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1、一、一、线性子空间线性子空间 二二、生成子空间、生成子空间 6.5 6.5 线性子空间线性子空间一、线性子空间 1 1、线性子空间的定义、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间注： 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念. 维数.2 2、线性子空间的判定、线性子空间的判定 ，若W对于V中两种运算封闭，即 则W是V的一个子空间 定理定理：设V为数域P上的线性空间，集合 推论推论：V为数域P上的线性空间, 则W是V的子空间 ， . 且对 ， 由数乘
2、运算封闭，有 ，即W中元素的负元素就是它在V中的负元素，4）成立就是V中的零元， 3）成立由于 ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）是显然成立的下证3）、4）成立 由加法封闭，有 ,即W中的零元证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则 例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则Rx为V的一个子空间 例3 Pxn是Px的的线性子空间 例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合 是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间线性空间V本身也是V的一个子空间.这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间 的全部解向量所成集合W对于
3、通常的向量加法和数 ()的解空间W的维数n秩(A)， ；例4 n元齐次线性方程组 () 注注 ()的一个基础解系就是解空间W的一组基.空间，称W为方程组()的解空间量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： 解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间.若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.事实上，W1 是n元齐次线性方程组的解空间. 所以，维W1 n1，的一个基础解系就是W1 的一组基.而在 W2中任取两个向量 ，设则故W2不是Pn的子空间.故，W3为V的一个子空间，且维W3 n1 ，则有 其次， 设下证W3是Pn的子空间.就是W
4、3的一组基.例6 设V为数域P上的线性空间， 则W关于V的运算作成V的一个子空间 即 的一切线性 组合所成集合.称为V的由 生成的子空间，二、一类重要的子空间生成子空间 定义：V为数域P上的线性空间， 则子空间 ，记作 称 为 的一组 生成元.例7 在Pn 中， 为Pn的一组基，即 Pn 由它的一组基生成.类似地，还有事实上，任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成.有关结论有关结论1 1、设W为n维线性空间V的任一子空间， 是W的一组基，则有2 2、（定理定理3 3） 1） ； 为线性空间V中的两组向量，则与 等价 2）生成子空间 的维数向量组 的秩证：1）若 则对 有 ， 从而 可被线性
5、表出；同理每一个 也可被 线性表出. 所以， 与 等价 ， 可被 线性表出， 从而可被 线性表出，即 反之， 与 等价 所以, 同理可得， 故， 由3定理1， 2）设向量组 的秩t，不妨设 为它的一个极大无关组 因为 与 等价， 就是 的一组基， 所以， 的维数t无关组，则推论：设 是线性空间V中不全为零的一组向量， 是它的一个极大3 3、设 为P上n维线性空间V的一组基，则 的维数秩(A).A为P上一个 矩阵，若证：设秩(A)r，不失一般性，设A的前r列线性无关，并将这r 列构成的矩阵记为A1，其余s-r列构成的矩阵记为A2， 则A(A1, A2)，且秩(A1)秩(A)r，设 即 下证 线性
6、无关.是V的一组基，又秩(A1)r，方程组只有零解，即线性无关.从而任取 将A的第 j 列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj ，则 则有即 设 从而有而秩(Bj)r， 有非零解，故有不全为零的数故 为 的极大无关组，所以 的维数r秩(A).线 性 相 关 .则向量组 与矩阵A的列向量组具有相同线性相关性. 所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯阵来求向量组 的一个极大无关组，从而求出生成子空间 的维数与一组基.注：注：由证明过程可知，若 为V的一组基，为 V 的一组基即在 V 中必定可找到 nm 个向量设W为 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，4 4、（定理定理4 4）为W的一组基，则这组向量
7、必定可扩充，使 为 V 的一组基扩基定理证明：对nm作数学归纳法当 nm0时，即 nm，定理成立就是V的一组基.假设当nmk时结论成立.因 n(m1)(nm)1(k1)1k，下面我们考虑 nmk1 的情形必定是线性无关的既然 还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量 不能被线性表出，把它添加进去，则由定理3，子空间 是m1维的可以扩充为整个空间V的一组基由归纳原理得证. 由归纳假设， 的基它扩充为P4的一组基，其中例8 求 的维数与一组基，并把解：对以 为列向量的矩阵A作初等行变换由B知， 为 的一个极大故，维 3，就是 的一组基.无关组.则 线性无关，从而为P4的一组基.练习练习设V为数域P上的线性空间， 为V的一组基， 且求 的一组基，并把它扩充为V的一组基.令 对A作初等行变换解：则 线性无关，从而为V的一组基.又由B知，A的列向量线性无关，从而 线性无关. 故 为 的一组基.
