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1、 9新课程改革中新课程改革中 学生创新思维的培养学生创新思维的培养 福建仙游县第二中学 陈金瑞 数学课程标准指出:数学教育的目标 之一是应注重提高学生的思维能力,要培养 学生的创新意识和创新能力.因此,教师在教 学过程中要把思维方式教给学生,特别是创 新思维.在新课程改革的今天,如何培养学生 创新思维,仍然是一个值得探讨研究的课题. 本文结合教学和教改实践谈谈自己认识. 1 启迪联想,培养思维的发散性启迪联想,培养思维的发散性 联想是通过事物的共同点,把事物联系 起来的过程,通过联想可以了解事物内在的 联系.教师在教学过程中应精心设计问题,启 发学生丰富的想象力,巧妙变换,使学生的思 维向多方
2、面延展,以开阔思路,培养学生思维 的流畅性和发散性. 例例 1 已知5 4AB+=,求证(1tan)(1A+ tan)2B =(高中数学第一册(下)练习题). 学生练习之后,教师要抓住时机,及时诱 导联想,对问题进行不同层次的变形发散: (1)若4AB+=,则(1tan)(1tan)AB+ 2=成立吗?(成立). (2)若/4()ABkkZ+=+,则 (1tan)(1A+tan)2B+=成立吗?(成立). (3)若/4()ABkZ+= 或ABk+= /4()kZ,则结论又如何呢? (结论为(1tan)(1tan)2AB=) (4)上述各题中的逆命题成立吗? (5)(1tan1 )(1tan2
3、)(1tan44 )(1+?+ tan45 ) 的值等于多少? 这样把知识引向深处,培养了思维的发 散性,达到训练创新思维的目的. 2 反面思考,培养思维的逆向性反面思考,培养思维的逆向性 传统的数学课堂教学比较注重正向思维训练,而较少关注逆向思维训练,导致学生在 思考问题时,习惯由因导果,由已知直接推出 未知.教师要重视培养学生思维的逆向性,借 助问题情景,引导学生遇到问题不只是从正 面去想,还要从反面去考虑.有时若“颠倒”进 行逆向思考,往往会发现自己末曾认识或解 决的问题,触发其创新思维的萌芽与发展. 例例 2 设集合2|44AxR xaxa=+ 3 0=,22|(1)0BxR xaxa
4、=+=,Cx= 2|220R xaxa+=, 且ABC ,求 实数a的取值范围. 分析分析 若直接正面解决的问题:即集合 A、B、C至少有一个不等于空集,解法较为 麻烦.但从反面考虑:若ABC= ,即集合 A、B、C都等于空集,此时三个方程均无实 根,则24430,aa+22(1)40aa,2a+ 20a,解不等式组得3/21a ,所以a的 取值范围是(, 3/2 1,) +. 显然解法 简单多了. 例例 3 已知,x y满足,225945xx+=.求:U 22223(1)(2)(2)2xyxy=+的最小值. 分析分析 许多学生用消元法或参数法,都非常 繁杂.我们观察题目特点,数形结合逆向思考
5、:设 ( , ),(2,0),(1,2)P x y FA,则| 3| /2UPAPF=+,显然点P为椭圆22/9/51xy+= 上的点,点A 为椭圆内一点,点F是椭圆的右焦点,且椭圆 的离心率2/3e=.设P到椭圆右准线的距离 为d,根据椭圆的定义得|2 /3PFedd=,所 以,U=|PAd+.易求得点A到椭圆右准线的 距离为7/2,即U的最小值是7/2.解题简明, 富有创意. 逆向思维是相对顺向思维而言,是顺向 思维定势的拓展,是突破顺向思维定势消极 影响的积极的策略,进行逆向思维训练对学 生创新思维的培养具有重要的作用. 3 建构类比,培养思维的迁移性建构类比,培养思维的迁移性 类比是创
6、造性解决问题的一种方法,通 过问题或方法的类比,把某一对象中的有关 知识或结论推移到另一对象中去.教师若能 恰当地运用类比的方法,则可以有效地激发 学生思维的迁移性,培养他们对问题的结构10等特点进行敏锐观察和深入分析的能力,使 学习有效地向新的情景迁移,真正地把它纳 入到原认知结构中去. 例例 4 设,2kk +,k ,Z且cosa+sinbc=,cossinabc+=, 求证: cossincos222abc =+. 分析分析 引导学生观察题中等式结构特点, 与直线方程axbyc+=类比,可知点(cos ,A sin),(cos,sin)B在直线axbyc+=上.易证:点A、B在直线cos
7、sin22xy+ cos2=上,所 以 两 直 线axbyc+=和cossincos222xy+=重合,其对应系数成比例,等式即获证.这种思维显然 是类比的结果. 在立体几何中也有不少立体图形的性质 及解题方法与相应的平面图形的性质及解题 方法相类似.恰当地运用类比,不仅能够加深 对空间图形的认识,启发解题思路,而且能够 培养学生对图形的迁移意识. 例例 5 求证:正三棱锥ABCD内一点P 到各面的距离和为定值. 分析分析 在“求证正三角形ABC内一点到 各边距离和为定值”的问题中采用等面积 法:PABPACPBCABCSSSS+=,通过类比创 新,将平几问题的解法“移植”到立几问题上, 用等
8、体积法:P ABCP ABDP ACDP BCDVVVV+ =A BCDV,使问题很快得到解决. 4 突破常规,培养思维的变通性突破常规,培养思维的变通性 思维灵活变通不局限于一种方式,能随 机应变从不同侧面不同角度多方面考虑问题, 能克服思维的单一性,做到灵活多变.学生在 学习过程中受已有知识或经验影响,往往会 导致思维的刻板僵化,形成消极的定式思维 障碍.教师要善于捕捉与构想能克服定式思 维的思维信息,设计能激发学生探究心理、打破思维定势的问题,启发学生从新的角度新 的切入点去探索思考,优化解题. 例例 6 求经过点(2, 3)P,且与直线2xy+ 0=相切于点(1, 2)M的圆的方程.
9、分析分析 解这个问题的一般思维方法是先 设圆的标准方程,再由已知条件布列方程组 求圆心坐标和圆的半径.但这种方法计算比 较麻烦,学生容易算错.若改变一下角度来分 析这个问题,则发现可以把点(1, 2)M看作点 圆22(1)(2)0xy+=,这样所求的圆就是过 已知直线与点圆交点的圆,可设所求的圆的 方程为22(1)(2)(2)0xyxy+=,由圆 过(2, 3)P,解得2= ,即得所求的圆的方程 是226250xyxy+=. 这种解法新颖、独特、富有创新性,表现 出思维的灵活性和科学的想象力. 例例 7 求双曲线 22(2)(2)xy+= 2|3x41|y+/3的离心率. 分析分析 学生往往通
10、过化简方程的途径来 求解,使问题变得复杂.若打破思维定势,另辟蹊径,将方程变形为22(2)(2)10 |341| /53xy xy+=+,由双曲线的定义可知双曲线的离心率是10/3. 方法简便,思维深刻. 5 探索引伸,培养思维的独创性探索引伸,培养思维的独创性 思维的独创性体现在思维独特,能对事 物表现出超乎寻常见解,广开思路整合创新. 教师在教学过程中要有意识地拟定一些问题, 引导学生讨论酝酿、集思广益后自己提出一 些独创性的见解或方法,在探索中迸发出创 新的火花. 例例 8 设( )yf x=是定义在R上的任一函 数.求证:( )( )()F xf xfx=+是偶函数,( )G x (
11、)()f xfx=是奇函数. 分析分析 对本题教师可进一步引导学生探 究 思 考,观 察 发 现( )( )2 ( )F xG xf x+=,即 ( )( )/2f xF x=( )/2G x+,通过整合得出一个 新命题:若函数( )f x的定义域关于原点对称,11则它可表示为一个偶函数与一个奇函数之和. 并探索出新命题的证法构造法,培养了 学生的独创性. 例例 9 若对0,1xx的一切实数,都有 1( )()1xf xfxx+=+ .求( )f x. 分析分析 按常规解法进行两次替代,此题无 法解决.首先启发学生取特殊值探究实验:若2x =,则1(2)( )32ff+=;若1 2x =,则1
12、( )2f+ 3( 1)2f =;若1x = ,则( 1)(2)0ff+=.再探究发现:(2)f经过三次运算还原.最后产生解法:分别用x、1x x、1 1x代入已知等式得 1( )()1xf xfxx+=+ , 11()()1xffxx+=11x x+ , 11()( )111ff xxx+=+, 消去1()xfx和1()1fx得 321()2(1)xxfxxx=. 这样在探究的活动中发现规律猜想结论, 形成思路创造方法,体现了思维的独创性. 总之,我们要感悟并实践新课程,在教学 过程中精心安排教材、设计教法,充分重视各 种思维能力间的联系和渗透,有的放矢地进 行思维训练,在引导学生开展各种丰
13、富多彩 的探索活动中,培养他们的创新思维,发展他 们的创新能力,为他们的可持续性发展创造 条件. (接P4) 参考文献 1 唐瑞芬等.数学教学理论选讲.华东师范大学出版 社. 2 马复.设计合理的数学教学.高等教育出版社. 3 周春荔等.数学创新意识培养与智力开发.首都师 范大学出版社. 4 顾泠沅.教学改革的行动与诠释.人民教育出版社 5 R.柯朗等.什么是数学.复旦大学出版社. 浅谈在数学习题教学中浅谈在数学习题教学中 培养学生观察思维的一些尝试培养学生观察思维的一些尝试 福建石狮永宁中学 曹水荣 观察是思维的起点,世界上许多的发明、 创造始于观察.所谓观察就是以人们的感知 为基础,有目的
14、、有选择地认识事物的本质和 规律的一种方法.数学观察则是人们对数学 问题在客观情境下考察其数量关系及其图形 性质的方法.解答数学问题首先要从观察开 始,通过观察对已得到的信息,联系已有的知 识,经过思维分析,求出未知条件.因此问题的 解决取决于观察是否全面细致,方法是否正 确,否则就会造成对问题“束手无策”或“会 而不对”,“对而不全”的现象. 在教学中,我们常发现有的学生对审题 重视不够,观察不够细致,匆匆一看就急于下 笔,以至对题目的条件和要求还没吃透就解 题,其结果是解错或半途而废. 例例 1 (2005年福建省高考试题第14题):非负实数, x y ,满足240, 30.xy xy+
15、+则3xy+的最大值为_. 这是一道容易题,多数学生看完题目后 都觉得会做,不加思考就求出直线24xy+ 0=与直线30xy+=的交点坐标(1,2),然 后代入得到7.这就是学生没有进行细致的观 察,忽略了“非负实数”条件而产生的错误, 另一方面,没有画图或只是画一个草图,导致 判断错误,结果是会而不对,后悔莫及.(本题正 确答案是9,解略.) 教学中还发现,有的学生只是单纯的做 题或纯粹的“模仿”,不善于做解题后的“回 顾”和“反思”,对例题和做过的题目中所体 现的数学思想和方法,没有再作深层次的思 考和总结,往往只要问题的背景或结论稍微 改变,就观察不出问题的本质而使得解答错 误或繁琐.
