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1、第十一章概率(自我评估、考场亮剑，满怀信心步入考场的殿堂！) (时间 120 分钟，满分150 分) 一、选择题 (本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1从 1,2,3， , ， 9 这 9个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是() ABCD解析： 中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从19 中任取两数共有三个事件：“两个奇数 ”、 “一奇一偶 ” 、“两个偶数 ” ，故 “至少
2、有一个是奇数 ”与“两个偶数 ”是对立事件答案： C 2一副扑克牌除去大、小王两张扑克后还剩52 张，从中任意摸一张，摸到红心的概率为() A.1 2B.14C.1 12D.1 52解析： 所有基本事件总数为52，事件 “ 摸到一张红心 ” 包含的基本事件数为13，则摸到红心的概率为13 52. 答案： B 3如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为a 2的圆弧某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则击中阴影部分的概率是() A1 4B.4C1 8D与 a 的取值有关解析： 由题意，阴影部分的面积为a2 4
3、1 4a 2214a2，故所求概率为1 4. 答案： A 4某城市2009 年的空气质量状况如下表所示：污染指数T 3060100110130140 概率 P 1 101 61 37 302 151 30其中污染指数T50 时，空气质量为优； 50T100 时，空气质量为良； 100T 150时，空气质量为轻微污染该城市 2009 年空气质量达到良或优的概率为() A.3 5B.1 180C.1 19D.56解析： 所求概率为1 101 61 33 5. 答案： A 5(2010 佛山模拟 )已知k Z，AB(k,1)，AC(2,4)，若 |AB|4，则 ABC 是直角三角形的概率为() A.
4、1 7B.27C.3 7D.47解析： |AB|4，k2116，k215，k 3， 2， 1，0,1,2,3.又BC(2 k,3)若ABBC k22k30，则k 1，k3；若BCAC0，则k 8(舍去 )；若ABAC0，则 k 2.P3 7. 答案： C 6先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、 3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则 log2XY1 的概率为() A.1 6B.5 36C.1 12D.1 2解析： 由 log2XY1 得 Y 2X，满足条件的X、Y 有 3 对，即 (1,2)，(2,4)，(3,6)，而骰子朝上的点数X、 Y 共有 36
5、对，故所求概率为3 361 12. 答案： C 7在棱长为a 的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点 P 到点 A 的距离小于等于 a 的概率为() A.2 2B.2 2C.1 6D.6解析： P1 84 3a3a3 6. 答案： D 8随意安排甲、乙、丙3 人在 3 天的节日中值班，每人值班一天记事件A甲在乙之前值班 ，则 P(A)为() A.1 3B.16C.19D.12解析： 基本事件空间(甲，乙，丙 )，(甲，丙，乙 )，(乙，甲，丙 )，(乙，丙，甲 )，(丙，甲，乙 )，(丙，乙，甲 )， A (甲，乙，丙 )，(甲，丙，乙 )，(丙，甲，乙 )包含 3 个基本事件，
6、P(A)361 2. 答案： D 9一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8 的八个球，从中有放回地每次取一个球， 共取 2 次，则取得两个球的编号和不小于15 的概率为() A.1 32B.1 64C.3 32D.3 64解析： 从袋中有放回地取2 次，所取号码共有64 种，其中和不小于15 的有 3 种，分别是 (7,8)，(8,7)，(8,8)，故所求概率为P3 64. 答案： D 10 (2010 三亚模拟 )在长为1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于1 2的概率为() A.1 4B.12C.3 4D.78解析： 两点设为a， b，则 0 a1,0b 1，两
7、点之间的距离小于1 2，则 |ab|n 的概率是 _解析： 基本事件总数为5525 个m2 时，n1；m4 时， n1,3；m6 时，n1,3,5；m8 时， n1,3,5,7；m10 时， n 1,3,5,7,9，共 15 个故 P15 253 5. 答案：3 515假设小军、小燕和小明所在的班级共有50 名学生，并且这50 名学生早上到校先后的可能性相同， 则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为_解析： 将 3 人排序共包含6 个基本事件，由古典概型得P1 6. 答案：1 616已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD 内，如果通过大量的试验发现米粒落入BCD 内的频率稳定
8、在4 9附近，那么点 A 和点 C 到直线 BD 的距离之比约为_解析： 设 A、C 到 BD 的距离分别为h1，h2，则 SBCD1 2BD h2， SABD12BD h1， S四边形ABCD1 2BD (h1h2)，又由已知SBCD S四边形ABCD49，所以h2 h1h24 9，解得h1 h25 4. 答案：5 4三、解答题 (本大题共6 小题，共74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分12 分)(2010 辽宁模拟 )某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每
9、天每100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3 月 1 日3 月 2 日3 月 3 日3 月 4 日3 月 5 日温差 x()101113128 发芽数 y(颗 )2325302616 (1)求这 5 天的平均发芽率(2)从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选2 天，记发芽的种子数分别为m，n，用 (m， n)的形式列出所有的基本事件，并满足“25m 3025n 30”的事件A 的概率解： (1)这 5 天的平均发芽率为23 10025 10030 10026 10016 100 5100% 24%. (2)m，n 的取值情况有(23,25)， (23,30)， (23,26)，
10、(23,16)， (25,30)， (25,26)， (25,16)， (30,26)， (30,16)， (26,16) 基本事件总数为10. 设 “25 m 3025 n30”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，所以 P(A)3 10，故事件 “25m3025n 30”的概率为3 10. 18(本小题满分12 分)设不等式组0x6，0 y6表示的区域为A， 不等式组0 x6，x y0表示的区域为B. (1)在区域 A 中任取一点 (x， y)，求点 (x，y)B 的概率；(2)若 x，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x
11、，y)在区域 B 中的概率解： (1)设集合A 中的点 (x， y)B 为事件 M ，区域 A 的面积为S136，区域 B 的面积为 S218， P(M)S2 S118 3612. (2)设点 (x，y)在集合 B 中为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为36，其中在集合 B 中的点有21 个，故 P(N)21 367 12. 19 (本小题满分12 分 )甲、乙两人玩游戏，规则如流程框图所示，求甲胜的概率解： 由题意知 “甲胜 ”意味着两次取出的都是红球，因为袋里有3 红 1 白四个球，把3 个红球记为a1，a2， a3,1 个白球记为b，两次取球的不同结果有(a1，a2)，(a1，a
12、3)，(a1，b)，(a2， a1)，(a2，a3)，(a2，b)， (a3，a1)， (a3，a2)， (a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)，共 12 种情况，其中 “两次取出的都是红球”的不同结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a3，a1)，(a3，a2)，共 6 种情况，所以甲胜的概率是P6 121 2. 20 (本小题满分12 分)一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24 个，除颜色外完全相同，已知蓝色球3 个若从袋子中随机取出1 个球，取到红色球的概率是1 6. (1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将
13、1 号红色球， 1 号白色球， 2 号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙的大的概率解： (1)设红色球有x 个，依题意得x 241 6，解得 x4， 红色球有4 个(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A，所有的基本事件有(红 1，白 1)，(红 1，蓝 2)，(红 1，蓝 3)，(白 1，红 1)，(白 1，蓝2)， (白 1，蓝 3)， (蓝 2，红 1)，(蓝 2，白 1)，(蓝 2，蓝 3)， (蓝 3，红 1)，(蓝 3，白1)， (蓝 3，蓝 2)，共 12 个，事件 A 包含的基本
14、事件有(蓝 2，红 1)，(蓝 2，白 1)，(蓝 3，红 1)，(蓝 3，白 1)，(蓝3，蓝 2)，共 5 个所以 P(A)5 12. 21 (本小题满分12 分)设函数 f(x)axx x1(x1)，若 a 是从 1,2,3 三个数中任取一个数， b是从 2,3,4,5 四个数中任取一个数，求f(x)b 恒成立的概率解： x1，a0，x10，1 x10， f(x) axx 11 x1ax1 x11a(x1)1 x11a2 a1a(a 1)2， f(x)min(a1)2，于是 f(x)b 恒成立就转化为(a1)2b恒成立设事件 A：“f(x) b恒成立 ”，则基本事件总数为12 个，即 (
15、1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,2) ，(2,3)，(2,4)， (2,5)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(3,5)事件 A 包含的基本事件：(1,2)， (1,3)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5) ，共 10 个由古典概型公式得P(A)10 125 6. 22(本小题满分14 分 )某单位要在甲、乙、丙、丁4 人中安排2 人分别担任周六、周日的值班任务 (每人被安排是等可能的，每天只安排一人)(1)共有多少种安排方法？(2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？(3)甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少？解： (1)安排情况如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙 共有 12 种安排方法(2)甲、乙两人都被安排的情况包括：“甲乙 ” ，“乙甲 ”两种， 甲、乙两人都被安排(记为事件A)的概率：P(A)2 121 6. (3)“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是对立事件， 甲、乙两人都不被安排的情况包括：“丙
