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1、天津市 2018 年高考数学(文)二轮复习专题能力训练专题能力训练专题能力训练 1111 等差数列与等比数列等差数列与等比数列一、能力突破训练 1.已知等比数列an满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=( )A.2 B.1 C.D. 答案：C 解析：a3a5=4(a4-1),=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=,q=2,a2=a1q=. 2.在等差数列an中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前 20 项的和等于( )A.290B.300C.580D.600 答案：B 解析：由a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,得a1+a
2、20=30,故S20=300.3.设an是等比数列,Sn是an的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则 S101的值为( )A.2 B.200C.-2D.0 答案：A 解析：设公比为q,an+2an+1+an+2=0,a1+2a2+a3=0,a1+2a1q+a1q2=0,q2+2q+1=0,q=-1. 又a1=2,S101=2. 4.已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40 答案：B 解析：设an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1
3、+7d.a3,a4,a8成等比数列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即 3a1d+5d2=0. d0,a1d=-d20,解得a1=2,q=2,所以an=2n. (2)由题意知:S2n+1=(2n+1)bn+1, 又S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以bn=2n+1. 令cn=,则cn=, 因此Tn=c1+c2+cn=+. 又Tn=+, 两式相减得Tn=+-,所以Tn=5-.二、思维提升训练 12.已知数列an,bn满足a1=b1=1,an+1-an=2,nN*,则数列的前 10 项的和为( )A.(49-1)B.(410-1)天津市 2018 年高考数学(文)二轮复习专题
4、能力训练C.(49-1)D.(410-1) 答案：D 解析：由a1=1,an+1-an=2,得an=2n-1.由=2,b1=1 得bn=2n-1. 则=22(n-1)=4n-1, 故数列前 10 项和为=(410-1). 13.若数列an为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+等于( )A.1-B. C.1-D. 答案：B 解析：因为an=12n-1=2n-1,所以anan+1=2n-12n=22n-1=24n-1,所以=.所以是等比数列. 故Tn=+=. 14.如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且 |AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|B
5、n+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示点P与Q 不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则( )A.Sn是等差数列B.是等差数列 C.dn是等差数列D.是等差数列 答案：A 解析：如图,延长AnA1,BnB1交于P,过An作对边BnBn+1的垂线,其长度记为h1,过An+1作对边Bn+1Bn+2的垂线,其长度记为h2, 则Sn=|BnBn+1|h1,Sn+1=|Bn+1Bn+2|h2.Sn+1-Sn=|Bn+1Bn+2|h2-|BnBn+1|h1. |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|, Sn+1-Sn=|BnBn+1|(h2-h1). 设此锐角为, 则h2=
6、|PAn+1|sin ,h1=|PAn|sin ,h2-h1=sin (|PAn+1|-|PAn|)=|AnAn+1|sin . Sn+1-Sn=|BnBn+1|AnAn+1|sin . |BnBn+1|,|AnAn+1|,sin 均为定值,Sn+1-Sn为定值. Sn是等差数列.故选 A.15.已知等比数列an的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,若ASn-B对nN*恒成立, 则B-A的最小值为 . 答案： 解析：易得Sn=1-,天津市 2018 年高考数学(文)二轮复习专题能力训练因为y=Sn-在区间上单调递增(y0), 所以yA,B, 因此B-A的最小值为-=. 16.已知数列an的首项
7、为 1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*. (1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列an的通项公式; (2)设双曲线x2-=1 的离心率为en,且e2=2,求+. 解(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1. 又由S2=qS1+1 得到a2=qa1, 故an+1=qan对所有n1 都成立. 所以,数列an是首项为 1,公比为q的等比数列. 从而an=qn-1. 由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得 2a3=a2+a2+a3. 所以a3=2a2,故q=2. 所以an=2n-1(nN*). (2
8、)由(1)可知,an=qn-1. 所以双曲线x2-=1 的离心率en=. 由e2=2,解得q=. 所以+=(1+1)+(1+q2)+1+q2(n-1) =n+1+q2+q2(n-1) =n+=n+(3n-1). 17.若数列an是公差为正数的等差数列,且对任意nN*有anSn=2n3-n2. (1)求数列an的通项公式. (2)是否存在数列bn,使得数列anbn的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(nN*)?若存在,求出 数列bn的通项公式及其前n项和Tn;若不存在,请说明理由. 解(1)设等差数列an的公差为d,则d0,an=dn+(a1-d),Sn=dn2+n. 对任意nN*,恒有anSn=2n3-n2, 则dn+(a1-d)=2n3-n2, 即dn+(a1-d)=2n2-n. d0,an=2n-1. (2)数列anbn的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(nN*), 当n=1 时,a1b1=A1=4,b1=4, 当n2 时,anbn=An-An-1=5+(2n-3)2n-1-5+(2n-5)2n-2=(2n-1)2n-2. bn=2n-2.假设存在数列bn满足题设,且数列bn的通项公式bn= T1=4,当n2 时,Tn=4+=2n-1+3,当n=1 时也适合, 数列bn的前n项和为Tn=2n-1+3.
