解析】选B.两平行线的一般式方程为：y-kx-b1=0及y-kx-b2=0.故3.点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是_.【解析】|OP|的最小值即为原点O到直线x+y-4=0的距离答案：4.若点A(a,0)到直线x+y-1=0的距离为2，则a=_.【解析】由点到直线的距离公式得所以|a-1|=2 ,所以a-1=2 .所以a=12 .答案：12 5.已知两点A(3，2)和B(-1，4)到直线mx+y+3=0的距离相等，则m的值为_.【解析】因为两点A(3，2)和B(-1，4)到直线mx+y+3=0的距离相等，所以解得m= 或m=-6.答案： 或-66.求过点P(-1，2)，且与原点的距离等于 的直线方程.【解析】当直线斜率不存在时，方程为x=-1，不合题意；当直线斜率存在时，设方程为：y-2=k(x+1)，即：kx-y+k+2=0，由题意：解得：k=-1或k=-7,故所求的直线方程为：x+y-1=0或7x+y+5=0.
