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1、线性代数行列式（第一周）张晓平数学与统计学院 Email: Homepage:http:/ / 64目录1行列式简介2行列式的定义 二阶行列式 三阶行列式 n阶行列式的定义3行列式的性质张晓平线性代数2 / 64行列式简介1行列式简介2行列式的定义 二阶行列式 三阶行列式 n阶行列式的定义3行列式的性质张晓平线性代数3 / 64行列式简介行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已 经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明的。1683年，日本数学家关孝和在其著作解伏题之法中也提出了行 列式的概念与算法。解伏题之法的意思就是“解行列式问题的 方
2、法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列 式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作线性代数分析导引中，对 行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了 现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。张晓平线性代数4 / 64行列式简介行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已 经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明的。1683年，日本数学家关孝和在其著作解伏题之法中也提出了行 列式的概念与算法。解伏题之法的意思就是“解行
3、列式问题的 方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列 式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作线性代数分析导引中，对 行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了 现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。张晓平线性代数4 / 64行列式简介行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已 经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明的。1683年，日本数学家关孝和在其著作解伏题之法中也提出了行 列式的概念与算法。解伏题之法的
4、意思就是“解行列式问题的 方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列 式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作线性代数分析导引中，对 行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了 现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。张晓平线性代数4 / 64行列式简介在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐 述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家 范德蒙。 范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有深厚 的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。他
5、给出了用二阶子式和 它们的余子式来展开行列式的法则，就对行列式本身这一点来说， 他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推 广了他的展开行列式的方法。继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出贡献的就是另一 位法国大数学家柯西。1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的 第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的 乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标 记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式的概念； 改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。张晓平线性代数5 / 64行列式简介在行列式的发展史上
6、，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐 述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家 范德蒙。 范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有深厚 的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。他给出了用二阶子式和 它们的余子式来展开行列式的法则，就对行列式本身这一点来说， 他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推 广了他的展开行列式的方法。继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出贡献的就是另一 位法国大数学家柯西。1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的 第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的 乘法定理。另外，他第一个
7、把行列式的元素排成方阵，采用双足标 记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式的概念； 改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。张晓平线性代数5 / 64行列式简介在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐 述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家 范德蒙。 范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有深厚 的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。他给出了用二阶子式和 它们的余子式来展开行列式的法则，就对行列式本身这一点来说， 他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推 广了他的展开行列式的方法。继范德蒙
8、之后，在行列式的理论方面，又一位做出贡献的就是另一 位法国大数学家柯西。1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的 第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的 乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标 记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式的概念； 改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。张晓平线性代数5 / 64行列式的定义1行列式简介2行列式的定义 二阶行列式 三阶行列式 n阶行列式的定义3行列式的性质张晓平线性代数6 / 64行列式的定义二阶行列式1行列式简介2行列式的定义 二阶行列式 三阶行列式 n阶行列式的定义3行列式的性质张晓
9、平线性代数7 / 64行列式的定义二阶行列式引例用消元法求解(a11x1+ a12x2= b1,a21x1+ a22x2= b2.消去x2得 (a11a22 a12a21)x1= b1a22 b2a12,消去x1得 (a11a22 a12a21)x2= b2a11 b1a11.若 a11a22 a12a216= 0 ，则x1=b1a22 b2a12 a11a22 a12a21,x2=b2a11 b1a11 a11a22 a12a21.张晓平线性代数8 / 64行列式的定义二阶行列式引例用消元法求解(a11x1+ a12x2= b1,a21x1+ a22x2= b2.消去x2得 (a11a22
10、a12a21)x1= b1a22 b2a12,消去x1得 (a11a22 a12a21)x2= b2a11 b1a11.若 a11a22 a12a216= 0 ，则x1=b1a22 b2a12 a11a22 a12a21,x2=b2a11 b1a11 a11a22 a12a21.张晓平线性代数8 / 64行列式的定义二阶行列式引例用消元法求解(a11x1+ a12x2= b1,a21x1+ a22x2= b2.消去x2得 (a11a22 a12a21)x1= b1a22 b2a12,消去x1得 (a11a22 a12a21)x2= b2a11 b1a11.若 a11a22 a12a216= 0
11、 ，则x1=b1a22 b2a12 a11a22 a12a21,x2=b2a11 b1a11 a11a22 a12a21.张晓平线性代数8 / 64行列式的定义二阶行列式二阶行列式由22= 4个数，按下列形式排成2行2列的方形 ?a11a12a21a22?,其被定义成一个数 ?a11a12a21a22?= a11a22 a12a21 D,该数称为由这四个数构成的二阶行列式。张晓平线性代数9 / 64行列式的定义二阶行列式aij表示行列式的元素。i为行标，表明该元素位于第i行；j为列标，表明该元素位于第j列。对角线法则a11a12a21a22?张晓平线性代数10 / 64行列式的定义二阶行列式类
12、似地，b1a22 b2a12=?b1a12 b2a22? D1b2a11 b1a21=?a11b1 a21b2? D2则上述方程组的解可表示为x1=D1 D,x2=D2 D.张晓平线性代数11 / 64行列式的定义二阶行列式例1求解二元线性方程组(3x1 2x2= 12,2x1+ x2= 1.解：因为D =?32 21?= 7 6= 0,D1=?122 11?= 14,D2=?312 21?= 21,因此， x1=D1 D= 2,x2=D2 D= 3.张晓平线性代数12 / 64行列式的定义二阶行列式例1求解二元线性方程组(3x1 2x2= 12,2x1+ x2= 1.解：因为D =?32 2
13、1?= 7 6= 0,D1=?122 11?= 14,D2=?312 21?= 21,因此， x1=D1 D= 2,x2=D2 D= 3.张晓平线性代数12 / 64行列式的定义三阶行列式1行列式简介2行列式的定义 二阶行列式 三阶行列式 n阶行列式的定义3行列式的性质张晓平线性代数13 / 64行列式的定义三阶行列式三阶行列式由32= 9个数组成的3行3列的三阶行列式，则按如下形式定义一个数D3=?a11a12a13a21a22a23a31a32a33?=a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33张晓平线性代数14
14、 / 64行列式的定义三阶行列式沙路法 a11a12a13a11a12a21a22a23a21a22a31a32a33a31a32+张晓平线性代数15 / 64行列式的定义三阶行列式沙路法 a11a12a13a11a12a21a22a23a21a22a31a32a33a31a32+张晓平线性代数15 / 64行列式的定义三阶行列式沙路法 a11a12a13a11a12a21a22a23a21a22a31a32a33a31a32+张晓平线性代数15 / 64行列式的定义三阶行列式例3计算D3=?124 221 342?解：由对角线法则可知，D3= 1 2 (2) + 2 1 (3) + (2)
15、4 (4)2 (2) (2) (4) 2 (3) + 1 1 4= 14.张晓平线性代数16 / 64行列式的定义三阶行列式例3计算D3=?124 221 342?解：由对角线法则可知，D3= 1 2 (2) + 2 1 (3) + (2) 4 (4)2 (2) (2) (4) 2 (3) + 1 1 4= 14.张晓平线性代数16 / 64行列式的定义三阶行列式例3求方程?111 23x 49x2?= 0解：行列式D = 3x2+ 18 + 4x 2x2 12 9x = x2 5x + 6由此可知x = 2或3。张晓平线性代数17 / 64行列式的定义三阶行列式例3求方程?111 23x 49x2?= 0解：行列式D = 3x2+ 18 + 4x 2x2 12 9x = x2 5x + 6由此可知x = 2或3。张晓平线性代数17 / 64行列式的定义三阶行列式 如果三元一次方程组a11x1+ a12x2+ a13x3= b1,
