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1、第3章 逻辑函数运算规则及化简逻辑函数运算规则及化简 3.1 概 述 逻辑函数的表示方法如下：设输入逻辑变量为A、B、C、 ，输出逻辑变量为F。 当A、B、C、 的取值确定后，F的值就被唯一的确定下来，则称F 是A、B、C、 的逻辑函数，记为：F=f（A，B，C， ） 逻辑变量和逻辑函数的取值只能是0或1，没有其它中间值。 逻辑函数 真值表逻辑表达式逻辑图波形图和卡诺图3.2 逻辑代数的运算规则 3.2.1 逻辑代数基本公理 公理1：设A为逻辑变量，若A0，则A1；若Al，则A0。这个公理 决定了逻辑变量的双值性。在逻辑变量和逻辑函数中的0和1，不是数 值的0和1，而是代表两种逻辑状态。 公理
2、2：。式中点表示逻辑与，在用文字表述 时常省略；加号表示逻辑或。 公理3：。 公理4：。 。 公理5： ； 。 3.2.2 逻辑代数的基本定律 （1）0-1律： 。 （2）自等律： 。 （3）重叠律： 。 （4）互补律： 。 （5）还原律： 。 （6）交换律： 。 （7）结合律： 。 以上各定律均可用公理来证明，方法是将逻辑变量分别用0和1 代入，所得的表达式符合公理2至公理5。 3.2.2 逻辑代数的基本定律 （8）分配律：加（逻辑或）对乘（逻辑与）的分配律证明如下： 3.2.2 逻辑代数的基本定律 （9）吸收律： 证明： (10) 等同律： 证明： 3.2.2 逻辑代数的基本定律 （11）
3、反演律（摩根定理） 采用真值表法证明，反演律成立。000011001101001110111100BAA B3.2.2 逻辑代数的基本定律 （12）包含律： 3.2.3 摩根定理 （1）逻辑变量“与”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“或”运算。 用公式表示如下： （2）逻辑变量“或”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“与”运算。 用公式表示如下： 上述两个定理也适用于多个变量的情形，如： 3.2.3 摩根定理 【例3-1】 应用摩根定理化简逻辑函数 解：反复应用摩根定理可得： 3.2.4 逻辑代数的基本规则 1代入规则 例 : A（B+C）=AB+AC，等式中的C都用（C+D）代替，该逻
4、辑等式仍然成立，即A（B+（C+D）=AB+A（C+D） 任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都 代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。 3.2.4 逻辑代数的基本规则 2反演规则 对于任何一个逻辑表式F，若将其中所有的与“ ”变成或“+”， “+”换成“ ”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变 量换成原变量，则得到的结果就是 。 原则： (1) 注意保持原函数中的运算符号的优先顺序不变。 【例3-2】 已知逻辑函数 ，试求其反函数。 解： 而不应该是 2反演规则 原则： (2) 不属于单个变量上的反号应保留不变。或不属于单个变量上的 反号下面的函数当
5、一个变量处理。 【例3-3】 已知 , 求 。 解法一： 解法二： 3对偶规则 对于任何一个逻辑表达式F，如果将式中所有的“ ”换成“+”，“+” 换成“ ”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，原表达式中 的运算优先顺序不变。那么就可以得到一个新的表达式，这个新的表达 式称为F的对偶式F*。 【例3-4】 已知 ，求 。解： 【例3-5】 已知 ，求 。解： 3对偶规则 对偶式的两个重要性质： 性质1：若F（A，B，C，）=G（A，B，C，），则 F*=G* 性质2：（F* ）*= F 【例3-6】 证明函数 是一自对偶函数。 证明： 3.3 逻辑函数表述方法 3.3.1 逻
6、辑代数表达式 3.3.2 逻辑图表述 【例3-7】 分析图3-1逻辑图的逻辑功能。解：由图可知 A BSC图 3-1 例3-7的逻辑图 3.3.3 真值表表述 【例3-8】 列出函数Y=AB+BC+CA的 真值表。 解： 表3-2 例3-8的真值值表ABCY00000010010001111000101111011111从真值表中可以看出，这 是一个多数表决通过的逻辑函 数，当输入变量A、B、C中有 两个或两个以上为1时，输出 变量Y为1。 3.3.4 卡诺图表述 (a) 2变量卡诺图 (b) 3变量卡诺图 (c) 4变量卡诺图 图3-2 2、3、4变量的卡诺图 m20m21m23m22m18
7、m19m17m1610m28m29m31m30m26m27m25m2411m12m13m15m14m10m11m9m801m4m5m7m6m2m3m1m000100101111110010011001000CDE AB图3-3 5变量的卡诺图 3.4 逻辑函数的标准形式 3.4.1 最小项表述 1最小项的定义 设有n个变量，它们所组成的具有n个变量的“与”项中，每个变量以原变 量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，则这个乘积项称为最小项。 2最小项的性质 (a) 对于任何一个最小项，只有对应的一组变量取值，才能使其值为“1”。 (b) 相同变量构成的两个不同最小项逻辑“与”为“0”。 (c)
8、 n个变量的全部最小项之逻辑“或”为“1”，即： (d) 某一个最小项不是包含在逻辑函数F中，就是包含在反函数中。 (e)n个变量构成的最小项有n个相邻最小项。 (f) 例， 与 是相邻最小项。 3.4.2 最大项表述 1最大项的定义设有n个变量，它们所组成的具有n个变量的“或”项中，每个变量以原 变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，这个“或”项称为最大项。 2最大项的性质 (a) 对于任何一个最大项，只有对应的一组变量取值，才能使其值为“0”。 例，只有变量ABCD=0000时（每一变量都为0时），才有A+B+C+D为“0”。 (b) 相同变量构成的任何两个不同最大项逻辑“或”为“1”
9、。 例，M4+M6= (c) n个变量的全部最大项之逻辑“与”为“0”，即： (d) 某一个最大项不是包含在逻辑函数F中，就是包含在反变量 中。 (e) n个变量构成的最大项有n个相邻最大项。 例， 与 是相邻最大项。 3最小项与最大项的关系下标i相同的最小项与最大项互补，即 。 例如， ，即为： 。 3.4.3 标准与或表达式 【例3-9】将 展开为最小项之和的形式。 【例3-10】将 写成标准与或表达式。 。 3.4.4 标准或与表达式 【例3-11】将 =m（0，2，3，6）展 开为最大项之积的形式。 【例3-12】 将 写成标准或与表达式。 3.4.5 两种标准形式的相互转换 对于一个
10、n变量的逻辑函数F，若F的标准与或式由K个最小项相 或构成，则F的标准或与式一定由 个最大项相与构成，并且对 于任何一组变量取值组合对应的序号i，若标准与或式中不含mi，则 标准或与式中一定含Mi。 【例3-13】 将标准与或表达式 表示为 标准或与表达式。3.4.6 逻辑函数表达式与真值表的相互转换 1由真值表求对应的逻辑函数表达式 M7M6M5M4M3M2M1M0m0m1m2m3m4m5m6m7011101000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1最大项最小项FA B C表3-3 真值表 3.4.6 逻辑函数表达式与真值表的相互转换 2由逻辑函数表
11、达式求对应的真值表 步骤 在真值表中列出输入变量二进制值的所有可能取值组合 将逻辑函数的与或（或与）表达式转换为标准与或（或与）形式 将构成标准与或（或与）形式的每个最小项（最大项）对应的输出 变量处填上1（0），其它填上0（1） ：111； ：110； :011 在真值表中，输入变量二进制值111、110、011对应的输出变量 处填上1，其它填上0即得该函数的真值表。 例， 3.5 逻辑代数化简法 3.5.1 并项化简法 【例3-14】 化简 【例3-15】 化简 【例3-16】 化简 3.5.2 吸收化简法 【例3-17】 化简 【例3-18】 化简 【例3-19】 化简 3.5.3 配项
12、化简法 【例3-20】 化简 【例3-21】 化简 方法 3.5.3 配项化简法 【例3-22】 化简 方法 3.5.4 消去冗余项化简法 【例3-23】 化简 【例3-24】 化简 【例3-25】 化简 3.5.4 消去冗余项化简法 【例3-26】 化简 3.5.4 消去冗余项化简法 【例3-27】 化简 解：(1) 先求出F的对偶函数，并对其进行化简 ： (2) 求 的对偶函数，便得F的最简或与表达式: 3.6 卡诺图化简法 3.6.1 与或表达式的卡诺图表示 【例3-28】用卡诺图表示下面的标准与或表达式：101010111001000010CD ABABCABCABC图3-4 标准与或
13、表达式的卡诺图 解 ：3.6.1 与或表达式的卡诺图表示 【例3-29】 用卡诺图表示逻辑函数：解： 图3-5 非标准与或表达式的卡诺图例子 3.6.1 与或表达式的卡诺图表示 【例3-30】用卡诺图表示逻辑函数： 图3-6 非标准与或表达式的卡诺图 解：在变量A、D取值均为00 的所有方格中填入1；在变量B 、C取值分别为0、1的所有方 格中填入1，其余方格中填入0 。 3.6.2 与或表达式的卡诺图化简 1卡诺图化简原理 图3-7 逻辑相邻最小项的概念 m10m11m9m810m14m15m13m1211m6m7m5m401m2m3m1m00010110100CD AB3.6.2 与或表达式的卡诺图化简 2卡诺图化简的步骤 步骤1：对卡诺图中的“1”进行分组，并将每组用“圈”围起来。 步骤2：由每个圈得到一个合并的与项。 步骤3：将上一步各合并与项相加，即得所求的最简“与或”表达式 。 3.6.2 与或表达式的卡诺图化简 【例3-31】用卡诺图化简法求出逻辑函数： F（A, B, C, D）=m（2, 4, 5, 6, 10, 11,12,13,
