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1、数学建模培训初等模型曹可二九年四月一、数列建模数列是最基本的概念之一。1805年，英国和法国进进行了一场场惨烈的海战战。其中，尼尔森担任英国统帅统帅 ，他的对对手则则是大名鼎鼎的拿破仑仑。尼尔森的舰队舰队 有27艘战舰战舰 ，而拿破仑仑的舰队舰队 却有33艘战舰战舰 。根据以往的战战争经验经验 ，若两军军相遇，一方损损失兵力大约约是对对方兵力的10 。如果按照这这一公式计计算，显显然人多势势众的法军军将获胜获胜 ，而且在第11次遭遇战战中全歼歼英军军，如表所示。n1234567891011 Bri27.023.720.717.915.312.910.68.56.54.52.7 Fra33.03
2、0.327.925.924.122.521.320.219.318.718.2模型1：谁将是胜利者但是，尼尔森将军成功的运用了逐个击破的策略，扭转劣势转败为胜，还差一点全歼法军。经此一战，英国大大巩固了它在海上的霸权。当时法军舰队分在三处，分别为A处（3艘）、B处（17艘） 、C处（13艘），彼此相距很远。尼尔森将军收集了丰富的情报以后，当机立断，制定以下作战方案：先派13艘战舰进攻法军A队，胜利后尽快与留守港口的14艘战舰汇合，一起进攻法军B队，最后，乘胜追击，集中所有剩余兵力，围攻法军C队。现保守估计，每一场遭遇战，法军损失兵力大约是英军的5，列表如下计算：n1234Bri13.012.7
3、12.512.4Fra3.02.41.71.1战战役A情况战战役B情况（法军军在战战役A中逃脱的1艘战舰战舰 加入战战斗）n123413141516Bri26. 025. 124. 323. 519. 118. 818. 618. 5Fra18. 016. 715. 414. 24.73.82.81.9战战役C情况（法军军剩余兵力全部参加战战斗）n123414151617Bri19.018.317.617.013.213.012.812.7Fra14.013.112.111.33.83.12.41.8最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，
4、但法军没有增援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现实问题的数量规律。模型2：动态系统中的平衡点模型2.1：出租车的调配问题一家出租车公司有出租车7000辆，在甲地和乙地各有一家分支机构，专门负责为旅游公司提供出租车。由于甲地和乙地距离不远，出租车每天可以往返两地。根据公司统计的历史数据，每一天甲地的车辆有60%前往乙地后返回甲地，余下40%前往乙地并留在乙地分支机构；而每
5、一天乙地的车辆有70%前往甲地后返回乙地，余下30%前往甲地并留在甲地分支机构。现在公司担心出现甲、乙两地车辆分布越来越不平衡的情况，如果出现，公司就必须考虑是否对甲乙两地车辆进行调配，这就需要支付一定的调度费用。试对上述问题提出决策分析！甲地乙地40%30% 60%70%分析：设Jn为第n天在甲地的出租车数量，Yn为第n天在乙地的出租车数量，由历史统计规律可知如果存在平衡状态，即Jn= Jn1及 Yn= Yn1，解得这就说明，甲地分配3000辆车，乙地分配4000辆车，则此后两地车辆数目不变，即达到平衡状态。（如表1）n1234.n.甲地3000300030003000.3000.乙地400
6、0400040004000.4000.表1进一步分析：如果甲地、乙地的车辆不是3000和4000时，甲地和乙地的车辆数量则每天都在变动，是否会出现不平衡，是否需要进行调配？n01234567甲地70004200336031083032.43009.723002.916 3000.875乙地02800364038923967.63990.283997.084 3999.125表2 车辆数量模拟（一）n01234567甲地50003600318030543016.23004.863001.458 3000.437乙地20003400382039463983.83995.143998.542 399
7、9.563表3 车辆数量模拟（二）n01234567甲地20002700291029732991.92997.572999.271 2999.781乙地50004300409040274008.14002.434000.729 4000.219表4 车辆数量模拟（三）n01234567甲地02100273029192975.72992.712997.813 2999.344乙地70004900427040814024.34007.294002.187 4000.656表5 车辆数量模拟（四）经过模拟（表2表5），可以知道无论车辆如何分配，经过有限天数后，最终都将达到平衡状态。Jn的极限是300
8、0，Yn的极限是4000。其中，（J，Y）=（3000，4000）为该动态系统的平衡点，而且是稳定的平衡点（不动电）！点评：上述问题，如果没有进一步分析就略显平庸！数学建模是一个迭代的过程，是一个螺旋上升的过程，通过不断的迭代、不断的修正，最终得到更好、更接近现实情况的结果！模型2.2：竞争的捕食者模型在非洲，有一个地方栖息着一种特别的斑点猫头鹰。它们在那儿跟老鹰同处于食物链的最高层，本应无忧无虑，但是由于它们的捕食对象相同、相互竞争，因此随时有种群灭绝的危险。试建立数学模型研究它们数量之间的关系！分析：首先，假定一个种群的数量增加跟其自身数量成正比，则在不考虑死亡的情况下。令On代表斑点猫头
9、鹰第n天的数量，Tn代表老鹰第第n天的数量，则有斑点猫头鹰的增加量为老鹰的增加量为现在考虑种群的死亡问题，由于它们是那个地区的霸主，倒不担心被别的动物吞食。它们的死亡主要由于缺乏食物造成。这里假定一个种群数量的减少跟它的数量与其竞争对手数量的乘积成正比，则有斑点猫头鹰的变化量为老鹰的变化量为则该动态系统的状态转移方程为现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】进一步分析：考查该动态系统平衡点的稳定性。现在考虑以下四种初始情况下斑点猫头鹰和老鹰的变化。情况1情况2情况3情况4斑点猫头鹰头鹰150151
10、14910老鹰鹰20019920110下面四个图分别对应四种情况。情况1：两个种群数量始终保持不变，永远相互共存下去。但这仅仅是最理想化的情况。天数数量200150老鹰斑点猫头鹰情况2：斑点猫头鹰成为胜利者，老鹰最后灭绝了。尽管斑点猫头鹰的数量仅比情况1多一只，老鹰的数量比情况1少一只，老鹰种群在争夺食物的大战中不敌对手，甚至灭绝。天数数量199151老鹰斑点猫头鹰情况3：老鹰成为胜利者，斑点猫头鹰最后灭绝了。尽管斑点猫头鹰的数量仅比情况1少一只，老鹰的数量比情况1多一只，老鹰种群在争夺食物的大战中成为胜利者，斑点猫头鹰惨遭灭绝。天数数量201149老鹰斑点猫头鹰情况4：老鹰仍然成为胜利者，斑
11、点猫头鹰最后还是灭绝了。与前面三种情况相比，两个种群的初始数量相同，可以说是站在同一条起跑线上。但是，老鹰种群以绝对的优势赢得胜利，而斑点猫头鹰种群惨遭灭绝。天数数量10老鹰斑点猫头鹰情况1是最理想化的情况。情况2和情况3表明，即使系统只有细微偏差，但最后结果却截然不同。情况1、情况2和情况3尽管在初始数量相差不多，但最终结果相差悬殊。模型评价：综合上述讨论，可以看出竞争捕食者模型是一个对初始值非常敏感的模型。平衡点（150，200）是一个不稳定的平衡点，即使初值非常接近它，最后发展的结果始终不能达到这个平衡点，甚至偏离很远。要得到更好的分析结果，必须修正原来的假设，添加更多的因素，考虑用更好
12、的建模方法。月份12345678910111213幼兔101123581321345589成年兔01123581321345589144兔子数（对对 ）1123581321345589144233幼兔比率1.0 0.0 0.5 0.33333 0.40000 0.37500 0.38462 0.38095 0.38235 0.38182 0.38202 0.38194 0.38197 成兔比率0.0 1.0 0.5 0.66667 0.60000 0.62500 0.61538 0.61905 0.61765 0.61818 0.61798 0.61806 0.61803 练习：兔子的繁殖问题
13、。由一对幼兔开始，一年后可以繁殖多少对兔子？假设兔子的生殖能力是这样的：每一对兔子每一个月可以生一对兔子，并且兔子在出生满一个月以后就具有生殖能力。试用数学建模的方法来讨论上述问题，并分析兔群的增长规律。二、图解法建模图象分析是一种十分直观的数学方法，在简单的定性分析中很实用。难以量化的研究对象，不容易用解析法处理，这时可以根据数与形的关系，利用图象中曲线的关系推断结论，借助图象来描述研究对象。图解法可以取得一目了然的效果，但也有自身的缺点（例如，量化不彻底，不易表示三个以上变量之间的关系，要深入研究还要利用其他的数学工具，比如概率统计、线性规划等）。模型：核军备竞赛【资料】二十世纪六七十年代
14、的冷战时期，美苏实行所谓核威慑战略，核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议，2001年7月美俄两国总统同意进行进一步裁减核武器，俄罗斯总统普京建议两国各自裁减1500枚战略核武器。蘑菇云二战中美国投放日本长崎的原子弹“胖子”世界核武器分布图核武器 （nuclear weapon） 利用能自持进行核裂变或聚变反应释放的能量，产生爆炸作用，并具有大规模杀伤破坏效应的武器的总称。其中主要利用铀235(U-235) 或钚239(239Pu)等重原子核的裂变链式反应原理制成的裂变武器,通常称为原子弹;主要利用重氢(D，氘 do)或超重氢(T，氚 chun)等轻原子
15、核的热核反应原理制成的热核武器或聚变武器，通常称为氢弹。在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化？试建立数学模型，在给核威慑战略做出一些合理、简化的假设下，定性的分析、回答上述问题。模型分析：核军备竞赛的基本想法是当自己在遭到对发的突然袭击后能有足够的核武器幸存下来，以便给予对方“致命打击”。核军备竞赛的方法有：（1）努力增加自己的核武器。从数量上压倒对方，但这样作战下去双方都感到负担过重。（2）引进多弹道导弹和多
16、弹头导弹。（3）加固导弹库或者建造核潜艇来保护导弹，使之不易受到攻击。模型假设：以双方的（战略）核导弹数量为对象，描述双方核军备的大小，假定双方采取如下同样的核威慑战略。（1）认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地。（2）己方在经受第一次核打击后，应保存有足够的核导弹，给对方以毁灭性的打击（工业、交通中心等）。（3）在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地，且摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力说决定。（4）假定双方拥有的核导弹相同，具备相同的攻击精度和防御能力。模型建立：（图的模型）记y=f(x)为甲方拥有x枚核导弹时，乙方采取核威慑战略所需的最小核导弹数， x=g(y)为乙方拥有y枚核导弹时，甲方采取核威慑战略所需的最小核导弹数。对于y=f(x)，当x=0时y=y0，y0是甲方在实施第一次核打击后已经没有核导弹时，乙方对甲方以毁灭性打击所需的核导弹数，简称乙方的威慑值；对于x=g(y)，当y=0时x=x0，x
