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1、本试卷共 4 页，本页为第1 页西南交通大学 2014-2015 学年第 ( 一) 学期期末考试试卷课程代码 6024100 课程名称概率与数理统计考试时间 120分钟题号一二三四五六七八总成绩得分阅卷人(0.80)0.7882，(2.27)0.9884，(2.327)0.9900，(3.24)0.9994，607.746一、 （10 分）已知某批产品的合格率为0.9。检验员检验时，将合格品误认为次品的概率为0.02，而一个次品被误认为合格的概率为0.05。求：（1）检查任一产品被认为是合格品的概率；（2）被认为合格品的产品确实合格的概率。解：以B记一个产品检查被认为合格的事件，以A记产品确实
2、合格的事件，则A，A构成一个完备事件组，0.9P A，0.1P A，|0.98P B A，|0.05P B A。于是：（1）由全概率公式，一个产品被认为合格的概率为|0.90.980.1 0.050.887P BP A P B AP A P B A。（2）由贝叶斯公式，被认为合格的产品确实合格的概率为|()|()0. 90. 9 8 0. 8 8 70. 9 9 4PABP A PBAP B。二、 （15 分）随机变量X的概率密度函数为cos ,|x|2,( )0,Axf x其他,求： （1）A的值； （2）( )F x； （3）04PX。解： （1）由22201cos2cos2AxdxAxd
3、xA，得1 2A。（2）当2x时，( )0F x；当2x时，( )1F x；当22x时， 2111( )cossin222x F xxdxx；所以0,x2,( )1 2sin2,2x2,1,2.f xxx（3）04(4)(0)2 4PXFF。班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线本试卷共 4 页，本页为第2 页三、 （10 分）电源电压在不超过200V、200240V 和超过240V 三种情况下，元件损坏的概率分别为 0.1，0.001和 0.2。设电源电压服从正态分布，2(220,25 )XN，求：（1）元件损坏的概率；（2）元件损坏时，电压在200240V 间的概率。解： （1）220
4、200220200( 0.8)1(0.8)0.21182525XP XP，2 0 02 2 02 2 02 4 02 2 0 2 0 02 4 0 2( 0 . 8 )10 . 5 7 6 42 52 52 5XPXP，2 2 02 4 02 2 02 4 0 12 4 0 11( 0 . 8 )0 . 2 1 1 82 52 5XPXPXP，由全概率公式知，元件损坏的概率为 0 . 10 . 2 1 1 80 . 0 0 10 . 5 7 6 40 . 20 . 2。 （2）由贝叶斯公式知，元件损坏时，电压在200240V 的概率为0. 5 7 6 40. 0 0 1 0. 0 6 4 10
5、. 0 0 9 0。四、 （15 分）设二维随机变量YX,具有概率密度2(),(0,),0xyCex yfx y其它试求（ 1）常数C；（2）YX,落在区域(,) |0,0,1Dx yxyxy内的概率。解：由概率密度的性质可知：2()0022001( , )()()4xyxyf x y dxdyCedxdyCCedxedy即=4C；112()00 ( ,)1112222(1)0002(,)( ,)442(1)13xxyx yDxxyxxPX YDf x y dxdydxedyedxedyeedxe本试卷共 4 页，本页为第3 页五、 （15 分）假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器
6、时，从这批元件中任取一只， 如是废品，则扔掉重新任取一只；如仍是废品，则扔掉再取一只。试求在取到正品之前，已取出 的废品只数的分布、数学期望和方差。 解：以X表示在取到正品前已取出的废品数，X是一随机变量，有三个可能的取值：0、1、2。 (1,2,3)kAki第 次取得的是正品，则由乘法定理有：1840()105P XP A122112881 ()(|)()10945P XP A AP AA P A12332121181212()(|) (|)()891045P XP A A AP AA A P AA P A由此可得X的分布律：X0 1 2 P45845145 根据定义，随机变量X的数学期望：
7、 4812()012545459E X随机变量X的方差：22224814()0125454515E X2288()()()405D XE XE X六、 （10 分）从次品率为 0.05的一批产品中随机地取200 件产品，试求取出的产品中至少有3 个 次品的概率。 解：设X表示取出的 200 件产品中的次品数，的数学期望和方差为：()2000.0510E Xnp，()(1)2000.05(10.05)9.5D Xnpp由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理得：31033100 101()()9.59.5 1( 2.27)( 3.24)0.989P XPX本试卷共 4 页，本页为第4 页七、 （10 分）设
8、某电话总机要为2000个用户服务，在最忙时，平均每户有3% 的时间占线，假设 各户是否打电话是相互独立的，且电话呼叫次数服从泊松分布，试求若想以99% 的可能性满足 用户的要求，最少需要设多少条线路？ 解：设电话交换台每小时呼叫次数为X，在每小时每户用线的概率0.03P，由泊松分布近似可取20000.0360np，因此，X服从参数60的泊松分布。设要求的最小线路数为m：00.99PXm()60E X，()60D X由泊松分布的正态逼近可得：260602 0 606016060600()()() 2606060mtmmPXmedt根据题意60()0.99 60m，可得：602.327 60m，从
9、而602.2377.74678.023m所以最少需要 79 条线路 八、 （15 分）设某种电子元件的寿命T服从参数的指数分布，今测得10个元件的失效时间为 1050，1100，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150，1150， 试求未知参数的最大似然估计值。 解：指数分布的密度函数为：0,00xexfx x作似然函数：11( )ni iinx xniLee，取对数得：1ln( )lnni iLnx令1ln( )0ni idLnxd，的极大似然估计值为11? ni inXX由样本的观测值得：10111(1050 1100 1080 1200 1300 1250 1340 1060 1150 1150)10101168i ixx所以，的最大似然估计值为1?0.000861168
