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1、第二章第二章一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法常微分方程Ordinary Differential Equations第二章常微分方程Ordinary Differential Equations第二章Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.Ch.2 Elementary Method for Solving ODE of Order 12.1 变量分离方程与变量变换2.1 变量分离方程与变量变换yxyedxdy+=()122+=yxdxdy先看例子：先看例子：xyeye=定义定义1形如形如) 1 . 2()()(yxf
2、dxdy=的方程的方程,称为称为变量分离方程变量分离方程.,)(),(的连续函数分别是这里yxyxf),(yxFdxdy=(ODE of separable variable and transform of variable)Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.一、变量分离方程的求解一、变量分离方程的求解,10分离变量,)()(dxxfydy=这样变量就这样变量就“分离分离”开了开了.)2 . 2()()(cdxxfydy+=的某一原函数)(1 y的某一原函数)(xf(2.2)( , )(2.1).yy x c=由所确定的函
3、数就为的解) 1 . 2()()(yxfdxdy=两边积分得02写成将时当) 1 . 2(,0)(yOrdinary Differential Equations, School Appl. Maths.例：例：()122+=yxdxdydxxydy2 21=+Cdxxydy+=+2 21Cxy+=3 31arctan分离变量分离变量:两边积分两边积分:Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.或或31 3tan()yxC=+000,()0,(2.1),(2.2),.yyyy=若存在使则也是的解 可能它不包含在方程的通解中 必须补上
4、注注:例例1求微分方程求微分方程)101 (yydxdy=的所有解的所有解.解解:再积分方程两边同除以),101 (yy1 )101 (cdxyydy+= 积分得积分得:110lncxyy+=Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.得再将常数记为从上式中解出,cy,110xcey+=. 0c(1)0,010,10yyyy=由求出方程的解为和故方程的所有解为故方程的所有解为:110lncxyy+=Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.,110为任意常数cceyx+=.
5、 0=y和解解: 分离变量后得分离变量后得dxxdyy123 =两边积分得两边积分得:121 ln2cxy+=整理后得通解为整理后得通解为:2 1)(ln4 cxy+=,)(ln42cx=,0,123 1无意义在由于函数其中=xxyecc.00之一中有意义或故此解只在=+另外，另外，0y =也是解。也是解。例例6求下面初值问题的解求下面初值问题的解0) 1 (,)(22=+yxdydxyxy解解:方程变形为方程变形为2)(1xy xy dxdy+=这是齐次方程这是齐次方程,代入方程得令xyu =21 udxdux+=将变量分离后得将变量分离后得xdxudu= +21Ordinary Diffe
6、rential Equations, School Appl. Maths.两边积分得两边积分得:cxuulnln1ln2+=+整理后得整理后得cxuu=+21变量还原得变量还原得cxxy xy=+2)(1. 1, 0) 1 (=cy可定出最后由初始条件故初值问题的解为故初值问题的解为) 1(212=xyxdxudu= +21Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.(II) 形如形如,222111 cybxacybxa dxdy +=.,222111为常数这里cbacba的方程可经过变量变换化为变量分离方程的方程可经过变量变换化为
7、变量分离方程.分三种情况讨论分三种情况讨论 的情形0121= cc)(2211xygxybaxyba = + =ybxaybxa dxdy2211 +=为齐次方程为齐次方程,由由(I)可化为变量分离方程可化为变量分离方程.Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.的情形022121=bbaa则方程可改写成设,2121kbb aa=222111 cybxacybxa dxdy +=则方程化为令,22ybxau+=dxdu)(22ybxaf+=222122)( cybxacybxak +=)(22ufba +=dxdyba22+这就是变
8、量分离方程这就是变量分离方程Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.不同时为零的情形与且21 212103ccbbaa,00222111 =+=+ cybxacybxa则).0 , 0(),(,解以上方程组得交点平面两条相交的直线代表xy作变量代换作变量代换(坐标变换坐标变换), =yYxX则方程化为则方程化为YbXaYbXa dXdY2211 +=为为 (1)的情形的情形,可化为变量分离方程求解可化为变量分离方程求解.Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.求解的步
9、骤求解的步骤:,0012221110 =+=+ cybxacybxa解方程组, = yx得解方程化为作变换,20 =yYxXYbXaYbXa dXdY2211 +=)(XYg=离方程将以上方程化为变量分再经变换,30XYu =求解04变量还原05Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.例例7求微分方程求微分方程31 +=yxyx dxdy的通解的通解.解解: 解方程组解方程组 =+=+0301yxyx, 2, 1=yx得代入方程得令2, 1=+=yYxXYXYX dXdY +=得令,XYu =uu dXduX+=112XYXY+
10、= 11Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.将变量分离后得将变量分离后得XdX uduu=+21)1 (两边积分得两边积分得:cXuu+=+ln)1ln(21arctan2变量还原并整理后得原方程的通解为变量还原并整理后得原方程的通解为.)2() 1(ln12arctan22cyxxy+=+Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.注注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.)()(2211222111 XYgYbXaYb
11、XafdXdY cybxacybxafdxdy=+= +=此外此外,诸如诸如)(cbyaxfdxdy+=0)()(=+dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx=)(2xyxfdxdy=cbyaxu+=xyu =2xyu =xyu =Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.以及以及0)(,()(,(=+ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(变量分离方程均可适当变量变换化为些类型的方程等一次数可以不相同的齐次函数为其中yxNM解解:,xyu =令ydxxdydu+=则代入方程并整理得代入方程并整理得 0)(1 ()1 (
12、=+udxxduudxuu即即0)1 (22=+duuxdxu分离变量后得分离变量后得xdxduuu212=两边积分得两边积分得cxuu+=+2lnln1变量还原得通解为变量还原得通解为.ln1cyx xy=Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.例例8求微分方程求微分方程 0)()(22=+dyyxxdxxyy 的通解的通解.三、应用举例三、应用举例 例例8 雪球的融化雪球的融化 设雪球设雪球(sphere)在融化时体积的变化率与表面积在融化时体积的变化率与表面积(surface area)成正比，且在融化过程中它始终为球体，该
13、雪球在开始时的半径成正比，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径(radius)为为6cm，经过，经过2小时后，其半径缩小为小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的规律。，求雪球的体积随时间变化的规律。解解:则表面积为雪球的体积为设在时刻),(),(tstvt)()(tksdttdv=根据球体的体积和表面积的关系得根据球体的体积和表面积的关系得)(3)4()(32 32 31 tvts=Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.再利用题中条件得引入新常数,3)4(32 31 k=32 32 31 3)4(vkdtdv=36)2(,288)0(=vv2 3,v= 分离变量并积分得方程的通解为分离变量并积分得方程的通解为31 27( )() .v tct=由初始条件得由初始条件得33 69,636=c代入得雪球的体积代入得雪球的体积(volume)随时间的变化关系为随时间的变化关系为.)312(6)(3ttv=.4 , 0:t实际问题要求注Ordinary Differential Equations, School Appl. Maths.
