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1、第! !卷第“期物理学进展# $ % 6 G 5 E发表了控制混沌的第一篇文章)。) : : (年，, H H，- E 5 D $ I 和2 $ E J 5基于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中这一事实， 通过对系统参数作小扰动并反馈给系统， 实现了把系统的轨道稳定在无穷多不稳定周期轨道的一条特定轨道上。这就是著名的, - 2混沌控制方法 （或称参数微扰法）!。之后， 混沌控制的理论与应用研究蓬勃发展， 人们提出了一系列控制混沌的方法8 “ 8 ）其中 9 * 9 %。一般来说， 该映象表现出三种类型的运动轨道： 周期轨道、 准周期轨道、 混沌轨道。当$7 %时， 该映象是可积的， 所
2、有运动轨道都被限制在“7常数上， 具有绕数把这类哈密顿系统的混沌运动称作硬混沌 （4 2 ) 4 A $） 。对于哈密顿系统-（.，/）“$0*“ !.%* %） （,）初始条件为 （0:，:） ? 6 # # $ ? %） 曲率， 来达到控制混沌的目的- 。这里分两种情形：（!）忽略 ? 7 $ 4 A 5 %函数中导致势能高斯曲率为负的项；（“）改变周期 ? 7 $ 4 A 5 %函数的周期， 使势能高斯曲率为正。其总能量只发生很小的变化。以 9 % 5 % B 9 $ 4 9 #模型为例阐述方法 （!） 的机理，-$（*!，*“）#.（+!，+“）$! “（*“!#*“）#! “（+“!
3、#+“）#+“!+“(!/ 指数!*（!(，)） 为!*（!(，)）“ )+ “*（!(，)）（*“，!，$）（8 ?）其中“*（!(，)） 为7 / . ( 3 * / 矩阵的本征值。在哈密顿系统中， 轨道的某些点上会出现复共 轭本征值，“*（!(，)）通常等于“。!*（!(，)） 反映了在!(点邻域内)次迭代的混沌轨道片段的稳定性质。如果!*（!(，)）$4（*“，!， ，$）（$ 4）$?8物理学进展! !卷则轨道是稳定的。出于控制混沌的目的， 人们主要关心!（!“，#）! !的区域， 即对给定 #， 使所有!（!“，#）! !的初值!“的集合。一般来说， 这样的!“构成相空间上测度不为
4、 零的、 互不连通的多片区域， 称为有限时间收敛区。这些区域中从不同初值出发的系统迭代轨道是不同的， 从中选出一段#“#个点 （!“，!“ #， ，!“#） 的轨道。要求其前#个 点满足期望的动力学行为。由于!“!“#， 因而它不是周期轨道， 而只是一个稳定的轨 道片段。控制方法的基本思想， 就是对这样的具有期望动力学特征的收敛片段引入一个常数扰动， 使其构成闭合轨道， 同时不影响其收敛性。为此， 在系统处于!“#的邻域内 时， 给系统变量加上一个扰动“!#!“$!“%#（$ #）这样由!“出发的轨道#次迭代后受扰动而成为!#“%#）这里，#和%是控制参量，$（!%） 的函数形式为$（!%）$
5、，!%!%，!%“$)%，%!%!$)#$%（5 )）方程 （5 +） 或 （5 ;） 可认为是两个子系统： $，! 和+，* 耦合的总系统。显然， 子系统+，* 通过线性耦合：#（*%） 的物理学进展* *卷图!系统 （“ !） 在相同的初始条件和不同的!下，!和“随迭 代次数“的变化规律 （#$ $ %，# ， ，“ %? $ .，. %，$ .， %，“ % $ .，% ，. ，$ $。在“次迭代时， 计算!?!“的最小值， 并将这一!值代入!“方程中， 将这一过程进行下去， 直到最终得到稳定轨道。图3给出了控制结果。这种钉扎法应用简便， 唯一的控制参量就是可积模式的个数。在具体系统中，
6、!个 （不包含对称引入的） 即可达到控制整体混沌的目的。钉扎控制法可以将系统的整体混沌控制在周期轨道上， 但是改变了原来的系统， 实际上增加了一项负反馈项 （!“?!“） ， 将保 守系统变为耗散系统。控制机制为： 负反馈尽量使轨道靠距离它最近的具有有理转数的3=“期许海波等： 保守系统的混沌控制图!标准映象的!和!随迭代次数“的 变化规律 （#“# $ $） ， 其中从“% 物理学进展- -卷图!初始条件相同时， 系统变量!随迭代次数“的变 化规律 （#“ # $） 。其中控制信号从“ % 0等提出的， 称为直线控制法 9。考虑离散动力系统!“扩散等理论结果， 但其理论结果与实验数据还是有相
7、当的差距， 以致于我们不得不借助于数值模拟来寻求系统的相关信息。而与保守系统相对应的耗散系统中混沌运动的研究却有着突飞猛进的发展。一方面来自于实验的支持， 另一方面来自于耗散系统中丰富的空间动力学行为。混沌控制的目的是消除混沌， 把系统的混沌运动控制到周期或准周期轨道上。但是，在实际生活中有时混沌却是必须的， 如在研究心脏的振动规律时人们发现， 混沌的信号正是健康的标志。既然混沌对人类也有着正面的作用， 研究如何在保持系统混沌特征的同时又能控制其轨道行为就成为一个有用的课题， 这就是混沌同步。混沌同步也意味着对混沌的控制， 只不过控制的目标态仍然是混沌态。其实， 在混沌控制提出的同时，/ .
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9、J , 5 6 K , 6，! “ “ !， ! 6! “Z 1+K，# 1B，G $ ) CBI，, $ 3 6 7 8 9 : 6 J , 5 6 K , 6，! “ “ ?，. ?（! 0） ：! . “ 6= 0I $ ; H : ( )A*6 7 8 9 : 6 K , 6 *，! “ “ 0，! L !（“） ：? . / ! ? / ?；7 8 9 : D ; $-，! “ “ !，L 0： ? ! ! ） ：= K D 1+#$ ) FE 8 , )SB6 7 8 9 : 6 J , 5 6 A，! “ “ .，L ， L ! . 6 = /Q ( 3 AN$ ) FN , D
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11、? 60?期许海波等： 保守系统的混沌控制! !“ # $ % ，$ 7 ?“ # , 7+( # ) * ( + , - ( .，/ 0 0 0，2 0（!） ：+ 2 ! ! 2 A (! 2. * B $ C $ 7 ?; ,N6 ( # ) * ( + , - ( K , M M (，/ 0 0 !，3 /（ !） ：! 3 0 5 ! ! 3 0 3 (! 0H % , D O $ B #J( # ) * ( + , - ( K , M M (，/ 0 0 5，3 （1） ：/ / 1 5 ! / / 1 3 (5 4= $ 7 8 9L，; %，$ 7 ?P G $ ，P G $
12、$ D , O D , , 7 , 9I，$ 7 ?I % M Z V G C C , DI“ ( “ # $ D , O D , O D , O D , O $ 7 ? M M. ( “ # $ ，$ 7 ?X $ 7 8+( # ) * ( K , M M ( H， 4 4 /， 5 3： ! A ! 5 ! (A 5 C ，$ 7 ?= $ +，$ 7 ?“ # , 7R( “ # G 7 ( # ) * ( K , M M (， 4 4 /，/ 1（3） ：1 3 1 ! 1 1 / (A 3L # $ 7 8=$ 7 ?= $ +，$ 7 ?“ # , 7R( “ +，$ 7 ?“
13、# , 7R( . % D ( # ) * ( 9 ( Q， 4 4 /， ：A 2 ! A 0 (3 4王光瑞， 于熙龄， 陈式刚编箸(混沌的控制、 同步与利用， 北京： 国防工业出版社， 4 4 /，2 1 5 ! A ! 4 ( 3 /K %LI，U $ C C G , D , *I，$ 7 ?= % $ 79I( # ) * ( + , - ( H，/ 0 0 ，5 2（1） ：2 2 / ! 2 2 ! (3 F D G $ 7 ? $ Y $ 7 ?R B # V $ D M Z Q ( # ) * ( + , - ( .， 4 4 4，A /（5） ：! A 4 / ! ! A
14、4 0 (545物理学进展 卷! “# $ % % 9 ) - . I + % A . / , ) - . K $ = = $ %*, ) - . S = = E 7N) - . % 5 ( # % ) */ 0 1 $ 4 ) - - ( 9 (，4 3 0 4 4 2，4 0 F $ / 8 % $ / + E E 8 % F $ ;，8 : ; A . $ 8 L L = F 6 8 A F 7 : / 8 : ; $ $ = 7 L E $ : A A % $ : ; / 8 % $; F / 6 + / / $ ; )6 7 89 : 3 ; 1：6 7 : A % 7 = = F : R6 . 8 7 /；6 7 : / $ % 8 A F $ / 8 % ;E 8 L；I HA 7 % + /C455期许海波等： 保守系统的混沌控制
