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1、第三章 计算机中的逻辑运算 与逻辑部件 本章基本要求： 1.掌握逻辑运算的基本概念、规则； 2.掌握用真值表、逻辑表达式、卡诺图这三种逻 辑函数表示方法； 3.了解计算机内常用逻辑器件：基本门电路、三 态门、触发器、寄存器、计数器、译码器的基 本功能及作用； 4.了解计算机在传输数据时常用的校验方法：奇 、偶校验方法与CRC校验方法3.1 逻辑代数与基本逻辑运算 逻辑代数是1847年由英国数学家乔治布尔（George Boole)首先创立的，所以通常人们又称逻辑代数为布 尔代数。 逻辑代数与普通代数有着不同的概念，其所表示的不 是数值之间的大小关系，而是逻辑函数与逻辑变量之 间所存在的逻辑关系
2、与逻辑规律。 逻辑规律表示了一种因果关系，如“真”与“假”、“有” 和“无”、“是”与“非”、“开”与“关”等，这些逻辑关系 的一个共同点是它们仅有两种状态，即：0和1，因此 又称为二值逻辑。 它们通常反映在逻辑电路上则是电路的“通”与“断” 、反映在电信号上则是信号电平的“髙”与“低”，所 以把这种工作在二值（0、1）状态下的电路称为数 字逻辑电路。逻辑代数是分析和设计数字逻辑系统 的数学基础，而数字逻辑电路则是构成计算机硬件 核心电路的主要部分。 逻辑代数是指：用0和1两个基本的数字符号表示逻 辑常量，用取值只能为0或1的任何字母符号表示逻 辑变量，用“与”、“或”、“非”等基本逻辑符号表
3、示 运算关系所构成的代数系统。 逻辑代数的自变量取值只有0和1（非0即1）两个数 ，同样逻辑函数的取值也只有0和1（非0即1）两个 数，自变量就是逻辑变量，这种函数就是逻辑函数 。 3.1.1 基本逻辑门电路逻辑门是描述数字逻辑电路的最基本单元部件，是计算 机硬件电路的基础；由于它的结构与逻辑函数中描述的自变 量乘积项及函数逻辑关系相对应，所以能够实现计算机中的 运算、控制、数据存储等功能部件的逻辑电路描述。基本逻 辑门电路有与门电路 或门电路和非门电路。常用的逻 辑门电路还有与非门电路 与或门电路 与或非门电路 异或门 电路 同或门 电路 三态门电路等。在逻辑门电路中，任何信号只存在两种状态
4、，即高电平和 低电平；通常以高电平来表示逻辑1（正逻辑）、以低电平来 表示逻辑0（负逻辑）。 (1) 逻辑“与”运算和“与门”电路逻辑“与”又称为逻辑“乘”运算。 运算符号：“”,“” ,“AND”等。 逻辑表达式：L=AB = AB= 与门电路符号：与门电路：能实现逻辑与功能的数字电路单元 真值表：两个输入变量的四种组合与其对应的输出变量之 间的关系。A B L= AB 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 11 (A、B均为1) 0 (A、B中任一为0)ABL(2) 逻辑“或”运算和“或门”电路逻辑“或”又称为逻辑加运算。 运算符号：“+”、“”、 “OR”等。 逻辑表达式：L=A+
5、B=AB= 或门电路符号：逻辑真值表：A B L=A+B 0 0 0 0 1 11 0 11 1 1LA B1 (A、B中任一为 1) 0 (A、B均为0)(3) 逻辑“非”运算和“非门”电路逻辑“非”又称为逻辑反运算. 运算符号：“ ”（上横线）逻辑表达式为： L= = 非门电路符号：逻辑真值表： A L 0 1 1 0AA1 （A=0）0 （A=1）L（4）常用的组合逻辑门在数字系统中，除了基本的“与”运算、“或”运算、“非”运算之 外，为了方便逻辑关系的描述常常使用一些通过这三种基本逻辑运 算关系派生出来的逻辑运算关系，这种派生出来的逻辑运算通常被 称为复合运算，常见的复合运算有：与非、
6、或非、同或及异或等。 还有很多的组合逻辑门电路，如：全加器、译码器、编码器、 多路选择器等等3.1.2 基本运算规律和公式基本运算： 加：A+0=A，A+1=1，A+A=A，A+A=1 乘：A0=0， A1=A，AA=A，AA=0 非：A+A=1，AA=0，A=A基本公式： 吸收律，分配律，交换律，结合律，反演律# 吸收律：A+AB=A证明：A+AB=A（1+B）=A1=AA（A+B）=A证明：AA+AB=A+AB=AA+AB=A+B证明：A+AB=A+AB+AB =A+（A+A）B=A+1B=A+B# 分配律：A(B+C)=AB+AC(A+B)(A+C)=A+BC证明： (A+B) (A+C
7、) =A A+A C+B A+B C =A(1+C+B)+B C =A+B C# 交换律：A+B=B+A AB=BA # 结合率： （A+B）+ C = A+（B+C） （A B） C = A（B C） # 反演律： ABC=A+B+C A+B+C=A B C3.2 逻辑函数的三种表示法1逻辑真值表：将逻辑函数输入（逻辑变量）与输出（函数 取值）之间的所有组态关系用数字符号以并列的形式表示出 来的表格。这是一种将具体问题的描述转变为逻辑关系的描 述的有效工具，也是获得严谨的逻辑函数表达式的最有效方 法。 2逻辑函数表达式：用与、或、非等基本的逻辑运算关系符 和逻辑常量、逻辑变量所组成的表示逻辑
8、函数的数学表达式 。形式简洁明了，便于书写和推演变换，根据真值表可以列 出其逻辑表达式。 3卡诺图：n个变量的函数可以由2n个方格构成的平面方格图 来表示，每个方格代表逻辑函数中的一个最小项，而任何一 个逻辑函数都可以表示成“最小项之和”的形式，因此通过方 格阵列可清楚的反映出函数所有最小项之间的关系，这个平 面方格图就是卡诺图。利用卡诺图中表示最小项的方格之间 的相邻、相对、相重的位置关系进行最小项合并是进行逻辑 函数化简的最直接、最有效的方法。 321 逻辑真值表 1、真值表：由逻辑变量的所 有可能取值的组合及其对应 的逻辑函数值所构成的表格 。例：有一个3位二进制数ABC ，列出ABC中
9、出现奇数个1的 逻辑关系。解：3位二进制数ABC共有8种 组合状态，分别定义为m0 m7；它们的奇偶性定义为函 数F，其中F0表示呈偶性， F1表示呈奇性，将ABC全部 的组态关系以及对应的F取值 以表格的形式表示出来。该 表称为逻辑函数F的真值表。 NoA B CFm00 0 00m10 0 11m20 1 01m30 1 10m41 0 01m51 0 10m61 1 00m71 1 11注意：真值表必须列出逻辑变量所有可能的取值及其所对应的函数取值，不能有注意：真值表必须列出逻辑变量所有可能的取值及其所对应的函数取值，不能有 遗漏。（二个变量有遗漏。（二个变量有2 22 2=4 =4、三
10、个逻辑变量有、三个逻辑变量有2 23 3=8 =8、四个变量有、四个变量有2 24 41616、n n个变量个变量 有有2 2n n种可能的取值种可能的取值）。）。3.2.2 3.2.2 逻辑表达式：逻辑表达式：由逻辑变量、逻辑常量和运算符组成的表达式。由逻辑变量、逻辑常量和运算符组成的表达式。它是逻辑变量的函数，也是设计逻辑电路的根据。它是逻辑变量的函数，也是设计逻辑电路的根据。根据真值表可以列出逻辑表达式。根据真值表可以列出逻辑表达式。方法是：方法是：把真值表中所有使函数值为把真值表中所有使函数值为1 1的自变量组合项的自变量组合项“ “或或”起来。每一项（最小项）是逻辑变量的本身或其起来
11、。每一项（最小项）是逻辑变量的本身或其 非的与运算。如果变量是非的与运算。如果变量是1 1取其本身；是取其本身；是0 0则取变量的则取变量的非值非值例如，上页例题中的逻辑表达式为：例如，上页例题中的逻辑表达式为：F=1: F=1: F(A,B,C)=m(1,2,4,7)=ABC+ABC+ABC+ABC F(A,B,C)=m(1,2,4,7)=ABC+ABC+ABC+ABCF=0: F=0: F(A,B,C)=m(0,3,5,6)=ABC+ABC+ABC+ABC F(A,B,C)=m(0,3,5,6)=ABC+ABC+ABC+ABC 由于逻辑表达式进行化简需要较强的技巧，不熟练者很难判断，由于逻
12、辑表达式进行化简需要较强的技巧，不熟练者很难判断，323卡诺图（Karnaugh Map）卡诺图是逻辑函数的另一种表示形式，它是一种以图 形形式来表达逻辑关系的方法，也是将逻辑函数进行逻辑 化简的一种最有效的手段。用卡诺图化简逻辑函数，不但 具有简单、直观、方便的特点，而且还较容易的判断出得 到结果是否为最简的形式。用卡诺图表示逻辑函数，是将该逻辑函数的每一个 最小项取值，按照一定规则填入到所对应的平面方格矩阵 内，这个平面方格矩阵图就称为卡诺图。 卡诺图是一种直观的平面方块图。它根据输入变量的数 量n将平面划分为2n 个方格，用来表示全部输入变量组合 项或者表示全部输出项。 与真值表有些相似
13、，但是和真值表的自变量取值变化的 最大不同在于：自变量的取值是按照它们取值之间的最 小跳越关系进行排列，即在左边和上边的自变量取值中 只能有一个变量的取值是变化（相反）的，其余的保持 不变。 卡诺图坐标点上的自变量取值可以不连续，但要保持最 小跳跃。 小方格中所填写的是：根据行列坐标点上自变量的取值 关系，找出在逻辑表达式中对应的最小项的位置，在相 应的小方格中填写1；即小方格中填写那些使得逻辑函数 在所对应的行列坐标点上取值为1的项。 卡诺图的书写规则：二维卡诺图输入为X1、X2，输出为 F。左下图为真值表，右下图为卡诺图。卡诺图左边和上边书写自变量的可能取值，中间则表明 Mi最小项。最小
14、项即一行真值表中各自变量或其“非”的逻辑乘积项。NO X1 X2 FM0 0 0 F0 M1 0 1 F1M2 1 0 F2 M3 1 1 F3X101X20 1M0M1M2M3三维卡诺图输入为X1、X2、X3，输出为 F。 左下图为真值表，右下图为卡诺图。 卡诺图的左边上边书写自变量的可能取值， 规则是最小跳跃。中间则表明最小项。NO X1 X2 X3 FM0 0 0 0 F0 M1 0 0 1 F1 M2 0 1 0 F2 M3 0 1 1 F3 M4 1 0 0 F4 M5 1 0 1 F5 M6 1 1 0 F6 M7 1 1 1 F7M0 M1M2 M3M6 M7M4 M5X1X2X3 0 100 011110CD AB0001111000M0M1M3M201M4M5M7M611M12M13M15M1410M8M9M11M10四维卡诺图输入为A、B、C、D，输出为F。 卡诺图的左边上边书写自变量的可能取值，规则是 最小跳跃。中间则表明最小项。请用卡诺图表示下列函数1、F(A,B,C)=ABC+A
