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1、 3 收稿日期:1994年3月21日,收到修改稿日期:1996年6月11日 1随机弱大数定律和随机强大数 定律的充要条件3来向荣 (北京工业大学,北京,100022)张福仁 (安徽建筑工业学院,合肥,230022)摘 要 本文讨论随机大数定律,得到随机变量序列分别服从随机弱大数定律和随机强大数定律的充要条件关键词 随机变量序列,随机弱大数定律,随机强大数定律设( Xk, k1)是随机变量变列,每个EXk存在, ( Un, n1)是取正整数值的随机变量序列,若1 UnUnk= 1( Xk-EXk)P0( n) ,则称( Xk)依( Un)的随机弱大数定律成立,若1 UnUnk= 1( Xk-EX
2、k)a. s.0( n) ,则称( Xk)依( Un)的随机强大数定律成立,参看文献11先证明两个引理 1引理1 设是随机变量, g ( x)是定义在0,+)的有界的不减函数,在0的右邻域取正值, g(+ 0)=g(0)= 0,则对每个正数,有P(| ) g() - 1Eg(|)证 由假设知,对每个正数, g() 0,有P(|) =(| x| )dF( x)(| x| ) g() -1g(|x | )dF( x) g() -1-g(|x | )dF( x)= g() -1Eg(| )其中, F( x)是的分布函数 1 引理1得证 1引理1是文献2第33页命题11212的推广 1引理2 设与g(
3、 x)同引理1,则对每个正数,有Eg(| )g() + sup xg(|x | ) P(|)证Eg(| ) =-g(|x | )dF( x)=(| x| )g(|x | )dF( x) +(| x| )g(|x | )dF( x)12卷 第2期 1997年6月数理统计与应用概率 Mathematical Statistics and Applied ProbabilityVol. 12 ,No. 2 Jun. 1997 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.g() P(| ) + sup x
4、g(|x | ) P(|)g() + sup xg(|x | ) P(|)其中, F( x)是的分布函数 1 引理2得证 1引理2是文献2第33页命题1、2、3的推广 1定理1 设( Xk, k1)是随机变量序列,每个EXk存在, ( Un)是取正整数值的随机 变量序列,则( Xk)依( Un)的随机弱大数定律成立的充要条件是:存在定义在0,+)的 有界的不减函数g( x) ,在0的右邻域取正值, g(+ 0)=g(0)= 0,使Eg(|YUn| )0( n )其中, YUn=1 UnUnk= 1( Xk-EXk)证 对每个正数及满足定理1条件的g( x) ,由引理1,引理2,有P(|YU n
5、|) g() -1Eg(|YU n| ) ,Eg(|YU n| )g() + sup xg(|x | ) P(|YUn|) ,由此,即见定理1成立 1在定理1中,令Un=n , n1,得:( Xk, k1)服从弱大数定律的充要条件是:存在定义在0,+)的有界的不减函数g ( x) ,在O的右邻域取正值, g (+ 0)=g (0)= 0,使Eg(|Yn|)0( n) ,其中, Yn=1 nnk= 1( Xk-EXk)把定理1中的g( x)取作一系列具体的函数,可以得到一系列具体的判别法则,参看文献3第6264页 1文献3定理1的必要性的证明中存在一些问题,它假设(n)是任意随机变量序列,f (
6、 t)在(0,+)有定义,取正值,单调非降,界为1, f (+ 0)= 0,得到不等式0 Ef (|n| )= | y| f (| y | )dF n( y) + | y| f (| y | )dF n( y)f (| ) P(|n| ) + P(|n|)实际上,上述推导没有根据 1 由Stieltjes积分,应有 (| y| )f (| y | )dF n( y) = f (0) Fn( +0) -Fn( -0) +(0| y| )f (| y | )dF n( y)f (0) Fn( +0) -Fn( -0) + f () P(0|n| ) ,既然文献3中没有定义f (0) ,不妨取f (
7、0)=1 2,并对一切n ,取(n)使Fn(+ 0)-Fn(-0)=1 2,得到Ef (|n|)14+f ()+P(|n| ) ,于是,由P(|n| )0( n)推导不出Ef (|n|)0( n)此外,还可取f ( x)及(n) , f (0)为负数,并使Ef (|n|)为负数,从而文献3定理1的必要性的证明失去依据 1211数理统计与应用概率第12卷第2期 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.总之,在文献3中,若不增设f (0)= 0,它的定理1及其推论的必要性的证明,以及它的定理2的必
8、要性的类似的证明,都不能成立 1 由本文定理1,仿文献4与文献5 ,有 定理2 设( Xk, k1)是随机变量序列,每个EXk存在, ( Un)是取正整数值的随机 变量序列,当n 时Un (a. s.) ,则( Xk)依( Un)的随机强大数定律成立的充要条件 是:(i)存在定义在0,+)的有界的不减函数g( x) ,在0的右邻域取正值, g(+ 0)=g(0)= 0,使Eg(|YUn|)0( n) , YUn见本文定理1;(ii)1 Un( XUn-EXUn)a. s.0( n) ;(iii)对每个正数,存在,0 ,使Pm =1n = m(- |YU n| ) =0,YUn见本文定理11在本
9、文定理2中,令Un=n , n1,得:( Xk, k1)服从强大数定律的充要条件是 (i)存在定义在0,+)的有界的不减函数g ( x) ,在0的右邻域取正值, g (+ 0)=g(0)= 0,使Eg(|Yn|)0( n) ;(ii)1 n( Xn-EXn)a. s.0( n) ;(iii)对每个正数,存在,0 ,使Pm =1n = m(-)|Yn| )k=0其中, Yn=1 nnk= 1( Xk-EXk)1把本文定理2中的g( x)取作一系列具体的函数,可以得到一系列具体的判别法则, 参看文献3第6264页 1 顺带指出,文献6定理1的(1)是文献1定理4的特款,文献6定理2是文献1 定理7
10、的推论的特款 1顺带指出,文献2第33页的命题1、2、2和命题1、2、3,当g( x)0时不成立,该二 命题的不等式应相应地改写为g() P(|X |)Eg( X) ,Eg( X) -g()sup xg( x) P(|X |)1311第12卷第2期来向荣等:随机弱大数定律和随机强大数定律的充要条件 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.参考文献1 吴绍敏,非独立变量的随机大数定理,华侨大学学报,1981 ,No. 1 ,152 R. G.Laha and V. K. Rohatgi , Probability Theory , John Wiley weak law of large numbers in stochastic sense ;strong law of large numbers in stochastic sense.411数理统计与应用概率第12卷第2期 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
