《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数列的综合应用(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数列的综合应用(含解析)（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 Go the distance 数列的综合应用 知识能否忆起 1数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下： 2数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差 (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比 (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an与 an1的递推关系，还是前 n 项和 Sn与 Sn1之间的递推关系 小题能否全取 1某学校高一、高二、高三共计 2 460 名学生，三个年级的学生
2、人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是( ) A800 B820 C840 D860 解析：选 B 由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为 ad，a，ad. 则 adaad2 460，解得 a2 4603820. 故高二年级共有 820 人 2(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A6 秒钟 B7 秒钟 C8 秒钟 D9 秒钟 解析：选 B 设至少需 n 秒钟，则 121222n1100， 即12n12100，解得 n7. Go
3、 the distance 3数列an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且 a6b7，则有( ) Aa3a9b4b10 Ba3a9b4b10 Ca3a9b4b10 Da3a9与 b4b10的大小不确定 解析：选 B a3a92 a3a92 a262a62b7b4b10，当且仅当 a3a9时，不等式取等号 4一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为23，公差为 36，则这个多边形的边数为_ 解析：由于凸 n 边形的内角和为(n2)， 故23nnn12 36(n2). 化简得 n225n1440.解得 n9 或 n16(舍去) 答案：9 5 设曲线 yxn1(nN*)在点(1,1)处
4、的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n， xn_，令 anlg xn，则 a1a2a99的值为_ 解析：yxn1，y(n1)xn， 它在点(1,1)处的切线方程为 y1(n1)(x1)， 与 x 轴交点的横坐标为 xn11 n1n n1， 由 anlg xn得 anlg nlg(n1)， 于是 a1a2a99 lg 1lg 2lg 2lg3lg 99lg 100lg 1lg 100022. 答案：n n1 2 1.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相
5、关知识解决问题 2数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步提高，这一部分内容也将受到越来越多的关注 Go the distance 等差数列与等比数列的综合问题 典题导入 例 1 在等比数列an(nN*)中，a11，公比 q0，设 bnlog2an，且 b1b3b56，b1b3b50. (1)求证：数列bn是等差数列； (2)求bn的前 n 项和 Sn及an的通项 an. 自主解答 (1)证明：bnlog2an，
6、bn1bnlog2an1 anlog2q 为常数， 数列bn为等差数列且公差 dlog2q. (2)b1b3b56，b32， a11，b1log2a10. b1b3b50， b50. b12d2，b14d0，解得 b14，d1，Sn4nnn12(1)9nn22. log2q1，log2a14， q12，a116，an25n(nN*) 试比较(2)求出的 Sn与 an的大小 解：an25n0， 当 n9 时，Snn9n20， n9 时，anSn. a116，a28，a34，a42，a51， a612，a71 4，a81 8， S14，S27，S39，S410，S510， S69，S77，S84，
7、 当 n3,4,5,6,7,8 时，anSn. 由题悟法 解决等差数列与等比数列的综合问题， 关键是理清两个数列的关系 如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解 以题试法 1(2012 河南调研)已知an是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a3a655，a2a716. (1)求数列an的通项公式； (2)若数列an和数列bn满足等式 anb12b222b3 23bn 2n(n 为正整数)，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解：(1)设等
8、差数列an的公差为 d，则依题意知 d0， 由 a2a716，得 2a17d16， 由 a3a655，得(a12d)(a15d)55， 由得 2a1167d， 将其代入得(163d)(163d)220， 即 2569d2220.d24，又 d0， d2，代入得 a11， an1(n1) 22n1. (2)当 n1 时，a1b12，b12. 当 n2 时，anb12b2 22b3 23bn1 2n1bn2n， an1b12b222b3 23bn1 2n1， 两式相减得 anan1bn2n，bn2n1， bn 2，n1，2n1，n2.当 n1 时，S1b12； 当 n2 时，Snb1b2b3bn2
9、b212n1122n26， Go the distance 当 n1 时上式也成立 综上，当 n 为正整数时，Sn2n26. 等差数列与等比数列的实际应用 典题导入 例 2 (2011 湖南高考改编)某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M的价值在使用过程中逐年减少 从第 2 年到第 6 年， 每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价值为上年初的 75%.则第 n 年初 M 的价值 an_. 自主解答 当 n6 时，数列an是首项为 120，公差为10 的等差数列，an12010(n1)13010n； 当 n7 时，数列an是以 a6
10、为首项，34为公比的等比数列， 又 a670，所以 an703 4n6. 答案 an 13010n，n6，703 4n6，n7.由题悟法 1数列实际应用题的解题策略 解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解 2处理分期付款问题的注意事项 (1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息) (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系 以题试法 2从经济
11、效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业估计收入 400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14. (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业总收入为 bn万元，写出表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 解：(1)第一年投入为 800 万元，第二年投入为 800115万元， Go the distance 第 n 年内的总投入为 800115n1万元， 所以，n 年的投入为： an800800115800115n1
12、4 0004 0004 5n. 第一年旅游业收入为 400 万元，第二年旅游业收入为 400114万元 第 n 年旅游业收入为 400114n1万元， 所以，n 年内的旅游业总收入为 bn400400114400114n1 1 6005 4n1 600. (2)设经过 n 年旅游业的总收入超过总投入，由此 bnan0， 即 1 6005 4n1 6004 0004 0004 5n0， 化简得 25 4n54 5n70， 设4 5nx，代入上式，得 5x27x20， 解此不等式，得 x1(舍去)， 即4 5n0) (1)求数列an的通项公式； (2)设 bnaqnn，若 b1a1，b5a5，试比
13、较 a3与 b3的大小 解：(1)设等差数列an的公差为 d，则 S5S23a19d243t， 又 a12t，所以 d2， Go the distance 故 an2nt(t0) (2)由已知可得 aq1t0，aq55t， 可得 3t12(aqaq5)， 又 aq5aqaq(q41)4，则 q41，得 q21. 则 a3b33taq3aq2(q21)20，故 a3b3. 1数列an是公差不为 0 的等差数列，且 a1，a3，a7为等比数列bn中连续的三项，则数列bn的公比为( ) A. 2 B4 C2 D.12 解析：选 C 设数列an的公差为 d(d0)，由 a23a1a7得(a12d)2a1(a16d)，解得a12d，故数列bn的公比 qa3a1a12d a12a1a12. 2已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，S936，S13104，等比数列bn中，b5a5，b7a7，则 b6的值为( ) A 4 2 B4 2 C4 2 D无法确定 解析： 选 A 依题意得， S99a536b5a54， S1313a7104b7a78，所以 b6 4 2. 3已知数列an，bn满足 a11 且 an，an1是函数 f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10等于( ) A24 B32 C48 D
