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1、第二章 静电场本章内容：电磁场的基本理论应用 到最简单的情况：电荷静止，相应 的电场不随时间而变化的情况。本章研究的场源问题：在给定的自 由电荷分布以及周围空间介质和导 体分布的情况下，求解静电场。静电场的基本特点：边值关系：等均与时间无关（， 为唯一解）不考虑永久磁体（） 基本方程：1. 静电场标势微分方程 2. 唯一性定理 3. 分离变量法 4. 镜像法 5. 格林函数法 6. 电多级矩本章具体内容：2.1 静电势及其微分方程一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系 三静电场的能量本节主要内容在静止情况下，电场与磁场无关， 麦氏方程组的电场部分为这两方程连同介 质的电磁性质方 程是解
2、决静电问 题的基础。静电场的无旋性是它的一个重要特 性，由于无旋性，我们可以引入一 个标势来描述静电场，和力学中用 势函数描述保守力场的方法一样。一、静电场的标势把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对它所作的功为这功定义为P1点和P2点的电势差。 若电场对电荷做了正功，则电势下降 。由此由这定义，只有两点的电势差才有 物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。参考点的选择是任意的， 在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无 穷远点作为参考点。令()=0有无旋性的积分形式是电场 沿任一闭合回路的环量等 于零，即设C1和C2为P1和P2点的两 条不同路径。C1与C2合成 闭合回路，因此电荷
3、由P1点移至P2点时电场 对它所作的功与路径无关， 只和两端点有关。相距为dl的两点的电势差由于因此，电场强度E 等于电势 的负梯度当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已 知电势时，通过求梯度就可以求得电场强度。点电荷Q激发的 电场强度其中r为源点到场点 的距离。把此式沿径 向场点到无穷远点积 分，电势为一组点电荷Qi激发的 电势若电荷连续分布，电荷密度 为，设r为源点x到场点x的 距离，则场点x处的电势为二、静电势的微分方程和边值关系均匀各向同 性线性介质代入其中为自由电荷密度。泊松方程是静电势满足的基本 微分方程。给出边界条件就可以确定电势的解。得泊松方程通过转换获得两介质界 面上电势
4、必须满足边值 关系法向电场不连续电荷沿法线方向移动, 切 线分量不做功，沿法线 方向做功为零（因电场 有限，且间距趋于零）导体的特殊性1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；2、导体内部电场为零；3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 等势面，整个导体的电势相等。设导体表面所带电荷面密度为，设它外面的介质电容率 为，导体表面的边界条件为三、静电场能量由E=-和D=得因此式中右边第二项散度体积分化为面积分所以例1 求均匀电场E0的电势。均匀电场每一点强度E0 相同，其电场线为平行 直线。选空间任一点为 原点，并设该点上的电 势为0，那么任一点P处 的电势为解xyz PR若选0=0，
5、则有其中x为P点的位矢。注意均匀电场可以看作由无穷 大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域内 ，因此不能选()=0.例2 均匀带电的无限长直导线的电荷线 密度为，求电势。如图，设场点P到导线 的垂直距离为R，电荷 元dz, 到P点的距离为解积分结果无穷大，无穷大的出现和电荷和 电荷不是有限区域内的分布有关。则计算两点P和P0的电势差可以不出现无穷大。设P0点 与导线的垂直距离为R0，则P点和P0点的电势差为若选P0点为参考点，规定，取的梯度得则例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。整个导体为等势 体, 导体球的电荷分布于球面上因此静电场总能量为解方法之一: 按电荷分布方法之二: 按电场分布因为球内电场为零， 故只须对球外积分
