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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 1 随机变量随机变量 一、随机变量的一、随机变量的概念概念 1. 概念的产生概念的产生 (1)有些试验的结果与数值有关有些试验的结果与数值有关. 实例实例1 每天，北京西站的到站旅客人数每天，北京西站的到站旅客人数. 实例实例2 从一批灯泡中任取一只，测试其寿命从一批灯泡中任取一只，测试其寿命 （单位：小时）（单位：小时）. (2) 在有些在有些试验结果试验结果的的看起来看起来与数值无关与数值无关， 但但我们我们可以将试验可以将试验结果数值化结果数值化. 实例实例3 从一批产品中有放回地抽取三件从一批产品中有放回地抽取三件， 观察观察正品、次品出
2、现的情况正品、次品出现的情况. 设设X 表示三次抽取中出现的表示三次抽取中出现的次品数次品数. 正正正正正正 正正次正正次 正次正正次正 正次次正次次 次正正次正正 次正次次正次 次次正次次正 次次次次次次 样本空间样本空间 0 1 2 3 R 2. 定义定义 R 随机变量随机变量X 是定义在是定义在样本空间样本空间S上上的实的实值值 函数，对函数，对每一个样本每一个样本点点e S, X(e)是是一一个实数个实数. Random Variable, 简记为简记为 r.v. 3. 随机变量与普通函数的区别随机变量与普通函数的区别 4. 引入随机变量的引入随机变量的意义意义 e . S X(e)
3、下面看几个随机变量的例子下面看几个随机变量的例子. 例例1 掷掷一枚硬币一次，观察正反面出现的一枚硬币一次，观察正反面出现的情况情况. 样本空间样本空间 H,T . 定义定义 X 表示正面出现的次数表示正面出现的次数，则，则 . , 1, 0出现正面出现正面出现反面，出现反面，X .H , 1T , 0)( ，X通常通常，在许多实际问题中，一个随机变量，在许多实际问题中，一个随机变量X 的的 含义含义是十分清楚是十分清楚的，一般不再强调随机变量的，一般不再强调随机变量X 在在样本空间上是如何定义样本空间上是如何定义的，只的，只在必要的在必要的时候时候 才才将将自变量写出自变量写出来来. 注：注
4、： 在在同一个样本空间上可以定义不同的随机同一个样本空间上可以定义不同的随机 变量变量. 例例 掷一颗骰子，定义掷一颗骰子，定义X 表示出现的点数表示出现的点数. 还还可以可以定义定义 . , 0, , 1 出现奇数点出现奇数点出现偶数点出现偶数点Y . 6, 0 , 6 , 1出现点数不为出现点数不为出现点数为出现点数为Z而表示随机变量所取的而表示随机变量所取的值时值时, 一般一般采用小写字母采用小写字母x,y,z等等. 随机变量通常用随机变量通常用大写字母大写字母 X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示 从从某一学校随机选一学生，测量他的某一学校随机选一学生，测量他的身高身高 ( 单
5、位单位: 米米). 可以可以把可能的身高看作把可能的身高看作随机变量随机变量 X, 然后然后可以提出关于可以提出关于X的各种问题，如的各种问题，如 P (X1.7) =？ P(X1.5) =? P (1.5身高身高 例例4 从一大批产品中任取从一大批产品中任取10 件件， 设设 X 表示表示取出取出的的 10 件产品中所含的次品数件产品中所含的次品数. 例例5 上午上午 8:009:00 在某路口观察在某路口观察， 设设Y 表示表示该时间间隔内通过的汽车数该时间间隔内通过的汽车数. 例例6 设设 Z 表示某型号灯泡的寿命（单位表示某型号灯泡的寿命（单位: 小时）小时）. 第二章第二章 随机变量
6、及其随机变量及其分布分布 若随机变量若随机变量 X 的所有可能取值是有限个的所有可能取值是有限个 或可列无限多个或可列无限多个, 则称则称 X 是是离散型随机变量离散型随机变量. 1 随机变量随机变量 2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布律律 3 随机变量的随机变量的分布函数分布函数 4 连续型随机变量及其连续型随机变量及其概率密度概率密度 5 随机变量的函数的随机变量的函数的分布分布 2 离散型随机变量离散型随机变量 一、离散型随机变量及其分布律一、离散型随机变量及其分布律 1.定义定义 设随机变量设随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为 xk(k=1,2,), X取各个可能
7、值的概率为取各个可能值的概率为 PX= xk= pk , k=1,2, ， 上上式称为离散型随机变量式称为离散型随机变量X的分布律的分布律. 设设X 是离散型随机变量，是离散型随机变量，其其分布律分布律为为 PX= xk= pk , k=1,2, ， kk pppPxxxX2121 kk pppxxxX2121性质 . 1) 2(, 0) 1 (1 kkkpp例例1 X 5 6 7 8 9 10 P 1 2525 25215 25235 25270 252126 252从从 110 这这 10 个数字中随机取出个数字中随机取出 5 个数字个数字， X 表示取出的表示取出的 5 个数字中的最大值
8、个数字中的最大值. 试求试求X 的分布律的分布律. 解解 X 的可能取值为的可能取值为 ,10, 6 , 5,)(5 104 1 kCCkXPk5，6，7，8，9，10. 课堂课堂 例例2 X 0 1 2 3 4 5 P 1 163 161 164 163 164 16则则 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为 )2( XP)3( XP)2() 1()0( XPXPXP.165 161 163 161 )5()4( XPXP.167 164 163 )35 . 0( XP)2()1( XPXP.41 161 163 例例3 设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为
9、, 2 , 1,41)( ncnXPn试确定常数试确定常数c. 解解 由由分布分布律律的的性质，得性质，得 )(11nXPn nnc 411 41141 c所以所以c=3. ,31c 例例4 一汽车在开往目的地的道路上需经过四一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏盏 信号灯信号灯，设每盏信号灯均以概率，设每盏信号灯均以概率 p禁止汽车禁止汽车通过，通过， (设信号灯的工作是相互独立的设信号灯的工作是相互独立的). 以以X 表示汽车首次停下时，它已通过的信表示汽车首次停下时，它已通过的信 号灯的盏数，求号灯的盏数，求 X 的的分布律分布律. PX=3=(1-p)3p 解解: 以以 p 表示每盏信号
10、灯禁止汽车通过的概率，表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率， 则则 X 的的分布律为分布律为 0 1 2 3 4 X pk p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 或或 PX= k = (1- p)k p， k = 0,1,2,3, PX= 4 = (1-p)4 . 若若 p = 1/2 ，则，则 X pk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 二、常见的离散型随机变量及其概率分布二、常见的离散型随机变量及其概率分布 1. （0-1）分布分布 (1)定义定义 若随机变量若随机变量 X 只可能取只可能取 0 或或 1 两个值两个值， 0
11、p1，其分布律为，其分布律为 ppPX 110则称则称X 服从服从参数为参数为 p 的（的（0-1）分布或）分布或两点分布两点分布. (2)分布律的分布律的验证验证 (3)概率概率背景背景 (3) （0-1）分布分布的的概率概率背景背景 一般地，在一次试验中我们只考虑两个互一般地，在一次试验中我们只考虑两个互逆逆 的的结果结果 A或或 ，或者形象地把两个互逆结果，或者形象地把两个互逆结果叫做叫做 “成功”“成功”和“失败”和“失败”. 这样的试验称这样的试验称伯努利伯努利 （Bernoulli）试验）试验或或伯努利概型伯努利概型. A.1)()(pAPpAP ， 则， 则设 设 . , 1,
12、, 0发生发生若事件若事件未发生未发生若事件若事件AAX设设X 表示在一次试验中事件表示在一次试验中事件A 发生的次数发生的次数. 在在 15 件产品中有件产品中有 4 件次品，件次品，11 件正品件正品， 从中从中任取任取 1 件，件， X 表示次品数表示次品数. 则则X 的取值为的取值为 0 或者或者 1. ,1511)0( XP.154)1( XP例例5 .154, 1 BX2. 二项分布二项分布 (Binomial分布分布) (1) 概率概率背景背景 将伯努利试验独立重复地进行将伯努利试验独立重复地进行n次，次，则则 称这称这一串独立重复试验为一串独立重复试验为n重伯努利试验重伯努利试
13、验或或 n重伯努利重伯努利概概型型. 这种概率模型对试验这种概率模型对试验要求要求 (2) “独立”是“独立”是指各次试验，相互之间不指各次试验，相互之间不影响影响. (3)“重复”“重复” 是指这个试验中各次试验条件相同，是指这个试验中各次试验条件相同， P (A) = p， (1)每次每次试验只考虑两个互逆结果试验只考虑两个互逆结果A或或 ,A.1)(pAP 由由n重伯努利概型的重复性与独立性可知：重伯努利概型的重复性与独立性可知： 事件事件A在某指定的在某指定的k次发生次发生,在另外的在另外的n-k次不次不 发生的概率为发生的概率为 .)1 (knkpp 种，种，k nCA恰好发生恰好发
14、生k次的情况共次的情况共 且它们两两互斥且它们两两互斥. A恰好发生恰好发生k次的次的 概率为概率为 .)1 (knkk nppC 用用 X 表示表示n重伯努重伯努利利概型概型中中事件事件 A 出现的次数出现的次数， 则则 ., 2 , 1 , 0,)1 ()(nkppCkXPknkk n (2) 定义定义 如果随机变量如果随机变量 X 有如下有如下的分布律的分布律 ),10(, 2 , 1 , 0,)1 ()( pnkppCkXPknkk n 则称则称X 服从服从参数为参数为 n和和 p的二项分布的二项分布, 记记 X b (n, p) 或或 X B(n, p). (3)分布律的分布律的验证验证 nkkXP0)( nk
