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1、1 1、请写出关于直积的五个定理并加以证明答案：定理一：两个对角矩阵的直积仍是对角矩阵证明：已知 A、B为两个对角矩阵，有Aij = Aiiij , Bmn =Bmmmn (A B)im,jn = AijBmn = AiiBmmijmn = Cim;imim,jn 所以 .A B仍是对角矩阵定理二： (A + B) C = A C + B C 证明：(A + B) C)im,jn = (A + B)ijCmn = (Aij + Bij)Cmn = AijCmn + BijCmn = (AC)im,jn + (BC)im,jn, 所以(A + B) C = A C + B C. 定理三：如果 A
2、和B是幺正矩阵，则AB也是幺正的证明：因为 A、B都是幺正矩阵，所以AA= I，BB= I ijkj kikAA，mnln lmlBBklkljnimmnijmlkjikkjmlikklnljkmlikkljnml klikjnklklimBBAABABABABABABABABA,lnln* , kl,)()()(所以 AB也是幺正矩阵定理四： Tr（AB） =TrA TrB 证明： Tr(A B) =im,BAimim）（=immmiiBA=immmiiBA= TrA TrB 定理五：设 A、C为同维矩阵，B、 D为同维矩阵，则有(A B)(CD) = (AC) (BD)证明：kljnklk
3、limjnimDCBADCBA,)()()(jnimmnijklklmlkjikkjmlikBDACBDACDBBADCBA,lnln)()()()(所以 (A B)(CD) = (AC) (BD) 2、如果f是厄米算符，而且对某一特定右矢A有0?mAf,m为正整数，则有0?Af。证明：因为0?mAf，所以0?)1(2)2(AfAffmmm，0?)1(2AfAm因为f?是厄米算符，所以)1(?mf也是厄米算符，所以0?)1()1()1()1()1(2AfAfAffAAfAmmmmm2 所以0?)1(Afm，同理，可得到0?)2(Afm以此类推，可得到0?Af。3、 （1）请写出一维谐振子的经典
4、哈密顿量（2）请写出一维谐振子的Heisenberg运动方程（3）已知amqip m2，amqip m2，a a,=1，请用数学归纳法证明aaaanannn 1（4）根据a 00，0 01用数学归纳法，证明00a annn!，并根据正交归一性推导出annna nn n111答案： （1）一维谐振子的经典哈密顿量H mpmq122222()（2）Heisenberg运动方程,qiqHp mpip Hmqtttttt112（3）证明：因为a a,=1，所以当 n=1时成立假设当mn时，1mmmnaaaaa成立则当1mn时，aaaaaamm,aa,=,m1mmmanaana) 1(1所以1mn时成立
5、，由此可推出aaaanannn 1（4）证明：因为a 00，所以当 n=1时成立假设当mn时，！maamm00成立则当1mn时，000011mmmmaaaaaa0)1(0mmaaaa00mmaaaa+00mmaa0)(01mmmmaaaaa+00mmaa3 因为a 00，所以000aaaamm上式001mmmaaa+00mmaa00mmaam+00mmaa)!1(!) 1(00) 1(mmmaammm所以1mn时成立，由此可推出00a annn!因此相应于能量为()n12的归一化本征右矢为nnan10!所以110 )!1(10 !1110 !1111nna nna nnna nnannn同理1
6、0 )!1(0)( !10 !111nna nnnaaa naa nnannnn由此得出annna nn n1114、 （1）请写出费曼海尔曼定理（2）请写出维里定理（3）请用费曼海尔曼定理答案： （1）假设系统的束缚态能量本征值及归一化的能量本征态为En和n，为哈密顿量中含有的任何一个参数，则有EnHn n（2）2 n T nn rV n，这里TPm22是动能，VV r是势能。（3）在坐标表象中，HPmV rmV r22 2 22，把看成参量，由F-H 定理知HmPmT2212，EnHnn T nn2 4 在动量表象中，HP mV rP mV iddP2222HVVrV riddPV rr在
7、最后一步中又将动量表象中的iddP换回为r。由 F-H 定理知EnHnn rn1V n比较和得知2 n T nn rV n，证毕。5、由jmjj2121mmjm mjmjC2211,2211;mjmj和2211;mjmjjmjm mjmjC2211,jmjj21证明 CG 系数满足下面的正交归一性2122112211 , mmmmj jmj mjmjmjjm mjCCCCj mj mjm j mj mjm m mm m jm112211221122,证明：jmjj2121mmjm mjmjC2211,2211;mjmj取共轭为：mjjj2121mmmjmjmjC 2211,2211;mjmj由
8、以上两式，得jmjjmjjjmmj j21212121mmmmmjmjmjC 2211,jm mjmjC 2211,22112211;mjmjmjmj2121mmmmmjmjmjC 2211,jm mjmjC2211,2211mmmm21mmmj mjmjC2211,jm mjmjC2211,2211;mjmjjmjm mjmjC2211,jmjj21取共轭为：2211;mjmjmjmj mjmjC2211,mjjj21由以上两式，得22112211;2211mjmjmjmjmmmmmjjmmj mjmjC2211,jm mjmjC2211,jmjjmjjj2121mjjmmj mjmjC22
9、11,jm mjmjC2211,mmj jjmjm mjmjC2211,jm mjmjC2211,证毕。5 6、请验证下列算符是否对易（1）一维情形下的平移算符)(d和)(d（2）三维情形下的空间转动算符D(R1)和D(R2) （3）)(d和宇称算符（4）D(R) 和宇称算符答案： （1）对于一维情形下的平移算符)(d和)(d，有)(d)(d)(x)(d)(dx)(ddx)(ddx)(d)(dx)(d)(d)(x所以一维平移算符)(d和)(d彼此对易。（2）对于三维情形下的空间转动算符D(R1)和D(R2)，)nex p ( - i)D ( R111L，)nexp(-i)D(R222L因为0,
10、kijkjiLiLL，所以 D(R1)D(R2)D(R2) D(R1) （3）对于)(d和宇称算符，)(d)(r)()()(drrd)(d)(r)()(drdr所以)(d)(r)(d)(r，)(d和宇称算符彼此不对易。（4）对于 D(R) 和宇称算符D(R)(r),(),(11rnRrnRD(R) )(r),()(,()()(11rnRrnRrrD所以 D(R) 和宇称算符彼此对易7、根据单粒子算符kkkaan，由产生算符和湮灭算符的对易规则kkaakaka0kakakakakakakakakk证明kkan ,kakk，kkan ,kakk，mkmkkaman)()( ,6 证明：kkan ,
11、kakakakakkaakakakakakakaka（kakakaka）kakkkkan ,kakakakakakakakakakakaka（kakakaka）kakakkmkmkkaman)()( ,假设nm时，上式成立则当1nm时，1)( ,nkkanknkkaan)( ,+nka )(kkan ,nkan)(ka+nka )(ka1)(1(nkan成立。所以mkmkkaman)()( ,，得证。8、 （1）请写出连续性Schrodinger方程和连续性 Klein-Kordon 方程（2）请推导出 Dirac 粒子的连续性方程( , )( , )x ttj x t0(6) Schrodi
12、nger方程答案： （1）连续性 Schrodinger方程( , )( , )x ttj x t0其中( , )( , )*(, )( , )x tx tx tx t2j x timx tx tx tx t( , )*(, )( , )( , )*(, )2连续性 Klein-Kordon 方程tj0其中imctt22(*)jim2(*)（2）9、设BC、是与对易的算符，但BC、可能彼此不对易，0000，是三个 22 的 Pauli 矩阵。求征（）（cB CiBC)()7 证明： 0000) CCBBc）（)(00)(BBCB因为)()CBiCBc）（所以 )(_00)() CBiCBCBi
13、CBc）（)(CBiICB这里 I是44的单位矩阵，证毕。10、证明()()()cpeAcpeAce APPAie cAie cB(磁感应强度）证明：)()()(22pAApceAAeppcAepcAepcAi e h cpApAAice)(00证毕。11、如果)1(是已知的证明能量的二级修正可以表示为)1()0()2(2HE证明：定态 Schrodinger方程为EH考虑微扰情况，令WHHHHo0假设已知)0()0()0( 0nnnEHE和可以表示为)3(3)2(2)1()0(EEEEE)2(2)1()0(将上面两式代入定态Schrodinger方程比较同次幂的系数，便可得到：0)( :)0
14、()0( 00EH)0()1()1()0( 01)()( :WEEH)0()2()1()1()2()0( 02)()( :EWEEH取定所考虑的能级和态为k，则式可写为：)0()2()1()1()2(0 0)()(kkkkkkEWEEH）（用)0( k左乘式得)0()0()2()1()0()1()0()1()2(0 0(0) k)(kkkkkkkkkkEWEEH）（8 由式可知，0)()0( 0)0( kkEH又因为1)0()0( kk，0)0()0( kk所以)1()0()2( kkkWE即)1()0()1()0()2(2 kkkkkHWE得证。12、0 20 10 100EEEHbaba
15、)(0 10 2EE，用微扰论（把ba,看成小量）计算到能量的二级近似值，并与直接求解本征方程的结果作比较。答案： （1）直接求解本证值法H0000 20 10 1cbaEEEbaba式有解的充要条件是000 20 10 1EEoEbaba解这个行列式得0)()(220 20 10 1baEEE0)(0 220 20 10 20 120 1baEEEEE解为：0 11E32、21220 20 120 20 10 20 1)2(2baEEEEEE2120 10 2220 10 20 20 1 )()(4122EEEEEEba因为20 10 222)()(4EEba为小量，上式可近似为20 10
16、2220 10 20 20 1 )()(2122EEEEEEba9 0 10 2220 20 10 2220 1EEEEEEbaba（2）微扰法：因为0 2E非简并，0 1E二度简并， 对初始零级近似波函数而言，设0 1E对应于态、，0 2E对应于态 2，因为13、 证明0,LSLi，0,LSSi，0,LSJi，0,2LSL，0,2LSJ证明：,LSLi,jjiLSL,jijLLS0kjijkLSi,LSSi,kkiLSS0,kji k jkkiLSiLSS,LSJi,LSSLii,jjiLSL,kkiLSSkjijkLSikjikjLSikjijkLSi0kjijkLSi,2LSL,2 iiLSL0,2 iiLLS,2LSS,2 iiLSS0,2 iiLSS,2LSJ0,
