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1、板材冲压成形变形局部化与动边界摩擦约束板材冲压成形变形局部化与动边界摩擦约束*柳玉启 胡 平 陈塑寰 李运兴 （吉林工业大学，长春，130025）提提 要要本文提出适于具有强烈弯曲效应的大应变、大位移与界面摩擦三重非线性空 间曲壳有限元列式；给出一种动边界摩擦约束的元级代数消元方法。并就板材 在方盒型冲头作用下的冲压胀形过程，引入几种现代非经典塑性本构理论以及 空单元技术，研究了成形过程中的变形局部化与断裂问题。 关键词关键词：曲壳有限元，动边界摩擦约束，冲压胀形，空单元，变形局部化与断 裂1 前前 言言韧性金属板材的冲压胀形工艺是板料加工技术中一种重要的成形 方法。影响这种冲压过程及成形极限
2、的两个重要因素是冲头与板料 间的强烈界面摩擦以及在模具角部的弯曲效应。以往板材冲压加工工艺与模具设计主要依赖于工程技术人员的经 验。近年来，随着大型电子计算机技术的发展，计算机辅助设计在 许多方面已开始取代手工设计。其中，包含成形过程力学行为分析 的有限元模拟计算无疑是这一辅助设计中的关键环节。目前，国外已有许多文献报道了这方面的研究成果 1 10，其中以 Kobayashi 和 Kim 1、 Wang11、 Toh and Kobayashi 7以 及 Nakamachi 8等学者的工作最有代表性。由于板料成形问题的三重 高度非线性性质，求解工作有相当的难度，而且计算规模庞大。就 方盒型冲头
3、冲压成形问题而言，上述研究大多采用薄膜单元理论 , ,2 5 8 11。然而，成形过程中模具角部附近板材内外层变形特征明显 不同，单元的弯曲及剪切应力对板料力学行为有明显的影响。工程* 国家青年自然科学基金资助项目 本文联系人：柳玉启 吉林工业大学计算中心 长春（130025）1设计中最关心模角处的变形特性，膜理论往往会产生较大的数值误 差。另一方面，采用库仑摩擦定律时，以往界面滑动、摩擦约束条 件都是在构形刚度矩阵中同时约束 ,6 12，造成了刚度矩阵的非对称 性。使数值模拟的求解规模受到限制。基于上述讨论，本文采用可考虑横向剪切应力的曲壳单元模型， 引入弹塑性有限变形的虚功率增率型变分原理
4、，建立了适于模拟具 有弯曲效应的一类弹塑性大变形板壳结构有限元模型。并在单元平 衡方程中，将界面摩擦约束直接作用于单元平衡方程右端项，界面 滑动约束通过代数变换方法作用于单元刚度阵中，解决了由于库仑 摩擦引起的构形刚度矩阵的非对称性。这样，显著地降低了计算所 需内存，也减少了求解时间。本文方法为今后求解更大规模的板材 成形问题奠定了基础。板材冲压胀形过程的数值模拟对本构模型是敏感的。本文还将近年来国内、外学者提出的几种非经典失稳本构理论13 16引入有限元 列式，并与经典的Prandtl-Reuss理论进行比较，采用空单元技术， 结合实验分析 4，讨论了冲压胀形的变形局部化、断裂演化过程。2
5、曲壳单元列式曲壳单元列式2.1 运动学描述如图1所示，()X ii=12 3, ,为 空间固定直角坐标系，ei 为Xi的单位向量。曲壳单 元由上、下两个曲面及周 边以壳体厚度方向的直线 为母线的曲面所围成。()ii =12 3, ,为单元中面上的局 部 曲 线 坐 标() 11i。 于 是，壳单元内任一点p的 空间位置可表示为：()XpXh ViN iNNNN iNN=+33 2(1)X3X1X2pg3g2g1123e1e3 e2312Vi2N Vi3NVi1N1N 2N图1 单元几何形状2式中，3为厚向坐标；N为形函数；hN为N结点处的厚度；ViN3为 N结点中面的单位法向量；XiN为N结点
6、的中面坐标，可以由上、 下曲面相应的结点坐标XiNt和XiNb表示为：()XXXiN iNt iNb=+1 2（2）令ViN1和ViN2分别表示与ViN3相互正交的单位向量，则有VeV eViNiNiN11313= ; VVV VViNiN iNiN iN23131= （3）若ViN3与e1平行，则（3）式中用e2代替e1。假定壳体的中面法线变形之后仍保持为直线，则p点的位移()u ii=12 3, ,可由中面对应点沿Xi方向的3个线位移分量uiN及绕ViN1和ViN2的2个角位移()iNi =12 ,表示为：()()u puhVViN iNNNN iNN iNNN=+31 12 22（4）2
7、.2 速度梯度、应变率及应力率描述为描述单元内任一点的应力、应变状态，在p点处再引入一个随 体正交坐标系()x ii=12 3, ,（见图1）。gi为xi的单位向量。g3设定为p处 3等于常数的曲面法向，则g1和g2与曲面相切。3等于常数的曲面 由二组曲线族1和2组成。()ii =12 ,的切向量分别为：SX ii= 1; TX ii= 2（5）因此有gST STiiii3= ; geg eg11313= ; ggg gg23131= （6）若g3与e1平行，则用e2代替e1。于是，Xi与xi两坐标系间的转换关系为：3Xxiijj=; xXijij= （7）式中ijijge= 。忽略壳层横向挤
8、压正应力，于是在xi坐标下，厚向Cauchy应力 330=，且速度梯度lij和Cauchy应变率 BLvvT= （18） LxxxxxxxxT= 123213210000000（19） LL LLvvvvT= 11200 0000;Lxxxv1 123= ; Lxxv2 12= （20） =12LNe; Ne为单元结点数5NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNhVhVhVhVhVhV= 002200220022311312321322331332（21） QNNM= 00 0000; N= 11121321222331320;M=11122122（22）（15）式按常规方法组成构形刚度方
9、程 KDF vtdt22= &（31）式中， &ddddwNNNp= +12（32）由上式可求得与vt反向的切向量 t ()tA A n vA n vA n vA n vtttt= 1 312 321 112 22 （33）()()()AA n vA n vA n vA n vtttt=+ 11 312 2 322 1 112 222（34）如果采用库仑摩擦定律 &fftn= （35）则在Xi坐标系下单元切向摩擦力为 &fftft= （36）由于N点沿冲头表面切向滑动，因此法向力对N点不做功，N点 所受外力可认为只有切向力。实际上，单元接触点N沿冲头表面滑 动已在上节中对单元平衡方程约束处理得
10、到满足。所以，将单元上 接触结点摩擦外力率&ff直接引入虚功率增率有限元平衡方程的右端项，再按上节的约束方法处理单元接触结点的滑动约束，就可以 保证约束后的单元刚度矩阵仍保持对称性。3.3 接触判断及计算稳定性处理板料冲压成形数值模拟过程中，接触判断、约束处理及计算稳定 性是突出问题，为此采用了双重接触判断方法，以提高计算的稳定 性。首先根据构形结点到冲头的距离小于给定小常数的常规作法 搜索可能接触的结点，然后从这些可能接触结点中再找出法向外力9（构形上结点的外法向力）大于零的结点作为实际接触结点。这种 双重判断方法虽然增加了一些判断工作，却有效地提高了计算的稳 定性。4 计算结果与讨论计算结
11、果与讨论4.1 与实验结果的比较根据上述数学模型，编制了大变形曲壳有限元分析软件()SMFP Shell Metal ForgogramminPr。首先对方盒件冲压胀形过程进行了计算机模拟，并与文献4实验结果相比较。变形前成形几何结构示于图 3。利用结构对称性，取板料1 8部分计算，如图4。计算中取摩擦系 数= 0 15.，应变硬化律为=+Kn()0，n =0 227.为硬化指数， KMPa=563 5.，00 0001= .。本构方程中引入文献16的拟流动 理论，（10）式中的E由下式表示：EEE EE Eass =+ 1 211 21210tan （37）图4 有限元网格划分 （八分之一）
12、单元：209 结点：12653mm38mmR=6.4mmRP=7.1mm模具冲 头3 图初始模具几何结构100204060图4（b）OD方向应变分布工程应变距中心距离 （mm）0.10.20.30.40.5上表面计算值 下表面计算值实验值式中，E为弹性模量，Es为应力应变曲线的割线模量。计算中取 = 2 3n，an025=。依据实验，当冲头行程达到115. mm时，图4（a）和（b）分别绘 出与图3OA和OD方向的工程应变分布曲线。可以看出：计算 得到的a曲线（板材上表面应变）与实验结果有很好的一致性 （该实验实测的即为上表面应变），在冲头角部附近出现明显的应 变峰值。而下表面（b曲线）沿OA
13、方向的模具非接触区的应变 值高于上表面，沿OD方向也有同样结论。而在OA方向的冲头 角部接触区出现了明显的应变低谷，表明该部位压应变起主导作 用；OD方向的冲头角部附近，下表面仍呈拉应变状态。所有这 些均表明：强烈的弯曲效应产生的横向剪切应力起着重要作用。应 变分布趋势与工程实际状况是一致的。计算结果表明了本文数学模 型的有效性。4.2 胀形极限高度与变形局部化02040600.050.10图4（a）OA方向应变分布工程应变距中心距离 （mm）实验值上表面计算值 下表面计算值11板料胀形成形极限设计在工业应用中具有重要意义，而极限设计 往往与材料失稳及应变局部化过程演化，以至最终断裂位置与形貌
14、 联系在一起。众所周知：材料失稳对本构模型是十分敏感的。本节 将不同表达方式的模量参数表达式17引入（10）式，将文献13 16提出的J D2，J N2，J G2和QJ F2非经典塑性本构理论引入板 壳有限元模型，并结合经典的J F2理论，研究这些理论对冲压胀形 极限高度及变形局部化过程的影响。为了更合理有效地描述变形局 部化以至冲压件断裂的演化过程以及断裂位置与形貌，又引入了空 单元技术。在板材冲压成形中出现断裂时，几乎都同时产生材料厚 度的减薄20，所以不妨假定当变形过程中冲压件最薄处板厚为初始 板厚的1 2时，材料破坏。计算参数与上节相同。图5（a）（d） 绘出了由QJ F2理论计算得到的冲压胀形演化过程图。冲头行程 hmm=12 0.时（图5（b），冲压件开始出现应变局部化现象；当 冲头行程hmm=17 0.时（图5（c），在冲压件角部开始断裂；随 着变形的发展，断裂继续由角部向直边演化（图5（d）。最终将 以剪切带形式破坏。由于胀形过程中，板料周边固定，并与冲头顶 部、模角处接
