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1、数理统计数理推断问题数理推断问题参数估计假设检验点估计区间估计7 参数的假设检验一、假设检验的基本概念与方法1统计假设:对未知或不完全知道的总体作出 一些假设.2假设检验:针对一个统计假设,利用一个样本 观测值,通过一定的程序检验这个假设是否合理,从 而决定接受或拒绝假设.3假设检验的两种情况:参数假设检验:总体分布类型已知但有一个或几个参数未知非参数假设检验:总体分布类型未知（总体分布假设检验）例1 某车间用一台包装机包装糖果.包得的袋装 糖果的重量是一个随机变量,它服从正态分布.当机器正常时,其均值为 . 某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取 它包装的糖果9袋,称得净重为(kg):0
2、.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512问机器是否正常?1.假设检测问题以 表示这一天袋装糖果的重量,则 问题是根据样本值来判断 (正常)还是(不正常) 为此我们提出假设 称为原假设或零假设.与这个假设相对立的假设称为备择假设或对立假设. 于是问题转化为检验假设 是否为真(成立). 当 为真,则认为机器正常;否则认为机器不正常. 2.假设检验的思想方法u 假设检验的基本原理:小概率原理,即概率很小的事 件在一次试验中几乎不可能发生.在假设检验中,我们称这个小概率为显著性水 平,用 表示,通常取为0.01,0.05或0.1.为了检验
3、一个假设 是否成立,我们先假设是成立的,如果根据这个假定,导致一个小概率事件 的发生,从而说明原来的假设 是不正确的,因此我 们拒绝假设 ,如果没有由此而导出不合理的结果, 我们则不能拒绝 即接受假设 .例1中由于样本均值 是总体均值 的无偏估 计.因此, 应该比较小,于是 也应该比 较小.如果 大于或等于某个常数时,我们就 有理由怀疑原假设 的正确性,应该拒绝 .在 成立的前提下我们可以适当选取常数 当 时就拒绝为了确定 的值,对于给定的显著性水平 ,令根据标准正态分布可得 其中 满足若统计量 的观测值满足则意味着概率为 的小概率事件发生了,根据小概 率原理,我们拒绝假设 ,接受假设 ;若则
4、接受假设 .,取 ，查标准正态分布表得 又 ,因而小概率事件居然发生了,这与小概率原理相矛盾,故拒绝 即认为该天包装机工作不正常.若取 ，查标准正态分布表得 ,则故不能拒绝 即认为该天包装机工作正常.注:1.检验结果与显著性水平有关, 不同时 结果可能就不同了; 2.接受 时并不意味着 一定对只是差异还 不够显著,不足以否定 .构造小概率事件用的统计量称为检验统计量. 若当检验统计量在某个区域取值时,拒绝原假设 ,则称该区域为拒绝域,拒绝域的边界点称为临界 点.3.两类错误u （1）第一类错误(“弃真”错误): 事实上是正确的 但被我们拒绝了. u （2）第二类错误(“取伪”错误): 事实上是
5、不正确 的但被我们接受了.犯两类错误的概率:即显著性水平,小概 率事件发生的概率注:1.在样本容量固定时,犯两类错误的概率不 可能同时减小,即一类错误的概率减小导致另一类 错误概率的增加;2.若要同时降低两类错误的概率,或要在 不 变的条件下降低 需要增加样本容量. 在给定样本容量的情况下,一般来说,我们总是 控制犯第一类错误的概率,而不考虑犯第二类错误 的概率,这样的检验称为显著性检验.4.假设检验的三种类型双边检验:左边检验:单边检验右边检验:5.假设检验的基本步骤（1）根据实际问题的要求,提出原假设 和备择 假设 ; （2）选取适当的检验统计量,并在 成立的前提 下确定统计量的分布; （
6、3）给定显著性水平 ,由检验统计量的分布表, 找出临界值,从而确定拒绝域 ； （4）根据样本值计算统计量的具体值,若统计量 的具体值落入拒绝域 时,则拒绝 ;否则接受 .二、正态总体的假设检验1.关于均值 的检验（1） 已知U检验法设 是来自总体 的 一个样本,其中 为已知, 为未知,给定显著性 水平 .利用U统计量检验其中 为已知常数称为U检验法步骤如下：（1）提出原假设（2）在 成立的条件下即 ,选用U统计量（3）确定 的拒绝域.给定显著性水平 ,令 .查正态分布表得临界值 ,使得,由此确定拒绝域为 ;（4）做判断.根据样本值计算统计量的具体值 ,并与 临界值比较;若 ,则拒绝 ,此时认为
7、 均值 与 之间有显著差异;若 ,则接受 , 认为均值 与 无显著差异.例2 某种产品质量 (单位:g),更新 设备后从新生产的产品中随机抽取100个,测得样本 均值 ,若方差没有变化,问更新设备后,产 品的质量均值与原来产品的质量均值是否有显著差 异?(取显著性水平 ) 解 这是在方差( )已知的条件下,检验假设在 成立的条件下即 ,选用U统计量由 ,查正态分布表得 , 于是拒绝域为 ;又由已知 , , , 得故拒绝 ,即认为更新设备后产品的质量均值与原来产品的质量均值有显著差异.例3 切割机在正常工作时,切割出的每段金属 棒长 服从正态分布 ,今从生产出 的一批产品中随机抽取10段进行测量
8、,测得长度(单 位:mm)如下: 53.8,55.0,55.1,54.2,52.1,54.2,55.0,55.8,55.1,55.3 若方差不变,问该切割机工作是否正常?(取显著性 水平 )解 这是在方差( )已知的条件下,检验假设在 成立的条件下,选用U统计量由 及查正态分布表得 , 于是拒绝域为 ;又由已知 , , , 得故接受 ,即认为该切割机工作正常.（2） 未知t检验法设 是来自总体 的 一个样本,其中 与 均未知,给定显著性水平.利用T统计量检验其中 为已知常数,称为t检验法步骤如下：（1）提出原假设（2）在 成立的条件下即 ,选用T统计量（3）确定 的拒绝域.给定显著性水平 ,令
9、 .查t分布表得临界值 ,由此确定拒绝域为 ;（4）做判断.根据样本值计算T统计量的具体值 ,并 与临界值比较;若 ,则拒绝 ;若 , 则接受 .例4 已知某种柴油发动机所使用的每升柴油 运转时间 ,现从中随机抽取9台,测 得每升柴油的运转时间(单位:min)如下: 28,28,27,30,31,31,29,27,30 按设计要求,平均每升柴油应运转30min,根据试验 结果,能否说明该种柴油符合设计要求?(取显著性 水平 )解 这是在方差 未知的条件下,检验假设在 成立的条件下,选用T统计量由于自由度 , 根据查t分布表得 于是拒绝域为 ;由已知求得 , ,及已知 , 得故接受 ,即认为该种
10、柴油机符合设计要求.2.关于方差 的检验 检验法设 是来自总体 的 一个样本,其中 与 均未知,给定显著性水平.利用 统计量检验其中 为已知常数,称为 检验法步骤如下：（1）提出原假设（2）在 成立的条件下即 ,选用 统计量（3）确定 的拒绝域.给定显著性水平 ,由 及 .查 分布表得 与 ,于是拒绝域为;（4）利用样本值计算 的具体值,当 的具体值落入 拒绝域中时就拒绝 ;否则就接受 .例5 某无线电厂生产的一种高频管,其中一项 指标服从正态分布 .现对生产设备进行了维 修然后从一大批这种产品中随机抽取8只管子,测得 该项指标数据如下: 68,43,70,65,55,56,60,72 问是否
11、可以认为设备维修后生产的高频管的该项指 标的方差仍为82?(取显著性水平 )解 这是在均值 未知的条件下,检验假设在 成立的条件下,选用 统计量对于给定的显著水平 , 由查 分布表得 , 于是拒绝域为 ;由已知求得 , ,及已知 得可知10.2012不在拒绝域内;因此接受 ,即可认为设备维修后生产的高频管的该项指标的方差仍为82.练习题 选择题： (1) 在假设检验问题中检验水平 的意义是_ （A）原假设成立,经检验被否定的概率 （B）原假设成立,经检验不能否定的概率 （C）原假设不成立,经检验被否定的概率 （D）原假设不成立,经检验不能否定的概率 (2) 下列说法中,不正确的是_ （A）进行假设检验时,选取的统计量一定是样本的 函数 （B）进行假设检验时,选取的统计量可以包含总体 分布中的已知参数 （C）进行假设检验时,选取的统计量不能包含总体 分布中的任何参数 （D）进行假设检验时,选取的统计量可以由给定的 样本值计算出来
