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1、1惯性仪器测试与数据分析西北工业大学 自动化学院 严恭敏 2015-092第二章 机械陀螺与加速度计建模 主要内容： 一、预备知识（复习相关基本数学和物理概念） 二、单自由度转子陀螺仪的静态误差模型 三、单自由度转子陀螺仪的动态误差模型 四、石英挠性摆式加速度计输入输出模型 五、激光陀螺仪及其主要误差 六、光纤陀螺仪及其温度漂移误差 3一、基本概念回顾 1、标量、向量和变换矩阵的习惯表示法 4一、基本概念回顾 2、向量反对称矩阵概念与应用 设对两个三维向量：进行叉乘运算（即外积）： 5一、基本概念回顾 2、向量反对称矩阵概念与应用 若记特殊矩阵：则有：6一、基本概念回顾 2、向量反对称矩阵概念
2、与应用 利用反对称矩阵可以将向量叉乘运算看成矩阵与向量的乘法运算， 在有些矩阵合并书写过程中可能带来一些方便， 例如请解释 的含义？ C=randn(3); w=randn(3,1); r=randn(3,1); C*cross(w,r), C*askew(w)*r, cross(C*w,r)7一、基本概念回顾 3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵 两直角坐标系之间的旋转、无压缩/拉伸变换矩阵是单位正交矩阵， 它可由以下三种基本的旋转方式组合而成。8一、基本概念回顾 3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵 9一、基本概念回顾 3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵 10一、基本概念回顾 3、直角坐标系之间的旋
3、转变换矩阵 总结基本变换矩阵 特点： 11一、基本概念回顾 3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵 （4）组合旋转空间两直角坐标系之间任何复杂的旋转关系总可以由三次有次序的 基本旋转组 合而成，该三次转角称为欧拉角，假设空间同一物理向量 在四个坐标系下的坐标分别为则有若记则有 的特点是最先旋转 变换 的矩阵写最右边， 也称矩阵链 乘规则 。 12一、基本概念回顾 3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵 （4）组合旋转飞行器姿态角飞行器姿态角动画演示13一、基本概念回顾 3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵 （5）小角度旋转坐标变换矩阵与向量反对称矩阵之间的关系 计算14一、基本概念回顾 4、比力与单位质量惯性
4、力的概念 比力与单位质量惯性力分析示意图 根据牛顿运动第二定律得 移项整理得 定义 为比力（Specific Force），它表示作用在单位质量物体上的支撑力。 根据牛顿运动第三定律，得定义 为单位质量惯性力，它是重力场下质量物体抵抗支撑力的表现。 15一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念线运动角运动质量速度力动量动量定理哥氏定理惯性张量角速度力矩动量矩动量矩定理欧拉动力学 方程 16一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念 （1）动量矩与惯性张量质点/刚体的动量矩 质量微元 的动量 对点 的动量矩为 定点转动刚体 动量矩 定义 为刚 体对点 的惯性张量 17一、基
5、本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念 （1）动量矩与惯性张量转动惯量 惯性积 设各矢量在g坐标系下投影分量 定义刚体V在g坐标系下的惯性张量展开 得 18一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念 （1）动量矩与惯性张量陀螺转子转动惯量举例 假设： 转子半径 =1cm， 质量 =100g（克）， 转动角速率 =600r/s， 不妨假设质量集中在转子边缘上，则转动 惯量：动量矩19一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念（2）关于动量矩定理的理解 1）刚体定轴转动，外力矩与角动量同轴时 20一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念（2）关于动量矩定理的
6、理解 2）刚体定轴转动，外力矩与角动量垂直时 匀速圆周运动向心加速度（标量）向心力（标量）向心力的矢量陀螺进动干扰力矩 与进动 角速度 关系21一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念 （3）陀螺仪进动演示 22一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念 （3）陀螺仪进动演示23一、基本概念回顾6、弹性变形与弹性变形张量 （1）弹簧胡克定律 刚性系数 柔性系数 24一、基本概念回顾6、弹性变形与弹性变形张量 （2）三维物体弹性变形定律 物体弹性变形 受x轴方向作用力受力点位移 将比例关系记为弹性变形系数 （或称柔性系数） 弹性变形系数 代表沿 方向比力 引起的质量块沿 方
7、向的变形位移25一、基本概念回顾6、弹性变形与弹性变形张量 （2）三维物体弹性变形定律 弹性变形张量 代表沿 方向比力引起的质量块沿 方向的变形位移26二、单自由度陀螺仪静态误差模型 1、单自由度陀螺仪模型 （1）基本组成： 基座、框架、转子； 再平衡回路信号器、放大器、电 流表、力矩器； 陀螺电机（导线）、阻尼器；27二、单自由度陀螺仪静态误差模型 1、单自由度陀螺仪模型 （2）坐标系定义： 测量坐标系（基座坐标系），简记B： 陀螺组件坐标系，简记G： 两坐标系之间关系：仅绕oy轴差 角（3）运动参数假设： 转子相对于框架角速率 ，角动量 陀螺组件（框架加转子）绕输出轴转动惯量 基座输入轴o
8、I 角速率 （4）沿输出轴oy的动力学方程： 惯性力矩 陀螺力矩 阻尼力矩 反馈控制力矩 干扰力矩 28二、单自由度陀螺仪静态误差模型 2、单自由度陀螺仪静态漂移物理模型 （1）陀螺仪理想无干扰力矩稳态方程：（2）陀螺仪干扰力矩引起漂移定义：（3）干扰力矩组成：与比力无关的干扰力矩 对比力二次方敏感的干扰力矩 对比力一次方敏感的干扰力矩 29二、单自由度陀螺仪静态误差模型 2、单自由度陀螺仪静态漂移物理模型（4）与比力无关的干扰力矩 ：（5）与比力有关的干扰力矩 ：基座与转子电机之间连接的供电软导线弹性约束、电磁干扰等因素陀螺组件质心偏心示意图 工艺误差偏心 比力 引起弹性变形附 加质量偏心3
9、0二、单自由度陀螺仪静态误差模型 2、单自由度陀螺仪静态漂移物理模型（5）与比力有关的干扰力矩 ：质量总偏心引起绕点 的干扰力矩为展开，取第二分量（即输出轴oy分量），分离出 和 ，得总漂 移误差公式如下：（6）单自由度陀螺仪静态漂移误差物理模型 31二、单自由度陀螺仪静态误差模型 2、单自由度陀螺仪静态漂移物理模型（7）干扰力矩影响举例：1）常值干扰力矩影响 假设头发丝1cm长，抗弯曲力10mg9.8N/kg，则距转子1cm处产生力矩 Md0=1cm10mg9.8N/kg10e-6 Nm，引起陀螺漂移2）质量偏心影响 假设 0.1/h， = 9.8m/s2，则反算质量偏心32二、单自由度陀螺
10、仪静态误差模型 3、单自由度陀螺仪静态漂移数学模型 作以下简写记号：根据物理机理分析获得的数学模型：33二、单自由度陀螺仪静态误差模型 3、单自由度陀螺仪静态漂移数学模型 根据物理机理分析结合试验经验总结的完整数学模型：和 产生机理尚不明确。34二、单自由度陀螺仪静态误差模型 3、单自由度陀螺仪静态漂移数学模型 某型号单自由度液浮陀螺仪 的主要性能指标参数名称单 位指 标与g无关漂移()/h3与g有关漂移()/h)/g6随机漂移()/h0.01测量范围/s15标度因数()/h)/mA510线性度-10-3质量g450外形尺寸mm53.581工作温度-355寿命h1500电机电源20V，250H
11、z，三相，方波35三、单自由度陀螺仪动态误差模型 1、单自由度陀螺仪模型 基座B系相对惯性空间i系转动角速度 B系绕输出轴转动角即可得G系，即陀螺组件坐标系G系的角速度B系与G系之间的变换矩阵：（1）基本运动参数：36三、单自由度陀螺仪动态误差模型 1、单自由度陀螺仪模型 （2）角动量计算：其中，陀螺组件惯性张量 陀螺转子相对于框架的角动量 （3）欧拉动力学方程 37三、单自由度陀螺仪动态误差模型 2、单自由度陀螺仪动态漂移物理模型 展开欧拉动力学方程 ，仅取输出轴oy分量得其中动态干扰力矩 38三、单自由度陀螺仪动态误差模型 2、单自由度陀螺仪动态漂移物理模型 动态干扰力矩引起的陀螺仪动态漂
12、移误差定义 ： 定义再平衡回路增益增益越大，则在相同角速度输入条件下陀螺绕输出轴转角越小。39三、单自由度陀螺仪动态误差模型 2、单自由度陀螺仪动态漂移物理模型 陀螺仪动态漂移整理： 40三、单自由度陀螺仪动态误差模型 3、单自由度陀螺仪动态漂移数学模型 陀螺动态漂移数学模型 ： 数学模型简化： 41三、单自由度陀螺仪动态误差模型 陀螺仪测量模型（暂不考虑随机误差）： （1）实际工程应用方法： （2）惯性测试的目的： 4、陀螺仪误差模型的用处 即：测量值 = 真实值 + 静态误差 + 动态误差须配合其 它陀螺和 加速度计 使用平台式INS侧重 于静态误差补 偿；捷联式INS 两者都重要42四、
13、加速度计输入输出模型 1、挠性摆式加速度计模型 摘自“石英挠性加速度计关键技术研究（李安）”43四、加速度计输入输出模型 1、挠性摆式加速度计模型 基座坐标系（测量坐标系），B系： 摆组 件坐标系，A系：（2）坐标系定义 （1）基本组成部分 基座、挠性接头、摆组件； 再平衡回路信号器、放大器、电流表、力矩器； 阻尼器等44四、加速度计输入输出模型 1、挠性摆式加速度计模型 （3）运动分析 设基座相对惯性空间角速度 则摆组件A系的角速度 摆组件的惯性张量为 则动量矩为 假设基准点 处所受比力假设摆组件质量m偏心坐标 因此m点处比力为 考虑弹性变形摆组件质量m总偏心摆组件绕点 的摆力矩 45四、加
14、速度计输入输出模型 1、挠性摆式加速度计模型 （4）欧拉动力学方程 展开取第二分量，考虑到经仔细整理，得 控制力矩 再平衡回路采样电流 整理得：第一项为期望的比力输入； 第二项为常值干扰项； 第三项为与比力有关的干扰项； 第四项为与角速度有关的动态干 扰项和暂态过程 46四、加速度计输入输出模型 2、挠性摆式加速度计输入输出模型 （1）静态输入输出模型 其中 为加速度计电流比例因子（2）加速度计动态误差数学模型 47四、加速度计输入输出模型 3、国军标中加速度计静态模型方程 在国军标GJB 2504-95 石英挠性加速度计通用规范中，给出加速度 计静态模型方程的一般形式为 式中：加速度计输出所
15、指示加速度，用重力加速度g为单位表示；加速度计输出，输出单位V、mA、脉冲数/s等；分别为沿输入基准轴、摆基准轴和输出基准轴方向的加速度分量，g；偏值，g；标度因素，V/g、mA/g、脉冲数/（s*g）；二阶非线性系数，g/g2；三阶非线性系数，g/g3；分别为输入基准轴与摆基准轴、输入基准轴与输出基准轴之间的交叉耦合 系数g/g2；分别为输入轴相对于输入基准轴绕摆轴和输出轴的失准角，rad。48四、加速度计输入输出模型 3、国军标中加速度计静态模型方程 加速度计静态模型方程简化模型1 加速度计静态模型方程简化模型2 参数名称单 位指 标偏值（可补偿）mg4偏值温度系数g/50偏值月稳定性g60标度因数mA/g1.250.15标度因数温度系数10-6
