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1、实数系基本定理的等价性证明摘 要说明了确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理这六个定理是等价的. 也就是说，以这六个定理中的任意一个作为公理都可以推出另外五个 . 本文把闭区间套定理作为公理，证明了这六个定理之间是相互等价的. 关键词上、下确界、闭区间套、有限覆盖、收敛、等价性在数学分析课程中我们学习了实数系的六个基本定理，即确界原理、 单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理和有限覆盖定理. 实数系这六个基本定理是相互等价的， 即以其中任何一个定理作为公理都可推出另外五个定理. 在数学分析教材中，一般都是以确界原理作为公理，然后去证明其余的五
2、个定理 . 我们现以“闭区间套定理” 作为公理， 然后去推证其余的五个定理，并证明这六个定理是等价的. 六个定理的顺序： 确界原理 单调有界定理 闭区间套定理 致密性定理 柯西收敛原理 有限覆盖定理按以下顺序给予证明：1闭区间套定理有限覆盖定理1闭区间套定理若闭区间列nnba ,满足：nnba ,11,nnba， n=1,2,3, , ； nlimnnab=0 ；则存在唯一，使得 nlimna = nlimnb =，是所有区间的唯一公共点 . 有限覆盖定理若开区间所成的区间集E覆盖一个闭区间ba,，则总可从E中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖ba,. 证明用反证法设ba,不能被E中有限个区间
3、所覆盖. 等分区间ba,为两个区间，则至少有一个部分区间不能被E中有限个区间所覆盖，把这一区间记为11,ba. 再等分11,ba，记不能被E中有限个区间所覆盖的那个部分区间为22,ba. 照这样分割下去，得到一个区间列nnba ,，这区间列显然适合下面两个条件：（i ） 每一nnba ,皆不能被E中有限个区间所覆盖；（ii ）ba,11,ba22,ba, ；（iii）nb -na =nab20；有条件（ ii ）及（ iii） ，于是由闭区间套定理，必有唯一点ba,使na ，nb . 按覆盖概念及定理所设条件，在E中至少存在一个开区间，设为,，使,即有数列极限的性质知道，正整数N，当 nN时，
4、有na nb 即当 nN时，有nnba ,也就是用E中一个区间,就可覆盖所有形如nnba , n N的区间，与（i ）矛盾 . 定理证毕2有限覆盖定理致密性定理2致密性定理有界数列必有收敛的子列. 证明设nx为有界数列， a是它的一个下界，b是它的一个上界，于是下列两种情形之一成立：（i ）ba,，使在的任何邻域中都有nx的无穷多项；（ii ） 对任何 xba,， 都存在 x 的一个邻域xxxx,， 使其中只含nx的有限多项 . 如果（ii ）成立，则开区间族baxxxxx,构成ba,的一个开覆盖. 于是由有限覆盖定理知， 其中必有有限子覆盖 . 由于每个区间中都只含nx的有限多项，故有限个开
5、区间之并也只含nx的有限多项 . 但另一方面又应该包含nx的所有项，矛盾 . 这表明（ ii ）不能成立，即必是（ i ）成立 . 考察的邻域序列nn1,1. 由（i ）知，每个邻域中都含有nx的无穷多项 . 首先在区间1, 1中取一项，记为1nx ，然后因21,21中含nx的无穷多项，故可在其中取得下标大于1n 的一项记为2nx，一般地，当knxkk1,1取定之后，由于11,11kk中含有nx的无穷多项，故又可在其中取得下标大于kn 的一项记为1knx。这样就可以得到子列knx，满足条件knxak1，k=1,2,3, ,当然有 nlim knx =，即knx是收敛的子数列 . 定理证毕3致密
6、性定理柯西收敛原理柯西收敛原理数列nx有极限的必要与充分条件是：0，正整数N, 当nm,N时，有mnxx证明首先证明条件的必要性：设nx a，则0，正整数N，当kN时，有axk 2从而当nm,N时，有mnxxaxn+mxa2+ 2=其次，证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界，从所设条件，取=1 必正整数0N ，当nm,0N 时，有mnxx1 特别的，当 n0N 且 m=0N +1 时，有10Nnxx1 从而当 n0N 时，有nx 10Nnxx+10Nx1+10Nx这就证明了nx的有界性，由致密性定理知，必有收敛的子列knx， 设nl i m knx =a，根据子列收敛定义，0，
7、正整数K，当kK时, 有ax kn取一正整数0k =1, 1maxNK, 于是0k K且0kn 1NnN+1N， 因此当 nN时，有已知条件有 0knnxx，所以axn 0knnxx+axkn0+=2即 nlimnx = a定理证毕4柯西收敛原理确界原理确界原理有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 单调有界定理单调数列有极限 . 证明设S是有上界的集合，取实数1b ，使对所有 xS，都有 x1b . 取1aS并考察区间11,ba的中点211ba. 若211ba是S的上界，则令2a =1a ，2b =211ba；若 211ba不是S的上界，则令2a =211ba，2b =1b
8、 . 于是总可得到区间22,ba，使得2b 是S的上界 .22,ba中有S的点且2b -2a =211ab. 再对闭区间22,ba进行同样的处理，又可得到闭区间33,ba22,ba，使得3b 是S的上界，33,ba中有S的点且3b -3a =222ab=2112ab. 继续这个过程，可以得到一个闭区间的序列nnba ,，满足下列条件：（i ）nnba ,11,nnba， n=1,2,3, , ；（ii ）nb -na =111 2nab， n=1,2,3, , ；（iii） 对每个 nN, nb 是S的上界且nnba ,S?；由（i ）和（ ii ）知，当 m n时，有nmbb=nb -mb
9、nb -na =111 2nab. 可见，数列nb为柯西列 . 由柯西收敛原理知nb收敛. 设 nlimnb =M. 对任何 xS和任何 nN，均有 xnb , 所以有 xM，即M是S的上界 . 另一方面，0， 由于 nlimnnab=0，故有0n ， 使得0nb -0na . 又因0nbM，故有0na0nb -M-. 由（iii）知00,nnba中有S的点，这表明M-不是S的上界，所以M是S的上确界. 定理证毕5确界原理单调有界定理单调有界定理单调数列有极限 . 证明设ny是单调增加的有界数列， 则必有上确界supny. 由上确界的定义有： （i ）ny n =1,2,3, , . （ii
10、）0, 在ny中至少有一数Ny，有Ny-，但由于ny是单调增加数列，因此当nN时，有ny Ny，从而ny -，也就是说，当 nN时，有0-ny 所以ny 同理 单调减少有界数列的极限就是它的下确界. 定理证毕6单调有界定理闭区间套定理证明由条件可得1a , 1nana nb 1nb, 1b显然na单调增加有上界1b ，nb单调减少有下界1a ，由单调有界定理知na与nb都收敛. 设 nlimna =则nlimnb =nlimnnnaab= nlimnnab+nlimna =由于是na所构成数集的上确界，也是nb所构成数集的下确界 . 于是有na nb ， n=1,2,3, ,即属于所有闭区间nnba ,. 若另有实数所有闭区间nnba ,，则也有na nb ， n=1,2,3, ,令 n, 由极限的夹逼性得到= nlimna = nlimnb =此及说明满足定理结论的实数是唯一的 . 定理证毕通过以上的证明，说明了上述六个定理是等价的，即从其中任何一个定理出发都可以推断出其他的定理.所以，这六个定理中的每一个都可以称为实数系的基本定理 . 参考文献1 陈传璋 .金福临 .朱学炎 .数学分析 .上册 .第二版 .高等教育出版社，1983.7. 2 李成章 .黄玉民 .数学分析 .上册 .第二版 .科学出版社，2007.
