《微分中值定理及其应用(20170921184606)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分中值定理及其应用(20170921184606)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微分中值定理摘要微分中值定理， 是微分学的核心定理，研究函数的重要工具，历来受到人们的重视。本文介绍了三个微分中值定理及其证明，并且举出几种中值定理的应用。关 键 词微分中值定理罗尔定理朗格朗日中值定理柯西中值定理1、引言人们对微分中值定理的认识上溯到公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中，得到这样的结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线的底”，这正是拉格朗日定理的特殊情况。希腊著名数学家阿基米德（Archimedes，公元前287前 221）正式巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积。人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了，按时历史顺序：1673 年著名法国数学家费马
2、（Fermat，16011665）在求最大者最小值的方法中给出费马定理， 在教科书中， 人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。1691年法多数学家罗尔(Rolle，16521719)在方程的解法 一文中给出多项式形式的罗尔定理。1797 年，法国数学家拉格朗日（Lagrange，17361813）在解析函数论中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西（Cauchy， 17891857） ，他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在无穷小计算教程概论中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在微分计算教程中将其推广为广义中值定理柯西定理，
3、从而发现了最后一个微分中值定理。2、中值定理及证明：1)Rolle 定理若fx在,a b上 连 续 ， 在,a b内 可 导 ， 且fafb， 则 至 少 存 在 一 点,a b，使0f。证明：因为f在 a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与 m 表示，现分两种情况讨论：(i) 若 M = m , 则f在 a,b 上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若 m M，则因f(a)=f(b) ，使得最大值M与最小值m至少有一个在 (a,b) 内某点 处取得，从而是f的极值点，由条件(ii) f在点 处可导，故由费马定理推知)(f=0. 2)Lagrange 定理若fx在,a b上 连 续
4、， 在,a b内 可 导 ， 则 至 少 存 在 一 点,a b， 使=fbfafba证明：作辅助函数a)(x abf(a)f(b)f(a)f(x)F(x)显然， F（a）=F(b) （=0） ，且 F在 a ，b 上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点(a ，b) ，使得0)()()()(abafbffF即abafbff)()()(注： 1、罗尔定理是拉格朗日中值定理)()(bfaf时的特例2、拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：),(),)()()(baabfafbf)1 ,0(),)()()(ababafafbf)1
5、, 0(,)()()(hhafafhaf3)Cauchy 定理设fx，g x在,a b上连续，在,a b内可导，且0gx，则至少存在一点,a b，使得fbfafg bg ag。 (1) 证明：构造辅助函数( )( )( )( )( )( ( )( ) ( )( )f bf aF xf xf ag xg a g bg a，易见F在 , a b上满足罗尔定理条件，故存在( , )a b，使得( )( )( )( )( )0( )( )f bf aFfgg bg a, （ 2）因为( )0g（若( )g为 0 则( )f同时为 0, 不符条件）故可将（2）式改写为 (1)式.便得所证 . 3、应用举
6、例 :1 可微函数 单调性判别法：一阶函数与单调性的关系(1) 设函数)(xf在区间),(ba内可导 . 则在),(ba内)(xf( 或 ) 在),(ba内0)(xf ( 或0 ). (2) 设函数)(xf在区间),(ba内可导 . 则在),(ba内)(xf ( 或 )）对),(bax有0)(xf ( 或)0; ）在),(ba内任子区间上.0)(xf2可微极值点判别法 : 2.1极值点的充分条件: 对每个稳定点 , 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.( 充分条件 ) 设函数)(xf在点0x连续 , 在邻域),(00xx和),(00xx内可导 . 则）在),(00xx内,0)(xf在),(0
7、0xx内0)(xf时, 0x为)(xf的一个极小值点; ） 在),(00xx内,0)(xf在),(00xx内0)(xf时,0x为)(xf的一个极大值点 ; ）若)(xf在上述两个区间内同号, 则0x不是极值点 . ( 充分条件 ) 设点0x为函数)(xf的稳定点且)(0xf存在 . 则）当0)(0xf时, 0x为)(xf的一个极大值点; ）当0)(0xf时, 0x为)(xf的一个极小值点. ( 充分条件 )设函数)(xf在0x某领域内存在直到n-1 阶导函数，在0x处 n 阶可导 ,）n为奇数时 , 0x不是极值点 ;）n为偶数时 , 0x是极值点 . 且0)(0)(xfn对应极小 ; 0)(
8、0)(xfn对应极大 . 2.2 利用单调性证明不等式 :原理: 若f, 则对, 有不等式)()(ff. 例 4证明 : 对任意实数a和b, 成立不等式.1|1|1bbaababa证： 取, 0 )1(1)().0(,1)(2xxfxxxxf在),0内)(xf . 于是 , 由|baba, 就有) | () | (bafbaf, 即|1|1|1|1|1|1|bbaababbaababababa. 不等式原理 : 设函数)(xf在区间),a上连续 , 在区间),( a内可导 , 且0)(xf; 又.0)(af则ax时, .0)(xf3 利用定理证明方程根（零点）的存在性例 ：若fx在,a b上
9、连 续 ， 在,a b内 可 导0a， 证 明 在,a b内 方 程222xfbfabafx 至少存在一根。分析：由于题目是要求方程222xf bfabafx是否有根存在，所以可以先对 方 程 进 行 变 形 ， 把 方 程 变 为2220xfbfabafx。 那 么 方 程222xfbfabafx有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有f x存在 ， 所 以 可 以 利 用 不 定 积 分 把 方 程2220xfbfabafx， 转 变 为2220fbfaxbafx。现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道fx在区间,a b上连续，在区间,a b内可导0a，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数222f bfaxbafx在,a b上连续 , 在,a b内可导0a，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。证明 : 令222Fxfbfaxbafx，显然Fx在,a b上连续 , 在,a b内可导，而22F af b ab f aF b. 根据 Rolle 定理 , 至少存在一点，使222fbfabafx. 参考文献1 欧阳光中朱学炎 . 复旦大学数学系. 数学分析第三版上册北京 : 高等教育出版社,2007.184-225. 2 华东师范大学数学系. 数学分析（上）第四版北京：高等教育出版社，2010.6 3 杨静化应用微积分北京：科学出版社 2005
