《2011年考研数学考前必备重点题型级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年考研数学考前必备重点题型级数（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2.9 气体分子的平均自由程第第 2 2 章章 气体动理论气体动理论(Kinetic theory of gases)2.1 理想气体的压强2.2 温度的微观意义 2.3 能量均分定理 理想气体的内能 2.4 麦克斯韦分子速率分布定律* 2.6 玻尔兹曼分布律 重力场中粒子按高度的分布2.5 麦克斯韦速率分布律的实验验证2.7 实际气体等温线* 2.8 范德瓦尔斯方程12.1 理想气体的压强Pressure of ideal gas一、状态参量(quantity of state)在一定条件下，当物体的状态保持不变，为描述物体的特 性而采用的物理量。如体积、温度、压强、浓度等 。对于一定 质
2、量的气体，除它的质量M和摩尔质量Mmol，它的状态一般可 用下列三参量来表示：1. 气体所占的体积V：气体分子活动所能达到的空间范围。气体动理论是在物质结构的分子学说的基础上,为说明人们 所熟知的气体物理性质和气态现象而发展起来的。第第 2 2 章章 气体动理论气体动理论(Kinetic theory of gases)22. 气体的压强P：压强是气体作用在容器壁单位面积上的指向器壁的平均正 压力，是气体分子对器壁碰撞的宏观表现。3. 气体的温度T：从宏观上来讲，温度表示物体的冷热程度；从微观上讲， 温度反映物质内部分子运动的剧烈程度。3由实验可知， 热现象是物质中大 量分子无规则运动 的集体
3、表现，人们 把大量分子的无规 则运动叫做分子热 运动，即所谓的布 朗运动。分子热运动的基本特征分子热运动的基本特征是分子的永恒运动和频繁相互碰撞。二*、分子布朗运动4三、关于每个分子的力学性质的假设理想气体的微观模型(1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计。(4)气体分子的运动服从经典力学规律。(2)因为气体分子间的平均距离相当大,所以除碰撞的瞬间外,分 子间相互作用力可以忽略不计。总之,气体被看作是自由地 无规则运动着的弹性球分子的集合。 (3)分子之间的碰撞以及分子与器壁的碰撞都是弹性的，即在碰 撞前后气体分子的动量守恒,动能守恒。5四、关于分子集体的统计性假设统计规律S
4、tatistical law尽管个别分子的运动是杂乱无章的，但就大量分子的集体 来看，却又存在着一定的统计规律。(2) 分子沿各个方向运动的机会是均等的，没有任何一个方向上气 体分子的运动比其它方向更占优势。即沿着各个方向运动的平均 分子数应该相等。(3) 分子速度在各个方向的分量的各种平均值相等。(1) 在热力学平衡状态下，气体分子的空间密度是均匀的。6五、气体动理论的统计方法(statistical metheds)用对大量分子的平均性质的了解代替个别分子的真实性质 。对个别分子（或原子）运用牛顿定律求出其微观量，如质量 、速度、能量等，再用统计的方法，求出大量分子关于微观量 的统计平均值
5、，并用来解释在实验中直接观测到的物体的宏观 性质，如温度、压强、热容等。六、理想气体的压强公式的推导（方法1：容器是长方体形） （3） 应用统计假设,求器壁所受的平均正压力。压强公式推导步骤如下：思路：（1）用牛顿定律先求一个分子对器壁的压力;（2）全体分子作用于器壁的压力;设一定量气体总分子数为N，每个分子质量为m。7（1）设边长分别为l1、l2、l3 的长方 形容器中，有N个同类气体分子，每 个分子的质量均为m。以容器的某一 顶点为原点，沿容器边长为方向建 立直角坐标系。（2）选任意一个分子a作为研 究对象，求其对A1面的压力分子“a” 的速度：分子“ a”碰撞器壁A1面一次所受的冲量：由
6、牛顿第三定律可知，器壁A1面受分子碰撞一次所受的冲量：amvx-mvxl2l1l3A1XYZO8分子“ a”相继碰撞器壁A1面两次所用的时间为：单位时间内，分子“ a”与器壁A1面碰撞的次数为：单位时间内，分子“ a”对器壁A1面的冲量即冲力为：任意分子对器壁A1面的冲力为：（3）器壁A1面受N个分子的冲力9器壁A1面单位面积受N个分子的冲力：n是单位体积内的分子数或称分子数密度由分子统计假设：分子平均平动动能：理想气体的压强公式：10六*、理想气体的压强公式的推导（方法2：容器是任意形状） 把所有分子按速度区间分为若干组，在每一组内的分子速度 大小方向都差不多相同。设第 i组分子的速度区间为
7、：以 ni 表示第 i 组分子的分子数密度总的分子数密度为：设器壁上面积元dA 法向为 x 轴dAxvi dtvix dt一定质量的处于平衡态的某种理想气体，被封闭在体积为 V的任意形状的容器中。任意一 个分子速度：11该分子碰撞器壁一次所受的冲量：在 dt 时间内与dA碰撞的分子数ni vix dt dA总冲量为：所有分子在 dt 时间内对 dA 的总冲量为：气体对器壁的宏观压强为：dAxvi dtvix dt12由分子统计假设分子平均平动动能：理想气体的压强公式：132.2温度的微观意义 Temperature equation of ideal gas 根据理想气体的压强公式和状态方程，
8、可以导出气体的 温度与分子的平均平动动能之间的关系，从而揭示宏观量温 度的微观本质。1.温度的本质和统计意义:14（2）当两种气体有相同的温度时，意味着两种气体分子的平 均平动动能相等。 气体的温度是气体分子平均平动动能的量度；kRNA1.3810-23 J/K 称玻耳兹曼常量温度的意义：注意： （1）温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计的意 义，对于个别分子并无意义。152.气体分子的方均根速率:(root-mean-square speed)由上式可见,在相同温度时,虽然各种分子的平均平动动能 相等,但它们的方均根速率并不相等。 注意:161.一定质量的气体,当温度不变时,压强随体
9、积减小而增大;当体 积不变时, 压强随 温度升高而增大，从宏观上说,这两种变化都 使压强增大;从微观上说,它们是否有区别?2.两种不同种类的理想气体,压强相同,温度相同,体积不同, 试 问单位体积内的分子数是否相同?3.两瓶不同种类的气体,分子平均平动动能相同,但气体的分 子数密度不同,试问他们的压强是否相同?4.两瓶不同种类的气体,体积不同,但温度和压强相同,问气体 分子的平均平动动能是否相同?单位体积中的分子的总平动 动能是否相同?问题：（答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致,后者是由于运动加剧导 致）（答案:相同）（答案:不同） （答案:相同,相同）172.3 能量均分定理 理想气体的内
10、能 Equipartition theorem of energyInternal energy of ideal gas一、分子的自由度 i :1.自由度定义degree of freedom确定一个物体位置所需要的独立坐标个数称该物体的自由度。在空间自由运动的质点,它的位置用三个独立坐标(x,y,z)确定。(1)质点的自由度如火车运动（一维),自由度为一个；18oYXZP（x,y,z)(2)刚体的自由度:刚体位置的确定共需要六个自由度。确定刚体上某一点位置:确定刚体转轴的方位:确定刚体绕转轴转过的角度, 需要一个自由度();需要二个自由度(,);需要三个自由度(x,y,z);飞机运动(三维
11、),自由度为三个;轮船运动(二维),自由度为二个;19(3)气体分子模型自由度单原子分子模型:质心需要三个平动自由度;两原子连线方位需要二个转 动自由度,一共五个自由度;刚性双原子分子模型:如氦原子 如氧气分子i=t+r=3+2=5需要三个平动自由度 i=t=3;刚性三原子以上分子模型:i=t+r=3+3=6小结：n个原子组成的分子最多是3n 个自由度。常温下振动自 由度可以不考虑。OHHH2OHeO220上式表明,气体分子沿x、y、z三个方向运动的平均平动动能完全相等；即可以认为，分子的平均平动能 是平均地分配在每一个平动自由度上的。因为分子 平动有3个自由度，所以相应于每一个平动自由度的能
12、量是二、能量均分定理Equipartition theorem of energy 1. 理想气体分子的平均平动动能：按理想气体的统计假设：2. 意义213. 推广：在平衡态下，气体分子的每一个自由度都 具有相同的平均动能 。如果气体分子有i 个自由度，则每个分子的总平均动能就是 问题：单原子分子，刚性双原子分子，刚性三原子以上分子的 平均动能各是多少？注意：能量均分原理是个统计规律，仅对大量分子平均而言，对个别 分子并不适用。22三、理想气体的内能1. 气体的内能包括哪些？ 气体的内能=气体分子的总能量 + 分子间相互作用势能2. 理想气体的内能包括哪些？ 理想气体的内能=所有气体分子各种运
13、动能量的总和问题：3. 内能与机械能有什么区别？ 机械能可以为零，而内能永不为零。一摩尔理想气体的内能M千克理想气体的内能231.三个容器内分别储有1mol氦气(He),1mol氢气(H2),1mol氨 气(NH3)( 三种气体均 视为刚性分子的理想气体),若它们的 温度都升高 1K , 则三种气体内能的增加分别是多少？问题：1摩尔气体的内能( )。分子的平均平动动能( );分子的平均总动能( );分子的平均总能量( );1摩尔气体分子的总转动动能( );2.写出下列各量的表达式：某种刚性双原子分子的理想气体处于温度为T的平衡态下:(答案:12.5J,20.8J,24.9J)24(答案: 1:
14、8; 1:1; 5:24)3.有一个处于恒温条件下的容器,其内贮有1mol某种理想气体, 若容器发生缓慢漏气,试问容器内气体分子的平均平动动能是否 改变?气体的内能是否改变?（答案: 不变,变)4.两个容器中分别贮有理想气体氦和氧，已知氦气的压强是氧 气的1/2,氦气的容积是氧气的2倍。试问氦气的内能是氧气内能 的多少倍?（答案:3 /5倍)5.质量相等的的理想气体氧和氦,分别装 在两个容积相等的容 器内,在温度相同的情况下,氧和氦的压强之比为 ;氧 分子和氦分子的平均平动动能之比为 ;氧和氦内能之 比为_.252.4 麦克斯韦分子速率分布定律 The Maxwell distribution
15、 law of speed一、 统计规律：二、 速率分布函数 f(v) 的物理意义将速率分成若干相等的区间,如伽尔顿板26设任一速率区间为:设总的气体分子数为N,在该区间内的分子数为N分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数占总分子 数的比率。 当1. 速率分布函数 f(v) 的定义：在平衡态下，f（v）仅是v 的函数。注意：vf（v）Ovv+v 272. 速率分布函数 f(v) 的意义：分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比；当速率分布函数已知,求速率区间v1，v2内的总分子数为多少？3. 麦克斯韦分子速率分布律 早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理导出在平衡态 下气体分子速率分布函数的具体形式对单个分子来说，它表示分子具有速率在该单位速率间隔内的概 率 。问题：28问题：(3)如图(a)曲线下的阴影面积的物理意义是什么？(4)如图(a)曲线下的总面积的物理意义是什么？根据答：f（0）=0。答：f（）=0即速率区间vv+v内的分子数占总分子数的 比值。 归一化条件f（v）vov v+v图(a)某一温度下速率分布函数曲线29三、 分子三种特殊速率的统计平均值(1)算术平均速率average speed (2)方均根速率 root-mean-squa
